2.示范教案(4.1.2 圆的一般方程)

2222222222222222222222222222222222222222224.1.2圆的般程整设教分教材通过将二元二次方程x

2

+y

+Dx+Ey+F=0

配方后化为DF(x+)+(y+)2

E4

F

后只需讨论D+E-4F＞D-4F=0D+E-4F与D1的标准方程比较可知D-4F0时表以-)为圆,2

D

为半径的圆D

+E

2

DDE-4F=0时方只有实数解x=-,y=-即只表示一个点(-);D2

2

+E

-4F＜0时方没有实数解因而它不表示任何图从而得出圆的一般方程的特点(1)x和y的数不于0(2)没有这样的二次项；(3)D+E-4F＞其中1)和(2)是二元一次方程Ax＋Bxy＋Cy＋＋Ey表圆的必要条件,不是充分条件只有三条同时满才是充要条.同圆的标准方程－a)＋(y－b)=r含有三个待定系数、、r一样,圆一般方程x+y中含有三个待定系数D、E、因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆.同可以用待定系数法求得圆的一般方.在际问题中,究使用圆的标准方程还是使用圆的一般方程更好呢？应根据具体问题确定圆标准方程的特点是明确指出了圆心的坐标和圆的半径因此,于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方如果已知条件和心坐标的半径都无直接关通常采用圆的一般方程；有时两种方程形式都可用时也常采用圆的一般方程的形式这是因为它可避免解三元二次方程.圆的标准方程的优点在于明确直观地指出圆心坐标和半径的.我们知道,圆心确定圆的位置,半确定圆的大小,它利于研究圆的有关性质和图.而由圆的一般方程可以很容易判别一般的二元二次方程中些是圆的方程哪些不是圆的方程们各有自己的优点在教学过程中,应当使学生熟练地掌握圆的标准方程与圆的一般程的互,其是由圆的一般方程通过配方化为圆的标准方程从求出圆心坐标和半径要出圆,就必须要将曲线方程通过配方化为圆的标准方程,然后才能画出曲线的形.这充分说明了学生熟练地掌握两种方程互化的重要性和必要性.三目在掌握的标准方程的基础上,解记忆圆的一般方程的代数特征,圆的一般方程确定圆的圆心、半掌握方程x＋y＋Dx＋＋表圆的条通过对方程x＋＋Dx＋F=0表圆的条件的探究培养学生探索发现及分析、解决问题的能能通过方等手段,圆的一般方程化为圆的标准方程能用待定系数法和轨迹法求圆方程同时渗透数形结合与化等数学思想方提高学生的整体素质,励学生创新勇于探索培养学生探索发现及分析解决问题的实际能重难教学重点：圆的一般方程的代数特一方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D、F.教学难点对圆的一般方程的认识、掌握和运课安时教过导新

2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222思说出圆心(半为的圆的准方.②学生练习:将以C(a,b)为圆心为半径的圆的标准方程开整理得x

2

+y

+b

2

-r=0.指出如果

+b得到方程x

+y

这明圆的方程还可以表成另外一种非标准方程形能能说方程x+y+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢这就是我们本堂的内容,教师板书课题圆一般方程思问过点的的方利圆的标准方程解决此题显然有些麻烦用直线的知识解决又有其简单的局限那么这个问题有没有其他的解方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形教师板书课:的一般方程.推新新探提问前一章我们研究直线方程用的么顺序和方?这里我们研究圆的方程是否也类比研究直线方程的顺序和方法给出式子+y请利用配方法化成不含和的一次项的式子把式子(－a)

＋－

2

与x

+y+Dx+Ey+F=0方后的式子比较,出x

+y

+Dx+Ey+F=0表示圆的条.对圆的标准方程与圆的一般方作一比看各自有什么特?讨结：前学习过直线,们首先学习了直线方程的点斜式截两式距,最后学习一般式家知道,我们认识一般的东西,总从特殊入手探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、开整理而得到.我想求圆的一般方程,仿照直线方程试一试！我们已经学习了的标准方程把标准形式展开整理得到也是从特殊到一.DED把式子+y+Dx+Ey+F=0配得x+)+(y+)22

2

(xa)＋－b)=r中r表示时示(a,b),r0时不表示任何图形.DED因此式子(x+)+(y+)=2

2

F

()当D＞,表以-

D,-)为圆心,

D

2

E

2

F

为半径的圆；DDE(当D-4F=0时方程只有实数解x=-,y=-即只表示一个点-22(当D＜,方程没有实数解因而它不表示任图.综上所述,程x

+y+Dx+Ey+F=0表的曲线不一定是圆,此得到圆的方程都能写成x+y的形但方程x+Dx+Ey+F=0表示的曲线不定是圆,当D+E＞,表示的曲线才是.因x+Dx+Ey+F=0表圆的充要条件是-4F＞0.我们把形如x+y+Dx+Ey+F=0表圆的方程称为圆的一般方圆的一般方程形式上的特点:x

2

和y

的系数相同不于没有xy这的二次.圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、因此只要求出这三个系数圆的方程就确定

222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222112222了与圆的标准方程相比较,它一种特殊的二元二次方程,代特征明显的标准方程则指出了圆心坐标与半径大,何特征较明应示思1例1判下列二元二次方程是否表圆的方程？如果,求出圆的圆心及半(1)4x+4y-4x+12y+9=0;(2)4x+4y解(1)由

-4x+12y+9=0,得

而

+E

2

＞所以方程4x表圆方其圆心坐标(由4x得

3,-),径为；2D=-1,E=3,F=

-4F=1+9-11=-1＜0,所以方程4x

不示圆的方点评:对于形如Ax+By的方程判断其方程是否表示圆要化为x+y形式,利用条件D+E-4F与0的小断,不能直接套.另外,直接配方也可以判.变训求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x

+y

+y+2by=0.解(1)把x

+y

配得(－

＋

=5

所圆心坐标为半径为；(2)x+y+2by=0配得x＋(y+b),以圆心坐标为(0,-b),半径为例2求三点、M、M的的方程并求圆的半径长和圆心坐12解:方法一：设所求圆的方程为x+y、M、在圆,则有1

F0.DE4DF解得D=-8,E=6,F=0,故所求圆的方程为x即(－4)＋(y+3)=5.以圆心坐标半径为方法二：先求出的中点E(1

153),MM的中点,),22再写出OM的垂直平分线PE的线方程y-=-(x-),5垂直平分线的线方程y-),y联立得得则点的标(即圆心OP=5为径y方法三：设所求圆的圆心坐标为P(a,b),根圆的性可|OP|=|AP|=|BP|,

①②即x

2

+y

+(y-1)

2

解之得P(4,-3),OP=5为径

22222222222222222222222方法四：设所求圆的方程(x－＋(y－因为、A(1,1)B(4,2)圆上所它们的坐标是方程的.它们的坐标代入上面的方,以得到关于、br的方程即

),

)2(2).解此方程组得

所以所求圆的方程为(x4)

＋(y+3)

=5

圆坐标为4,-3),半为

r点同学们比较,于何时设圆的标准方何设圆的一般一般说如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关往往设圆的一般方.例3已点为x=16上动点.当在上运动时,求的中点M的迹方程活:学回想求曲线方程方法与步骤,思考讨论教师适时点拨提示,本可利用平面几何的知识见中点作中线利用中线定长可得方,再就是利用求曲线方程的办法来.图解一:如图1,MNOQ交x轴于N,则N为OP的点即N(5,0).因为MN|=

定长)所以所求点M的轨迹方程(x-5)+y点:直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件然后再将条件代数化但许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将翻成代数语言时也有困难这就需要我们探讨求轨迹问题的新方.转移法就是一种很重要的方法用转移法求轨迹方程时首先分析轨迹上的动点M的动情况探求它是由什么样的点控制的.解二:设M(x,y)所求轨迹上任意一点Q(x,y010x010.因为M是的点所02y2又因为Q(x)在圆x上所=16.将(*)代入得00(2x-10)+(2y)=16.故所求的轨迹方程为x-5)+y点:相关点法步骤:设被动点M(x,y),主动点Q(x,y).00

(*)

1012200222222222222210122002222222222222222222(xy求出点M与点Q坐间关系(xy200(,y),从()中解出(x,).0将()代入主动点的迹方(已知曲线的方程化简得被动点的轨迹方这种求轨迹方程的方法也叫相关点以后要注意运用.变训

((已知线段AB的点B的标(端A在圆(+yM的迹方解:设点坐标(点A的标(x).00

=4上动,线段AB中点由于点B的标是且M是线段AB的点,所x=2x-4,y00

x,y=

是有①因为点A圆上动所以点A的标满足方程(x+1)+y=4,即x+1)+y=4.②0把入得(2x-4+1)+(2y-3)=4,整理,(x-)+(y-)所以点M的轨迹是以(

3)圆心,径长为圆.2思2例求心在直线l上且过两圆C:x1

和C:x2

+y

+2x+2y-8=0的交点的圆的方程.活:学审题教师引导,强应注意的问题据题目特点分析解题思路确定解题方法于两圆的交点可,心在一直线所以应先求交点再设圆的标准方.x240,解:解两圆方程组成的方程组yy

得两圆交点为0,2),(-4,0).设所求圆的方程

=r

2

因为两点在所求且心在直线l,所以得方程组2r2,(2)2

a0.解得.所求圆的方程为(x+3)点：已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半列方程的问题往往设圆的标准方.例2已圆在x轴的截距分别为和3,y轴的距为-求圆的方.解一:利用圆的一般方.设所求的圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0,由已该圆经过点和则有

2222222022222222222222220222222222D

解之得D=-4,E=4,F=3.所求圆的方程为x+y(

2

EF解二:利用圆的标准方.由题意该圆经过设圆的方程=r,圆心在PQ的直平分线上,因为所

(a2

2

2

将a=2代得b=-2,以而故所求圆的方程(x-2)+(y+2)例3试圆C:x+y于直线l:x-y+1=0对的曲线的程活：生先思考然解,教引导学生抓住本质的东西即圆的圆心坐标变化径变,另外可利用相关点法来求.解一:设P′(x,y)为求曲线上意一点P关l的称点为P(x),则P(x,y)在圆C上000由题意可得

xyy0,yx

解得0

(*)因为P(x,y)在圆C上所以x+y-x+2y=0.将*)代入0000得y-1)+(x+1)-(y-1)+2(x+1)=0,化简得

2

+y

+4x-3y+5=0,为的方程.解二(殊对称圆C关于直线l的对称图形仍然是且半径不变,只需求圆心即(

3关直线l:x-y+1=0对称点C-2,因所求圆的方程为(x+2)+(y-).24点：较解法一与解法二看,用几何性质解题往往较简.知训课本练习1、、3.拓提问题：已知圆x

+y

-x-8y+m=0与线x+2y-6=0相于P、Q两点定点R(1,1),若QR,求实数的值.解:设P(x,y、,y),112由

yy

消去y得5x

+4m-60=0.

①由题意方程两个不等的实数根所以60-4m＞0,m15.由韦达定理xm12.因为PRQR,所以k=-1.以PRQR

yy2xx

=-1,(x-1)+(y-1)(y122

1112122121122222211121221211222