北京师范大学第一附属中学2021年高三数学文模拟试卷含解析

北京师范大学第一附属中学2021年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界)，其中为凸集的是()A．①③

B．②③

C．③④

D．①④参考答案：B2.已知曲线向左平移个单位，得到的曲线经过点，则（）A.函数的最小正周期B.函数在上单调递增C.曲线关于点对称D.曲线关于直线对称参考答案：C【分析】根据左右平移和可求得解析式；根据余弦型函数的最小正周期、单调性和对称轴、对称中心的判断方法依次判断各个选项即可.【详解】由题意知：则

，最小正周期，可知错误；当时，，此时单调递减，可知错误；当时，且，所以为的对称中心，可知正确；当时，且，所以为的对称中心，可知错误.本题正确选项：3.复数的实部和虚部相等，则实数等于(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B略4.小明在解决三视图还原问题时，错把图一的三视图看成图二的三视图，假设图一所对应几何体中最大的面积为S1，图二所对应几何体中最大面的面积为S2，三视图中所有三角形均为全等的等腰直角三角形，则=（）A．1 B． C． D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据已知中的三视图，分别求出两个几何体中面积最大的面，进而可得答案【解答】解：假设三视图中全等的等腰直角三角形的腰长为a，则图一的三视图对应的几何体中，面积最大的面是直角边长为：a，的直角三角形，故S1=，图二的三视图对应的几何体中，面积最大的面是边长为：的等边三角形，故S2==，故==，故选：D5.若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”。下列方程：①；②，③；④对应的曲线中存在“自公切线”的有

（

）

A．③④

B．①④

C．①②

D．②③参考答案：D略6.已知且，，则的值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A7.已知函数，则下列判断正确的是（

）A．f(x)是偶函数不是奇函数

B．f(x)是奇函数不是偶函数

C.f(x)既是偶函数又是奇函数

D．f(x)既不是偶函数也不是奇函数参考答案：B该函数的定义域为，，所以函数是奇函数，，所以函数不是偶函数，故选B.

8.数列{an}中，a3=1，a5=1，如果数列{}是等差数列，则a11=（）A．1 B． C．﹣ D．﹣参考答案：A【考点】等差数列的通项公式．【分析】推导出数列{}的公差d=（）=0，再求出=，由此能求出a11．【解答】解：∵数列{an}中，a3=1，a5=1，数列{}是等差数列，∴数列{}的公差d=（）=（）=0．∴==，∴，解得a11=1．故选：A．9.已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：，因为为纯虚数，故，故|z|=|(2a+1)+i|=.10.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．20 B．21 C．200 D．210参考答案：D【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当i=21时，满足条件i＞20，退出循环，输出s的值为210．【解答】解：执行程序框图，有s=0，i=1s=1，i=2，不满足条件i＞20，s=3，i=3，不满足条件i＞20，s=6，i=4，不满足条件i＞20，s=10，i=5，不满足条件i＞20，s=15=1+2+3+4+5，i=6，不满足条件i＞20，s=21=1+2+3+4+5+6，…观察规律可知，i=20，不满足条件i＞20，s=1+2+3+…+20==210，i=21，满足条件i＞20，退出循环，输出s的值为210．故选：D．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，等差数列的求和，属于基本知识的考查．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若集合M={，x?R}，N={，x≥–2}，则M∩N=

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．参考答案：[0,5]12.已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有3个零点，则a的取值范围是．参考答案：a=0或a≥2【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象．当a=0，满足条件，当a≥2时，此时y=a|x|与f（x）有三个交点，故答案为：a=0或a≥2．【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．13.已知下列表格所示的数据的回归直线方程为多，则a的值为

．参考答案：24214.关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为．若Dx＝5，则实数m＝_____．参考答案：-2【分析】由题意，Dx5，即可求出m的值．【详解】由题意，Dx5，∴m＝-2，故答案为-2．【点睛】本题考查x，y的二元一次方程的增广矩阵，考查学生的计算能力，比较基础．

15.已知不等式的解集为,不等式的解集为,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是_______________参考答案：略16.已知两条直线，互相垂直，则m=__________.参考答案：1217.圆的圆心到直线的距离

;参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知，．（1）求在上的最小值；（2）若对一切，成立，求实数的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ），令．当单调递减；当单调递增．，（1）当；（2）当所以

…………………（6分）（Ⅱ）由得.设，则.令，得或（舍），当时，，h(x)单调递减；当时，，h(x)单调递增，所以

所以

…………………（12分）19.如图6，在三棱锥中，，，为的中点，为的中点，且△为正三角形．（1）求证：平面；（2）若，，求点到平面的距离．参考答案：（1）证明：在正中，是的中点，所以．……1分因为是的中点，是的中点，所以，故．……2分又，，平面，所以平面．…………………4分因为平面，所以．……………5分又平面，所以平面．………………7分（2）解法1：设点到平面的距离为，………8分因为，是的中点，所以．因为为正三角形，所以．……………………9分因为，所以．所以．…………………10分因为，由（1）知，所以．在中，，所以．…………11分因为，……………12分所以，即．………ks5u…………13分所以．故点到平面的距离为．………………14分解法2：过点作直线的垂线，交的延长线于点，…………8分由（1）知，平面，，所以平面．因为平面，所以．因为，所以平面．所以为点到平面的距离．………………9分因为，是的中点，所以．因为为正三角形，所以．……10分因为为的中点，所以．以下给出两种求的方法：方法1：在△中，过点作的垂线，垂足为点，则．…………………11分因为，………………12分所以．

方法2：在△中，．

①…………11分在△中，因为，所以，即．

②…………………12分由①，②解得．故点到平面的距离为．………………14分

略20.在△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，A为锐角，已知向量=（1，cos），=（2sin，1-cos2A），且∥.(1)若a2-c2=b2-mbc，求实数m的值；(2)若a=，求△ABC面积的最大值，以及面积最大时边b，c的大小.参考答案：解：（Ⅰ）由得，所以……2分又角为锐角，

……4分而可变形为

……5分即

ks5u

……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又

……7分即

……9分故

……11分当且仅当时的面积有最大值

……14分21.（本题13分）已知函数f(x)=ln(ex+a)(a为常数)是实数集R上的奇函数，函数g(x)=f(x)+sinx是区间[–1，1]上的减函数．（1）求a的值；（2）若g(x)≤t2+t+1在x∈[–1，1]上恒成立，求t的取值范围；（3）讨论关于x的方程的根的个数．

参考答案：解析:（1）由于f(x)是R上的奇函数，f(0)=0，故a=0．……3分（2）∵g(x)在[–1，1]上单调递减，∴时恒成立，∴只要∴(t+1)+t2+sin1+1≥0(其中≤–1)恒成立．……5分令则∴t≤–1．………………8分（3）由（1）知．∴方程为令f1(x)=，f2(x)=x2–2ex+m，∵当x∈(0，e)时，，∴在(0，e]上为增函数；当x∈(e，+∞)时，，∴在（e，+∞)上为减函数；当x=e时．而∴当时，即时方程无解．当时，即时方程有一解．当时，即时方程有二解．………13分

22.一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：

轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．(Ⅰ)求z的值；(Ⅱ)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(Ⅲ)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分x的值如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数xi(1≤i≤8，i∈N)，设样本平均数为，求≤0.5的概率．参考答案：(Ⅰ)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得，所以n＝2000.则z＝2000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.(2分)(Ⅱ)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意，得a＝2.(4分)因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，