名师教案 人教B版高中数学必修第四册11.3.1平行直线与异面直线

11.3.1平行直线与异面直线本课时是人教B版《立体几何初步》一章第三大节的第一小节，前一节学习了平面的基本事实和推论，初中学习过平面直线的相关内容，已经掌握了平面中的直线的平行关系。该课时主要学习平行公理，等角定理，异面直线和空间四边形的定义以及简单的应用。平行直线与异面直线这一节课是研究空间向量和空间图形的基础，通过本节课的学习，让学生领会平行公理和平行公理的应用——等角定理，并会利用等角定理解决空间几何的一些简单问题。进一步引出异面直线、空间四边形，通过上述活动，加深对空间角的认识，空间平行直线既是对直线平行的延续和拓展，有所后续研究空间几何的基础，他对研究从平面几何到空间几何起到承上启下的作用，从方法论的角度分析，本节课教学过程中还渗透了探索发展，归纳转化等数学思想方法.考点教学目标核心素养平行公理和等角定理理解并掌握平行线的传递性和等角定理，并能解决有关问题直观想象，数学抽象，逻辑推理异面直线了解异面直线的画法和判断，并会判断异面直线直观想象，数学抽象空间四边形了解空间四边形的定义和有关概念直观想象，数学抽象，【教学重点】空间平行直线的公理、等角定理、异面直线、空间四边形【教学难点】平行公理、等角定理问题1：平行直线知识点1平行直线1．定义：在同一平面内不相交的两条直线称为平行直线．2．空间平行线的传递性(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行.(2)符号表述：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a∥c))⇒b∥c.(3)图形表述：注：（1）由空间平行线的传递性可以得到几何体中的一些线线平行关系，例如，如图11-32-2所示的棱柱中，因为侧面都是平行四边形，所以有：（2）由空间平行线的传递性可以得到空间中的等角定理证明：如图所示，在上取一点，在上取一点，使得；在上取一点，在上取一点，使得；因为，所以是一个平行四边形，从而，同理；由空间平行线的传递性可知，因此是一个平行四边形，所以；于是，从而知识点2：等角定理(1)文字表述：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.(2)符号表述：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AC∥A′C′,AB∥A′B′,AC与A′C′方向相同,AB与A′B′方向相同))eq\a\vs4\al(⇒∠BAC,＝∠B′A′C′.)(3)图形表述：【对点快练】1．直线a，b，c，d满足a∥b，b∥c，c∥d，则a与d的位置关系是________.答案：平行∵a∥b，b∥c，c∥d，∴由平行线的传递性可知a∥d.2．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝()A．30° B．150°C．30°或150° D．大小无法确定答案：C当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相同时，∠B′A′C′＝30°；当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相反时，∠B′A′C′＝150°.问题2：异面直线我们知道，异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线，而且前面也从几何体中直观认识了异面直线。事实上，异面直线在实际生活中也是广泛存在的，如果所示.两条直线异面，实际上也就是这榔头直线不能同时在任何一个平面内。因此，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或者两个平面衬托，如图所示：如图（1）中，，此时，直线l与直线AB是异面的，这是因为同时通过直线l与点B的平面只能是，如果l与直线AB是共面的，则，这与矛盾。由此可总结出异面直线的一种判定方法：与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面．知识点：异面直线(1)定义：两条直线异面，实际上也就是这两条直线不能同时在任何一个平面内.(2)异面直线的画法：为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示．(3)判定方法：与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面．【对点快练】1．没有公共点的两条直线一定是异面直线？答案：没有公共点的两条直线也可能是平行直线．2．直线a在平面α内，直线b在平面β内，则直线a，b是异面直线吗？答案：不一定．异面直线是不同在任何一个平面内的直线．问题3：空间四边形知识点：空间四边形1．定义：顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形，其中4个点都是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线．2．表示：用表示顶点的4个字母表示，如图所示为空间四边形ABCD，这个空间四边形的边为AB，BC，CD，DA，对角线为AC，BD.【对点快练】1．平行四边形、梯形等平面四边形是空间四边形？答案：空间四边形的4个点不共面，平面四边形不是空间四边形．2．空间四边形是四面体吗？答案：不是．空间四边形可以看成由四面体的4条棱构成的图形．例1.如图所示的空间四边形ABCD中，分别是边的中点，求证：四边形是平行四边形。证明：在中，因为分别是的中点，所以由三角形的中位线定理可知且，同理，且因此，所以四边形是平行四边形。例2.已知E，E1分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1.证明如图，连接EE1.∵E1，E分别为A1D1，AD的中点，∴A1E1AE.∴A1E1EA为平行四边形．∴A1AE1E.又∵A1AB1B，∴E1EB1B．∴四边形E1EBB1是平行四边形．∴E1B1∥EB，同理E1C1∥EC．又∠C1E1B1与∠CEB方向相同，∴∠C1E1B1＝∠CEB．【变式练习】已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.证明(1)如图，连接AC，在△ACD中，∵M、N分别是CD、AD的中点，∴MN是三角形的中位线，∴MN∥AC，MN＝eq\f(1,2)AC．由正方体的性质得AC∥A1C1，AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝eq\f(1,2)A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1，且NM与A1C1方向相同，又∵ND∥A1D1，且ND与A1D1方向相同，∴∠DNM＝∠D1A1C1.例3.已知空间四边形ABCD，AB≠AC，AE是△ABC中BC边上的高，DF是△BCD中BC边上的中线，求证：AE和DF是异面直线．证明证法一(反证法)：假设AE和DF不是异面直线，则AE和DF共面，设过AE、DF的平面为β，若E、F重合，则E为BC的中点，∴AB＝AC，与AB≠AC相矛盾．若E、F不重合，∵B∈EF，C∈EF，而EF⊂β，∴B∈β，C∈β，又A∈β，D∈β，∴A、B、C、D四点共面，这与题设ABCD为空间四边形矛盾，综上可知，假设不成立，∴AE与DF为异面直线．证法二(定理法)：∵AB≠AC，AE⊥BC，F为BC的中点，∴E、F不重合，又A∉平面BCD，E∈平面BCD，DF⊂平面BCD，E∉DF，∴AE与DF为异面直线．【变式训练】若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l至少与l1，l2中的一条相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l与l1，l2都不相交答案：A∵l1与l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β