北京市海淀区2015届高三上学期期中练习数学文试题Word版含答案

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文）2014.11本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每题5分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。（1）已知会合A{0,1}，B{xR|0x2}，则AB（）（A）{0}（B）{1}（C）[0,1]（D）(0,1)（2）若等比数列{an}知足a1a5a3，则a3（）（A）1（B）1（C）0或1（D）1或11（3）设a23，blog32，ccos100，则（）（A）cba（B）acb（）cab（D）abcC（4）已知点A(1,0),B(0,1)，向量a(1,1)，那么（）（A）ABa（B）AB∥a（C）ABa（D）ABa（5）已知函数f(x)ax2x（a为常数），则函数f(x1)的图象恒过点（）（A）(1,0)（B）(0,1)（C）(1,1)（D）(1,0)（6）设a,bR，则“ab1”是“aba2b2”的（）（A）充分而不用要条件（B）必需而不充分条件（C）充分必需条件（D）既不充分也不用要条件（7）函数f(x)sinπ11在区间(0,4)内的零点学优个数为（）xx2（A）1（B）2（C）3（D）4（8）设等差数列{an}的前n项和为Sn.在同一个坐标系中，anf(n)及Sng(n)的部分图象以下图，则（）A）当n4时，Sn获得最大值C）当n4时，Sn获得最小值

an(Sn)0.778-0.4On-0.8（B）当n3时，Sn获得最大值（D）当n3时，Sn获得最小值二、填空题共6小题，每题5分，共30分。（9）已知角的终边过点(1,3)，则tan______．（10）已知(1i)(1ai)2（i为虚数单位），则实数a的值为_____．（11）已知两个单位向量a,b的夹角为60，且知足a(tba)，则实数t的值是________.x2x1,1≤x≤0,（12）已知函数f(x)0则f(f(0))_______；f(x)的最小值为.(1)x,x≤1,2（13）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C20t，则经过_______h后池水中药品浓度达到最t24大.（14）已知全集U{a1,a2,a3,a4}，会合A是会合U的恰有两个元素的子集，且知足以下三个条件：①若a1A，则a2A；②若aA，则aA；32③若a3A，则a4A.则会合A___________.（用列举法表示）三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（15）（本小题满分13分）已知函数f(x)πsinxsin(x).3（Ⅰ）求4πf()的值；3（Ⅱ）求f(x)的单一递加区间.（16）（本小题满分13分）设数列{a}是首项为1，公差为d的等差数列，且a,a1,a1是等比数列{b}的前三项.n123n（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn.A（17）（本小题满分13分）D以下图，在四边形ABCD中，D2B，且AD1,CD3,cosB3.3（Ⅰ）求△ACD的面积；BC（Ⅱ）若BC23，求AB的长.（18）（本小题满分14分）已知函数f(x)1x3ax21.3（Ⅰ）若函数f(x)的图象对于点(0,1)对称，直接写出a的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单一递减区间；（Ⅲ）若f(x)1在区间[3,)上恒建立，求a的最大值.（19）（本小题满分13分）已知数列{an}知足a22，Sn为其前n项和，且Snan(n1)(n1,2,3,).2（Ⅰ）求a的值；1（Ⅱ）求证：annan1(n2)；n1（Ⅲ）判断数列{an}能否为等差数列，并说明原因.（20）（本小题满分14分）已知函数yf(x)，xD，设曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为ykxm.假如对随意的xD，均有：①当②当③当

xx0时，f(x)kxm；xx0时，f(x)kxm；xx0时，f(x)kxm，则称x为函数yf(x)的一个“?-点”.0（Ⅰ）判断0是不是以下函数的“?-点”：①f(x)x3；②f(x)sinx.（只要写出结论）（Ⅱ）设函数f(x)ax2lnx.（ⅰ）若a11是函数yf(x)的一个“?-点”；，证明：2（ⅱ）若函数yf(x)存在“?-点”，直接写出a的取值范围.海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文）答案及评分参照2014.11一、（共8小，每小5分，共40分）（1）B（2）A（3）D（4）B（5）D（6）A（7）C（8）A二、填空（共6小，每小5分，共30分。有两空的小，第一空2分，第二空3分）（9）3（10）1（11）2（12）1；1（13）2（14）{a2,a3}22三、解答（共6小，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）4π4πsin(4ππ0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分f()sin33)33（Ⅱ）f(x)sinxπsin(x)3sinxππ⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(sinxcoscosxsin)33sinx(131sinx3πsinxcosx)2cosxsin(x).2223⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分函数ysinx的增区[2kπππZ)，,2kπ](k22由2kππππ⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分≤x≤2kπ(kZ)，235π2得2kππ≤x≤2kπ(kZ).66因此f(x)的增区[2kππ5πZ).⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分,2kπ](k66（16）（共13分）解：（Ⅰ）由意可知：a2a1d,a3a12d.⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分因a1,a21,a31成等比数列，因此(a1)2a(a1).⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分213因a11，因此d22d.若d0，a210，与a1,a21,a31成等比数列矛盾.因此d0.因此d2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分因此ana1(n1)d2n1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分（Ⅱ）因b2a21a11，⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分b12，b1a1因此等比数列{bn}的首1，公比2.因此Tn1(12n)2n1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分12（17）（共13分）解：（Ⅰ）因D2B，cosB3，3因此cosDcos2B2cos2B11.⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分3因D(0,π)，因此sinD1cos2D22.⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分3因AD1,CD3，因此△ACD的面1ADCDsinD1322S12.⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分223（Ⅱ）在△ACD中，AC2AD2DC22ADDCcosD12.因此AC23.⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分因BC23，ACAB，⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分sinBsinACB因此23ABABABABsinBsin(π2B)sin2B2sinBcosB.23sinB3因此AB4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）a的是0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分（Ⅱ）f(x)x22ax.⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分当a0，f(x)≥0，f(x)在(,)内增；当a0，由f(x)0得：0x2a；当a0，由f(x)0得：2ax0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分上所述，当a0，无减区；当a0，f(x)的减区是(0,2a)；当a0，f(x)的减区是(2a,0).（Ⅲ）因f(x)1在区[3,)上恒建立，即1x3ax20在区[3,)上恒建立.13因此ax在区[3,)上恒建立.⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分3因x≥3，因此1x≥1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分3因此a1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分因此若f(x)1在区[3,)上恒建立，a的最大1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分（19）（共13分）（Ⅰ）解：由意知：S23a2，即a1a23a2.22因此a22a1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分因a22，因此a11.⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分（Ⅱ）明：因Snan(n1)(n1,2,3,)，2因此Snan1(n11)）.⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分12（n≥2因anSnSn1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分因此an(n1)annan1，即(n1)annan1.2因n≥2，因此annnan1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分1（Ⅲ）数列{an}是等差数列.原因以下：⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分由（Ⅱ）得：anan1(n2,3,4,).annn1因此a11(n2)，即ann(n2).⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分n由（Ⅰ）知：a11，因此ann(n1).因此数列{an}是以1首，1公差的等差数列.⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）①0是f(x)x3的“?-点”；②0不是f(x)sinx的“?-点”.⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分（Ⅱ）当a1，f(x)1x2lnx.其定域(0,)，f'(x)x1（x0）.221x（ⅰ）因f'(1)2，f(1).2因此12(x1)，f(x)在点(1,f(1))的切方程y32即y2x.⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分2令g(x)f(x)(2x3)1x2lnx2x3.222g'(x)x12(x1)2⋯⋯⋯⋯⋯⋯5