人教版高中数学必修三 算法案例(进位制)优质教案

第3课

案例

进位制（）入课情导在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一时六十分的历法今天我们来学习一下进位.（）进课新探、出题你都了解哪些进位制？举出常见的进位.思考非十进制数转换为十进制数的转化方思考十进制数转换成非十进制数及非十进制之间的转换方.活：让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．讨结：（）进位制是人们为了计数运算方便而约定的计数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制等就是说满几进一就是几进制，几进制的基数（都是大于1的数）就是.（）在日常生活中，我们最悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、小时六十分的历法.（3）十进制使用0~9十数字.计数时，几个数字排成一行，从右，第一位是个位，个位上的数字是几，就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几，就表示几个十；接着依次是百位、千位、…315323153203nn-1nn-10例如：十进制数3721中3表个千示个，2表2个示1个一.于是，我们得到下面的式子：

2

0

与十进制类似其的进位制也以按照位置原则计.由于每一种进位制的基数不同用数字个也不同如二进制用和两个数字，七进制用七个数字.一般地，若k一个大于1的整数，那么以k基数的进数可以表示为一串数字连写在一起形式a…aa（＜＜，0≤a，，，＜nn-1nn-110其他进位制的数也可以表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式，如+0×2+0×2+1×2，2=7×8+3×8+4×8+2×8.8非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可：a…aa=a×k+a×knn-110(k)nn-1

+×k+a.10第一步：从左到右依次取出k进制数…a(k)各上的数字，乘以相应的的幂，k的从始取nn-10值，每次递减1，递减到，即×k,a×k,×k,a；nn-11第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制（）关于进位制的转换，教书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其他进制之间的转换这样做的原因是计算机是以二进制的形式行存储和计算数据的一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首得到的结果为二进制数，同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输°十进制数转换成非十进制数把十进制数转换为二进制数，教科书上提供除2取法，我们可以类比得到十进制数转换成k进制数的算法除余法.°非十进制之间的转换531i-1i-1i-1531i-1i-1i-1一个自然的想法是利用十进制作为桥梁.教书上提供了一个二进制数据与进数据之间的互化的方法，也就是先由二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化成为16进.（）用例思例1把进制数110011化十进制数(2)解=1×2(2)

+1×2

4

2

0

点：把二进制数写成不同位上数字与的的乘积之和的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果.变训设计一个算法，把k进制数a（共有n位化十进制数算分：例1的算过程可以看出，计算k制数a的数第i位字与k的积a，再ii将其累加，这是一个重复操作的步所以，可以用循结构来构造算算法步骤如下：第一步，输入，k和的值第二步，将值初始化为，i的初始化为第三步，·ki

，第四步，判断i＞n是成若是，则执行第五步；否则，返回第三.第五步，输出的值程序框图如下图：程序：INPUT“a,kn=；，k，nb=0i=1MOD10DO（i-1）MOD10i=i+1LOOPUNTIL＞PRINT例2把化二制.解根据二进制满二进”的原则，可以用连去除89或得商，然后取余具体计算方法如下：262640因为89=2×44+1，44=2×22+0，，11=2×5+1，，，，所以（（2×（（）））+1（2×（2×（（2+1）+0）+1=…=1×2+0×2+0×2+1×2=1011.(2)这种算法叫做除2取法，还可以用下的除法算式表示：把上式中各步所得的余数从下到上排列，得到001(2)上述方法也可以推广为把十进制数化为k进数的算法，称为除k取余变训设计一个程序，实现除k取”算分：例的计算过程可以看出如下规律：若十制数除以得商是，数是r，a=k·q+r，则r是的进制数的右数第1数00若除k所的是，数r，=k·q+r，是的k进制数的左数第2位.01011……若除k所的商是，余数是，=r，则是a的进制数的左数第位数.n-1nn-1nn这样，我们可以得到算法步骤如下：第一步，给定十进制正整数a和化后的数的基数第二步，求出除以得的商，数r.第三步，把得到的余数依次从右到左排.第四步，若q，a=q，返回第二步；则，输出全部余数r排得到的k进制数.程序框图如下图：程序：INPUT，k=；，kb=0i=0DO=akb=b+r*10^ii=i+155420LOOPUNTILPRINT思例1将进数化为十进制数，并编写出一个实现算法的程(8)解+1×8+4×8+7×8+0×8902.(8)所以，化为十进制数是104点：用把进制数转化为十进制数的一般方法就可以把进制数314706化十进制(8)例2把进制数89化三进制数，并写出程序语解具体的计算方法如下：，，，，，所以:.(10)点：据三进制数满三进一的原则，可以用连去除及其所得的商，然后按倒序的顺序取出余数组成数据即.（）能练将十进制数34转为二进制数．分：一个十进制数转换成二进制数，用反复去这个十进制数，直到商为，所得余数（从下往上读）就是所求．33解即34(10)(2)（）展升把分转化为十进制数和八进制数．(5)解1=1×5