2022届中考数学《第32课时：相似图形》同步练习

第十单元相似图形第32课时相似图形(70分)一、选择题(每题5分，共30分)1．[2022·重庆A卷]若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为(A)A．3∶2 B．3∶5C．9∶4 D．4∶9【解析】因为△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高之比等于相似比”，故选A.2．[2022·中考预测]如图32－1，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是(D)图32－1A．∠ABD＝∠ACB图32－1B．∠ADB＝∠ABCC．AB2＝AD·AC\f(AD,AB)＝eq\f(AB,BC)【解析】在△ADB和△ABC中，∠A是它们的公共角，那么当eq\f(AD,AB)＝eq\f(AB,AC)时，才能使△ADB∽△ABC，不是eq\f(AD,AB)＝eq\f(AB,BC).故选D.图32－23．[2022·枣庄]如图32－2，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)图32－2【解析】A．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；B.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；C.两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；D.两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．故选C.4．[2022·哈尔滨]如图32－3，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连结AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是 (C)\f(AD,AB)＝eq\f(AE,EC) \f(AG,GF)＝eq\f(AE,BD)\f(BD,AD)＝eq\f(CE,AE) \f(AG,AF)＝eq\f(AC,EC)图32－3 图32－45．[2022·恩施]如图32－4，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为 (C)A．6 B．8C．10 D．12【解析】∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.∵∠ADE＝∠EFC，∴∠B＝∠EFC，∴BD∥EF.∵DE∥BF，∴四边形BDEF为平行四边形，∴DE＝BF.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(AD,AD＋BD)＝eq\f(5,8)，∴BC＝eq\f(8,5)DE，∴CF＝BC－BF＝eq\f(3,5)DE＝6，∴DE＝10.图32－56．[2022·绥化]如图32－5，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连结BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①eq\f(AF,FD)＝eq\f(1,2)；图32－5②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是 (D)A．①②③④ B.①④C．②③④ D.①②③【解析】在▱ABCD中，AO＝eq\f(1,2)AC，∵点E是OA的中点，∴AE＝eq\f(1,3)CE.∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴eq\f(AF,BC)＝eq\f(AE,CE)＝eq\f(1,3).∵AD＝BC，∴AF＝eq\f(1,3)AD，∴eq\f(AF,FD)＝eq\f(1,2)，故①正确；∵S△AEF＝4，eq\f(S△AEF,S△BCE)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AF,BC)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,9)，∴S△BCE＝36，故②正确；∵eq\f(EF,BE)＝eq\f(AE,CE)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(S△AEF,S△ABE)＝eq\f(1,3)，∴S△ABE＝12，故③正确；∵BF不平行于CD，∴△AEF与△ADC只有一个角相等，∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误．综上，正确的有①②③.二、填空题(每题5分，共20分)图32－67．如图32－6，直线l1，l2，…，l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3，l6相交于点B，E，C，F，若BC＝2，则EF的长是__5__.图32－68．[2022·自贡]如图32－7，在△ABC中，MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N，若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为__1__．【解析】∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴eq\f(AM,AB)＝eq\f(MN,BC).∵AM＝1，MB＝2，BC＝3，∴eq\f(1,1＋2)＝eq\f(MN,3)，解得MN＝1. 图32－7 图32－89．[2022·潍坊]如图32－8，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：__∠A＝∠BDF(答案不唯一，合理即可)__，可以使△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)【解析】∵AC＝3AD，AB＝3AE，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(1,3)，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴∠AED＝∠B.故要使△FDB与△ADE相似，只需再添加一组对应角相等，或夹角的两边成比例即可．图32－910．[2022·舟山]如图32－9，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝12，EF＝9，则DF的长是__7__．图32－9【解析】∵△ABC与△DEC的面积相等，∴△CDF与四边形AFEB的面积相等，∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA，∵EF＝9，AB＝12，∴EF∶AB＝9∶12＝3∶4，∴S△CEF∶S△CBA＝9∶16，设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积为7k.∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，∴S△CDF＝7k，∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，∴面积比等于底之比，∴DF∶EF＝7k∶9k，∴DF＝7.三、解答题(共20分)图32－1011．(10分)如图32－10，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE.图32－10(1)写出图中两对相似三角形(不得添加辅助线)；(2)请分别说明两对三角形相似的理由．【解析】由两个角对应相等得两三角形相似，关键是得到∠BAC＝∠DAE.解：(1)△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；(2)∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.又∵∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AE).又∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE.图32－1112．(10分)[2022·宿迁]如图32－11，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．图32－11(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB，∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB，∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF，∴△BDE∽△CEF；(2)∵△BDE∽△CEF，∴eq\f(BE,CF)＝eq\f(DE,EF)，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，∴eq\f(CE,CF)＝eq\f(DE,EF)，∵∠DEF＝∠B＝∠C，∴△DEF∽△ECF，∴∠DFE＝∠CFE，∴FE平分∠DFC.(15分)13．(15分)[2022·株洲]如图32－12，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连结CF.求证：(1)△DAE≌△DCF；(2)△ABG∽△CFG.图32－12第13题答图证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，△EDF是等腰直角三角形，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝CD，DE＝DF，∴∠ADE＋∠ADF＝∠ADF＋∠CDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△DAE和△DCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DE＝DF，,∠ADE＝∠CDF，,DA＝DC，))∴△DAE≌△DCF(SAS)；(2)如答图，延长BA，交ED于点M，∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD＝∠FCD，即∠EAM＋∠MAD＝∠BCD＋∠BCF，∵∠MAD＝∠BCD＝90°，∴∠EAM＝∠BCF，∵∠EAM＝∠BAG，∴∠BAG＝∠BCF，∵∠AGB＝∠CGF，∴△ABG∽△CFG.(15分)图32－1314．(15分)[2022·中考预测]如图32－13，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC.图32－13(1)求证：∠FBC＝∠FCB；(2)已知FA·FD＝12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA＝2，求CD的长．解：(1)证明：∵四边形AFBC内接于圆，∴∠FBC＋∠FAC＝180°，∵∠CAD＋∠FAC＝180°，∴∠FBC＝∠CAD，∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，∴∠EAD＝∠CAD，∵∠EAD＝∠FAB，∴∠FAB＝∠CAD，又∵∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB；(2)由(1)，得∠FBC＝∠FCB，又∵∠FCB＝∠FAB，∴∠FAB＝∠FBC，∵∠BFA＝∠BFD，∴△AFB∽△BFD，∴eq\f