初中数学竞赛专题三角函数

,,初中数竞赛专题：三角函数§7．1锐角三角函数7．11★比较下列各组三函数值的大小：（1）

sin19

与

；（2cot65cos40（3sin88解析（1）利用互余角的三角函数关系式将

化

sin20

,与

sin19

比大小．因为

cos70

,sin19sin20

,所以

sin19

．（2切函数与余弦函数无法化为同名函数,但是可以利用某些特殊的三角函数值间接比较它们的大小．

cot

323

,cot65cos40

分别cos45

比大小．因为6560

33cos33

,所以所以

cot60cot65

,．（3）

,然

,

均小于1,而

,

cot38

均大于．再分别比较

与

,以及

与

的大小即可．因为

cos38

,以tan46

．因为

,所以

sin88

,所以

．评注

比较三角函数值的大小,一般分为三种类型：（1名的两个锐角三角函数值,可直接利用三角函数值随角变化的规律,通过比较角的大小来确定三角函数值的大小．（2为余函数的两锐角三角函数值,可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数,比较

tantan其大小．（3）不能化为同名的两个三角函数可通过与某“标准量比大小,间接判断它们的大小关系,常选择的标准量有0,1以及其他一些特殊角如30

,

45

,

60

的三角函数值．7．12

★化简求值：（1）

；（2）

tan

；（3）；tan（4）

2sin11

；（5）若

求的值．3sin解析（1原式=

44

．（2）原

cos

．（3）原

sinsin

sinsin

．（4）原式

sin11sin11

．（5）原式

cossin1sincos3sincos

33tan19

．评注

同角三角函数关系式以及互余两角三角函数关系式在三角式变形、化简、求值及证明中是重要的依据．7．13★试证明在锐角三形中,任何一个角的正弦大于其他两个角的余弦．解析

在锐角三角形里,显然有

,以有

．由于在

90

范围内,

增加时,正弦值是增加的,是我们知sinAsin

．

,,同理可以证明其他的五组．7．14★下列四个数中哪最大：A．C．

48

B．D．

sin48cot48解析

显然

00cos48

0<cos48°．因此有：sin

sincos48sin48

cot48

,所A最大．7．15★设x锐角,满足

sin,xcos

．解析

我们将

sin

代入

sin

,得到

1

,并且

是锐,因此

110

所以

x

310

．因此

sinxx

310

．7．16★★在

△

中,

C

,

BC

,

AB

．证明：

是锐角,计算

的值．解析

若

2135于

,盾．为计算cos2,必构造出一个以为其一锐角的直角三角形．如图,C于D使ACD

,

BCD

．DB又

CDBACD

BCD所以

BDBC27

,,ADABBD．DCAD21作BE丄DE,CE

2121cosBCE2BC

．7．17★已2

的值．

解析

由

sin

2

两边平方得

2

．又

sin

cos

,以2sin

,得sin

12

．评注（）当已sin间和或差的值时,常常考虑运

转化问题．（2）总结此题解答过,该问题实际上是读者都熟悉的问题：已知

a2a的值．这里用三角函数式

sin

、

cos

来替代

、

,化了一下问题的形式．因此在解题时,弄清问题的本质是非常重要的．7★已知为实数,sincos是关于x的方程

3x

的两根．求

sin

cos

的值．解析

由

根

与

系

数

的

关

系

知

sin

13

．

则

有sin

79

．79★★AB是一个直角三角形的两个锐角,满足

AsinB

22

．sinA的值．解析

由于

AB90

,由互余关系得sinsin因此条件即为

．

22

,

①将上式平方,得sin

A

A

12

,由正、余弦的平方关系,即有

2sinAcosA

12

,以A

A

A2sinAAAA

32

,因

sinA

、

cosA

均为正数,

sinA

．因此由上式得

,．,．因,只有．由此及①得．8,,,．,．因,只有．由此及①得．8,,cosA

62

,

②由①、②得

A

62262Asin4评注

本题也可如下解答：由①得2,2两边平方,得sincosA

,

③因

sin

cos

,入上式并整理,

12

,

④解得

622cosAAA447．110若存在实数

和

,得sinya4x,4求实数

的所有可能值．解析

把两式相加,3,解a（舍去3当

a

时,

x

ππy4

满足方程．故

a

．7．111★★已知关x的一元二次方程

x

x

的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦求实数

的值．解析

设方程的两个实根

、

分别是直角三角形

的锐角

、

的正弦．则x

x

90

,又

x

2xxm

,所以x

x

m24m

．化简得

m

23

,得

或23检验,

时,△

；

23,△所m．

．评注本题是三角函数与一元二次方程的综合本解法是利用韦达定理和sin程求解．要注意最后检验方程有无实数根．

列方7．112★已知方程

4x

x

的两根是直角三角形的两个锐角的正弦求

．5,解析根据韦达定理,x并且由于其两根是直角三角形的两个锐角的正弦,以又有k．于是xx9解得．k8

．7．113★★若直角三角形中的两个锐角

、

的正弦是方程

px

的两个根；（1）那么,实数应满足哪些条件？（2）如果

、

满足这些条件,程

px

的两个根是否等于直角三角形的两个锐角

、

的正弦？解析

（1）

、

是某个直角三角形两个锐角

sin

、

sin

是方程

px

的两个,则有eq\o\ac(△,)p

q≥0

．①由韦达定理,

sinsinB,sinsinBsinA,sinB于是q

．由于所以

sinsin所AAA

,AsinAcos

,即

．由①得

p

q0

,

q≤

12

．故所求条件是p

,

0p≤

12

,

．

②

（2）设条件②成,则

qq0

,方程有两个实根：

2q1q2

,．由②知

q

,

1q≤1q

,所以

q1q

,

．

q

,

0

．所以,、为直角三角形两个锐角的正弦．评注

一般地有sin

,

．即在

Rt△

中AcosBcosB

．7114★★已知方4

的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦,试求

的值．解析

设题中所述的两个锐角为

及

,题设得

m≥0

mcosABmcosAcosB.

因为

cos

,取任意实数,

mcossinmcosAA,②

①①式两边平方,并利用恒等Acos,sinAA

．再由②得

4

,解得

．由

A

,

sin

及②知

．所以

3

．

22222217．115★不查表,15种三角函数值．解析

30特殊角的三角函数我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几何性质及勾股定理直接推出样,

15

角的三角函数值,也可以利用直角三角形的性质将其推出．如图所示．ABC,C90CB到DBA则1DABC2

．A130°

15°CB

D设则,BC,

,以

CD2

,所以AD

3

．所以sin15

16223AD24

,,

AC3

,

CDAC

．评注

将

1

角的三角函数求值问题过构造适当的三角形将它转化为

角的三角函数问题,种将新的未知问题通过一定途径转化为旧的已解决了的问题的方,我们研究解决新问题的重要方法．根据互余三角函数关系式,我们很容易得75四种三角函数值．7．116★正切值（不查表不借助计算器解析

45

,以设法构造一个含

角的直角三角形用定义求值．如

Rt△中,延长到D,使BDBA则设,2b2,DCBC

2

．

,,（舍去,,（舍去DBC故

22.5

AC

b

．7．117求

sin18

的值．解析

构造一个顶角A△ABC,

,图作内角平分线则

ABDDBC

,设x

．ADBH由于

DBA

,

BCD

,故

CBBDDAx

,而

△CAB

∽

△CBD（

）,

ACBCx5BC再作AHBC于H,CH

54

．所以

sin18

54

．评注

本题所构造的等腰三角形是圆内接正十边形的相邻顶点与圆心确定的三角形利用它可以求出半径为

的圆内接正十边形的边长．7．118已知直角三角形

中,

C

,

sinsinm

,证：

sinA

22

．解析

因为

sinBA．从ABA

．又

sinsinm

,以sinBB2sinsinB

,即

2sinA

2

2

cos

2

2

．

7119★★,、b、分别是角A、、C的对边,．sinA:sinB:sin解析依题意,将边转化为角．

b1015

,求设

acsinsin

,sin

,

,

sinC

．于是题中条件化为sinBCsinAsinsinB101511

．令上述比值为

t

,么sinCtsinCsinAtsint

,,．所以有

sintCtsint

,而得

sin:sinC8:3:7

．7．120★★★

为三角形的最小内角试求关于

的方程8xx

5

3xx

的所有实根．解析

原方程显然有根

,求方程

3x

①的实根．

为三角形最小内角,则

0

,以

12

≤

．方程①可整理变形为

1cos

x

x2

,x

x02

,

0

．令f

3

,由

eq\o\ac(△,)

知f

恒大于零,不存在使方程①成立的实数

．故原方程仅有一个实根x7．．21★★已知函数

sin

对于任意实数

都有

,

是三角形的一个内

角,取值范围．解析

由于方程没有实数根,

．并根sin

cos

,以得到2cos3cos

．因此

0.5

或

．由于

,以

0.5

．7．122★已、钝角求证：（1）关于

的方程2

cos

cos

①有两个不相等的实根；（2）是方程①的根是方程①的根．解析（）

是钝角,

,eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)4

,所以,程①有两个不相等的实根．（2）r是方程①的另一根,

r

．由韦达定理得rsin

cos

,

②r

2

．

③由于

sin

,

r

．由②、③两式得r

sin

．所以r1sin

cos

cos也是①的根．71．23★已知

y

x

x

,于任意实数

,有

,是三角形的一个内角,

的取值范围．解析

因对任意实数x,二次y

y恒大于所以

,且△

所

,理

．2cos,所以．

12

．7．124★若

、

为实数,

,

为锐角,证：

sin

的绝对值不大于1．解析

由xy,,

,（,（即

sin

y

sin

,一项减一项得

sin

cos

y

x

y

sin

．

x

ycos

,因

x

,所

x

y

,故

sin

y

1

．7．125已知

,证1）

sin

2）

cos

3）

tan

．解析

用定义将三角比表示成直角三角形对应边的比然后利用边的不等关系证明．OB,使AOO,作AHOB于,AOBH．

O

HH

由

A

得射线

与线段

A

相交,设于

,则

OC

,所以

A

在

的延长线上,以HOH的延长线上得

OHOH

．又

HOH2H1122

22

,以

A

．因

为

H

AH

,

OH

OH

,

HAHOH

H

,

OH

OH

,

HOH

,以

sin

cos

cos

tan

tan

．7．126★

已知

,证：解析1构

造

Rt△ABC

,

C

,

,

,

如

图

,

则BCAB,ACcos．（1）由

BCACAB

,

；（2

CH

,线

CD

,

CHCD

,

1CDAB2

,

eq\o\ac(△,)

12

1AB≤ABAB2

△ABC以中CD,高CH重合为面积最大

ππ不能介于及之间．,有．ππ不能介于及之间．,有．CcosααADH而

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)

12

1BCsin2

cos

所cos

．有

2sin

2,

．又

sin

cos

,所sin

≤2

．由（1）（2知,

1sin

cos

≤2

．解析2

．又

cos

cos2≥

,故1

,

sin

cos

,

1

cos

2

．评注论．

解析1时也证明了“斜边给定的直角三角形,腰直角三角形的面积最大”这一结7．127★★证明：对于任何实数、,sin

sin

sinsiny

．解析

因为对于任意x、y,有sinx1sin≤

,所以

πxyπxsiny≤≤

．而函sin在≤x≤2

上的值是随着x的增加而增加的故

sin

sin

sin

sinsin

．7．128★若

,

,证明

sinasin解析

假设

aa由题意,,a

,

,又

,而1

b≥1aa

,

,,即

asinasin

≥a

,以假设不成立,命题成立．7．129★★设

y

且

,证：

xy

．解析

本题如果直接用代数方法过代数式的运算证明等式成立,比较复杂．根据已知条件

,联到

sin

,因此可设

,

,则将代数式转化为三角式,利三角函数有关公式进行变形,这样会简便一些．设

sin

,

cos

则ycos111sin

1sin

222sin2sincos

21coscos

2sin

cossin

．评注

在一些代数等式的证明中,如果已知条件

或

x

a

,可设或

xacosyasin从而将代数式转化为三角等式的证明问,我们称这种转化为三角代换法．由于三角函数的公式较多,因此化为三角式后,运算化简常比较方便．§．直角三形7．．1★★,在直角三角形

中

C90

,

AD

是

的平分,且

CD

,

DB6

,求△解析

的三边长．AECDB由角平分线想到对称性,考虑D作DEAB交AB于E则6

．在直角三角形

BDE

中,

,3,3sinB

DE61DB262

,以ACBCB

623

,AB

ACsin

,CDDB

．故

ABC

的三边长分别为

2

、

,

．7．22

★★在eq\o\ac(△,)中）D、是斜边AB的分点,已CDsinxCE

．试求AB的长．D

解析

FG作DFAC于,EGAC；DP,EQQ．令PQ

,

GF

．则

,

．在

RtCDF

和

RtCEG

中,勾股定理,

x,

x

,两式相加得

2

2

15

．所以

BDa

35

．7．．★★如图,距离．

△中C90,BAC的平分线,求到直线AD的

DH

,,解析

已知ABH中,要可求BAH正弦值而

BAHCAD

,因可先求出DC的长．作

DE

于

,

AE

,

ED

．设

DCk

,三角形内角平分线性质有

BD10DC6

,

BDk

．Rt△中,

,CD5DAC

15

BH10

,

BH25

．724★已知△是非等腰直角三角形

在所在直线上取两点D、E使DBCE,连、．已CAE的值．解析

如图,

、

两点作

BM∥

、

∥AB

分别交

AD

、

于

M

、

．易知MD

NCEACBM,

,tan

BMCNtanCAEAB

,从而,

BADCAE

．因为

BAD则

14

．7．．★★设有一张矩形纸片

ABCD

（如图）

AB

,

BC

．现将纸片折,使

点与

点重合,求折痕EF长．解析

AFDOB是矩形对角线AC的中点．连结CF由折叠FO,EF．由AB

,

BC

,

AC

,而AO

1AC2

．在AOF中FAO

．

,25eq\o\ac(△,S),25eq\o\ac(△,S)又由得

DC3AD

,所以

51515OFEFOF248

．7．26★★已知三角形两之和是10,这两边的夹角积为,求证：此三角形为等腰4三角形．解析由题意可设125,sin211即,22得．

,

30

,于是,由

,

,得

、

是方程

x25

的两个根．而此方程有两个相等的所以

,此三角形为等腰三角形．评注

也可以直接由,a．7．．7★★A的值．

,其周长,且知斜边上的中线长为1如果BCAC,解析

由于斜边长是斜边上中线长的2倍,故

AB

．于是,题设及勾股定理,

,①②把①式两边平方,得a

．再由②得

．③由①、③知,

、

分别是二次方程

u

6u

的两根解得

u

622

．因为BCAC（a）故BC

12

6

12

6

所以

A

622

．72★★已知

a

、

b

、

分别是

ABC

中

、

,

的对边,

a

、

b

是关于

的一元二次方程x

的两个根．（1）判ABC形状；

3333（2）若

A

c．解析（）根据题意尝试从边来判断．因为

a

,

,所以

,从而△是直角三角形

C

．（2）由

90

,．4b4令

,

,

,是

k

,

,而有,b

．7．29★★在

Rt△

中,

C

,

eq\o\ac(△,)

12

,两直角边长满足条件

3m

．（1）证明24；（2）m取最小值时,△中最小内角的正切值．解析（1由题设得

,b消去

,

,实数

满足二次方程3x2mxm

．①所以

△

．因为

,以

m24

．（2）时程①只有一个实数根a,从b．由b,△ABC的最小内角为,其正切值

．7．．10★★如图所示．

,

,

BFE

,

ECB

且．tan的值．B

CDAFE

,以,以,所以,以,以,所以解析

因为

CDE

CECD

,知

AB

,此,只需求ABCE的比值即可．不妨设

CD

,

．在

Rt△

中,

,

,以

BF

3

．Rt△BEF中BEF9045以BEcos

2Rt△BEC中ECBCE

2224sin3

,以

CE4CDE

．7．211★★如图所示．在锐角

△

中,

sin

45

,

tan

,

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)

．求

BC

．DC解析

作AD,ADx,△ABD中,

45

,以

B

35

,所以

tan

sinBAD43BDxBBD34

．在

Rt△ADC

中,为

tanC

ADADxxCDBDxDC224

．①因为

eq\o\ac(△,)

12

BC

,所以

x

,所以．由①知

5BC4

．评注

在一般三角形,在适当位置作高,将其转化为直角三角形求,这是解斜三角形常用的方法．7．212★如图所示．在

△

中,

A

,

CB

,

CD

,

BD

．求

CBD

及

AC

．

x2x2CAD解析1CEAD于E,BEy

,有

y,

②-①得

24,所

52

．5因

为

35

,

所

以

cosCBE5

,

所

以CBE60180以

CE525452

．解析2中BCCD

,由余弦定理得

CD

BC

,所以

BC71cos2

,所以

CBD120

,而

CBA

．在

△ABC

中,正弦定理得

sinCBAA

,所以

CBAsinA

5

322

562

A．27．213如图,已知

△

中,

,

D

是

的中点

DCA

,

DCB45

．求

BC

的长．

D解析

作

BE

B,

交

AC

的

延

长

线

于

,

设

BC

．

则sin

2

,

CEBC

2DC∥BED是AB中点,

AE

x

．

,,,以,以2,,,以,以2而

AE

,

x

．即

x

105

,以

BC

105

．评注

通过构造直角三角形,使用三角函数勾股定理等知识将边角联系起来是求线段长的常用方法．7．214如图,

△

中,

,

CD

于

D

,

DE

于

,

BC

于

F

．求证：

AEBF

．CFDB解析

ACD,ADE

AEEDDFtantanDE

,以AEEDDFtanDEEC

,又

,以

AEEDECtanDEEC

B

．又

AEBC

．评注

本题直角三角形较直接用相似三角形往往找不好关系,利用等角的三角函数作边的转化,关系明确．7★★如图在

△

中,

A90

,

ABAC

,

M

是

AC

边的中点,

AD

垂直于

BM

且交

BC

于

D

．AM

FBD

C求证：

AMBCMD

．解析

作DFAC于,不妨,因AD,BAMABM

．又

tan

1MA2

．

DAF

DF1

．

,,,,,,,,,,,,,,,,又

BAC90ABC45DFCFC．由于

FC31FAFCMCFMFD22

,即

CMD

1ABAMBAM

是锐角．因此

AMBCMD

2．评注

利用解三角形的知识把结论中有关的线段用常数或适当的参数表示过计算证明几何命题,种方法称为几何题的三角证法．7216★★在等腰直角三角形ABC中ABE为上任意一点,

点F在底上FEBE,证S

△

．解析

如图,点

F

作

AC

,足为

D

．因为

AEDBFCDEF,所,而DEF,得

ABDEDF

．又因为FDCD,则那DE

．于是

1a1

,

x

a

1

．故S

△

1a

．7．2．17★★★如,直角三角形中90AC,是AC上一动F在BC上,E从开始运动且保持EFBE,写A

与点E运动时到距离关系式．EBFD

C

,MN4eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,),MN4eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)解析

如图,CD交直EF于D,ABE△,得

ABAEEDEC

．由AE得

,

DEb

,

DE

,CDax

．又

△BEF

∽

,

则

BECDDF

,

即

BEEFBE

,

得

aa

aaa

aa

．故

S

a

．718★★如（,正形ABCD的边215、分别是AB、BC的中点AF分别、DB

于点

M

、

,

△DMN

的面积．

DA

DM

MF(a)

B

F

解析

记正方形ABCD的边长2a由题设易△BFNDAN则有

ADANBN

,得

ANNF,所

AF

．在直角

△

中,

ABa

,

BF

,

AF

BF

5a

,是

cosBAF

．由

题

设

可

知

≌

△

,

所

以AEDAFB

,

AME180

．于是

AMAEBAF

25aMNAFAM53

,从而eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)AF15

．又

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)AFD

12

eq\o\ac(△,)

4a15

．因,

．

22,b3过来,果在中则,．22,b3过来,果在中则,．72．19★已知

、

、

是

△

三边的长,中

,方程

两根的差的绝对值等于

2

．求

△ABC

中最大角的度数．解析

由已知条件

可,这是一个等腰三角形,且底边

最,最大角为

,出△的底角（）即可．我们可先求角（）的三角函数再确定角的大如图所示．由图知B

aADbADbcosc2c

,则关键是求出

与

的比值．通过一元二次方程中的条件,可得到关

、

的方程,问题得到解决．因所以方程为

bx

．设

、

为方程的两个根,则有

x

2c

,

．因为

xx2

,

xxx

,所,

bb6c

3

,cosA,c2所以

A30

．评注

这是一道方程与几何知识的综合题三角形的边是一元二次方程的系数,用方程条件导出边的关系,由边的关系再进一步求角的大小．720★★ABC中,C90是直角三角形．

Ab22a解析（）作角平分线

AD

（图略）,在

Rt△ACD

中,

ACDC

．由角平分线的比例性质,有

DCACBD

．所以

DCbBDDCABACb

,以,以所以

DC

abb

．所以

A2

．（2）我们证明是直角．设

C90

．如图,△ABC的角平分线AD在直线AD上取一,90

．由题设有D

FAb2b又由（1中的计算,

DC

abb

,CD,CFDE于F则FCEDACBAC

．所以

180DCE90

．7221★如AB圆的直弦∥,与BD交于E,已知

,求

△

:

．D

θ

解析

由