概率论与数理统计方差演示文稿

概率论与数理统计方差演示文稿当前1页，总共26页。概率论与数理统计方差ppt课件当前2页，总共26页。

上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.

但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.当前3页，总共26页。

例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：

若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结果

甲仪器测量结果较好测量结果的均值都是a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近当前4页，总共26页。

由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.、那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?当然可能首先想到的是用，但他有正有负，因而会互相抵消而使，容易看到这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差

能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度.但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.当前5页，总共26页。一、方差的定义

设X是一个随机变量，若E[(X-E(X)]2存在,称E[(X-E(X)]2为X的方差.

记为D(X)或Var(X)，即D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2当前6页，总共26页。若X的取值比较分散，则方差D(X)较大.

方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.若X的取值比较集中，则方差D(X)较小；因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。当前7页，总共26页。X为离散型，分布率P{X=xk}=pk

由定义知，方差是随机变量X的函数

g(X)=[X-E(X)]2的数学期望.二、方差的计算X为连续型，X概率密度f(x)定义法当前8页，总共26页。计算方差的一个简化公式

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

展开证：D(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2利用期望性质当前9页，总共26页。当前10页，总共26页。当前11页，总共26页。二常见分布的方差解为X的标准化变量注任何存在数学期望和方差（不为0）的随机变量都可以标准化。当前12页，总共26页。例2设随机变量X具有(0—1）分布，其分布率为求D(X).解由公式因此,0-1分布当前13页，总共26页。例3解X的分布率为上节已算得当前14页，总共26页。因此,泊松分布当前15页，总共26页。例4解因此,均匀分布当前16页，总共26页。例5设随机变量X服从指数分布,其概率密度为解由此可知,指数分布当前17页，总共26页。例6

注意对于任何一个正态分布中的参数都有其自身的意义当前18页，总共26页。三、方差的性质1.设C是常数,则D(C)=0;2.若C是常数,则D(CX)=C2

D(X);3.设X与Y是两个随机变量，则

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}若X,Y相互独立,则有此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况.当前19页，总共26页。下面我们证明性质3证明当前20页，总共26页。

4.

D(X)=0P{X=C}=1,这里C=E(X)推论当前21页，总共26页。例7

设X~B(n,p)，求E(X)和D(X).若设i=1,2，…，n

则是n次试验中“成功”的次数下面我们的举例说明方差性质应用.解X~B(n,p),“成功”次数.则X表示n重努里试验中的当前22页，总共26页。于是i=1,2，…，n

由于X1,X2,…,Xn相互独立=np(1-p)E(Xi)=p,D(Xi)=

p(1-p),当前23页，总共26页。当前24页，总共26页。例8设随机变量X和Y相互独立且X~N(1,2),Y~N(0,1).试求Z=2X-Y+3的概率密度.解:=4×2+1=2×1-0+3(E(Z),D(Z))Z~N(5,32)且X与Y独立,Y~N(0,1)，X~N(1,2),则Z~NE(Z)==2E(X)-E(Y)+3E(2X-Y+3)=5D(Z)=D(2X-Y+3)=4D(X)+