《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案

《现代控制理论》刘豹著（第3版）课后习题答案（最完整版）

第一章习题答案

1-1试求图卜27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

图1-27系统方块结构图

图1-30双输入一双输出系统模拟结构图

系统的状态方程如下:

xlx2x2

Kb

x3J2KpJl

x3

KpKnl

x4x5X6J1J1J1

x3

x4x3

x5Klx3KlX6x6

KIKKxl1x6luKpKpKp

令（s）y,则yxl

所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1x

x2x3x4x5x6

00000

KIKp

1

0Kb

J2Kp

0

JI

0100

K10

00Kn

J1000

001J000

000xl0XKp20

x

JI30u

x400xKl5KIKIx6Kp

Kp

xl

x2x

y1000003

x4x5x6

1-2有电路如图1-28所示。以电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压

作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压作为输出量的输出方程。

图1-28电路图

解：由图，令ilxl,i2x2,ucx3,输出量yR2x2

RlxlLlxlx3u

xl

既得

Rlllxlx3UL1L1L1R21X2x3L2L2

有电路原理可知：L2x2R2x2x3

xlx2Cx3

x2x3

llxlx2CCyR2x2写成矢量矩阵形式为:

RI

LIxlo

x02ox31

C

o

0R2

L21C

1

LIx1L11

x20uL2x30

0

xl

y0R20x2x3

1-3参考例子1-3(P19).

1-4两输入ul,u2,两输出yl,y2的系统，其模拟结构图如图『30所示，试求其状态

空间表达式和传递函数阵。

ul

u2

图1-30双输入一双输出系统模拟结构图

解：系统的状态空间表达式如下所示:

10xx2a2x3140x

1al

0a5

000a4

0xl0

xba6211x30a3x4000uOb

xlx

y10102

x3x4

1s

asa

1

(siA)2

10

a50

00sa4

0

a61a3Is

asa

1

Wux(s)(siA)IB2

10

a50

0sa4

0a61a3

1

0b100000b200sa4

0a61a3

1

1s

asa

11

Wuy(s)C(slA)B10102

10

a500

b100000b2

1-5系统的动态特性由下列微分方程描述

(2)y5y7y3yu3u2u

列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。解：令xly,x2y,

x3y,则有

110xl00xo

X0ux00122

x3375x31

xly231x2x3

相应的模拟结构图如下:

1-6(2)已知系统传递函数W(s)出相应的模拟结构图

1016(s1)43解：W(s)

s(s2)(s3)2(s3)2s3s2s

6(s1)

,试求出系统的约旦标准型的实现,并画

s(s2)(s3)21310xx203030x020

0x400xl00x21uOx310

x41xl101x2y4333x3x4

1-7给定下列状态空间表达式

1010xl0xx2230x21u

3x113x32'x1

y001x2x3

(1)画钳其模拟结构图

(2)求系统的传递函数

解:

0s1

2s30(2)W(s)(siA)1Is3

sis(s3)22(s3)(s3)(s2)(s1)

s32s301

(siA)12(s3)s(s3)0(s3)(s2)(s1)s5s1(s1)(s2)

s320s30lWux(s)(siA)IB2(s3)s(s3)01

(s3)(s2)(s1)s52s1(s1)(s2)

(s3)1s(s3)(s3)(s2)(s1)(2s1)(s3)

(s3)1Wuy(s)C(slA)IB001s(s3)(s3)(s2)(s1)

(2s1)(s3)

(2s1)(s2)(s1)1-8求下列矩阵的特征矢量

100

302(3)A1276

01

323621160解：A的特征方程

IA1276

解之得：11,22,33

10pll0pll

302p21p21当11时，

1276p31p31

pH1

p211解得：p21p31pH令pll1得

Plp311

pH11)P(或令pllb得

Pl21p311

10pl20pl2

302p222p22当12时,

1276p32p32

pl22lp224解得:p222pl2,p32pl2令pl22得

P22p321

pl212)(或令pl21,得

P2p221p322

10pl30pl3

302p233p23当13时，

1276p33p33

pl31

p233解得：p233pl3,p333pl3令P131得

P3p333

1-9将卜列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）

1412xl31xx2102x227u

3x113x353

xl

yi120011x2

2

x3

(2)

241

解：A的特征方程IA1111,23,31

412pllpll

当3时,102p213p211

13p31p31

解之得p21p31pll令pll1得

412pllPll1

当23时，102p213p211

113p31p311

解之得pl2p22l,p22p32令pl21412pl3pl3

当31时,102p23P11323

p33p33

解之得pl30,p232p33令p331

110012

T102T1112

101011

23(1)(3)20

pHPl1

p211p311

pl21

得P2p2200p32pl30

得P3p232p3310123181

TIB1122752

0115334

110120314CT102Oil101203

31081~030"xx52u约旦标准型

00134

314~yx203

1-10已知两系统的传递函数分别为Wl(s)和W2(s)

1111W1(s)sIs2W2(s)s3s4

s1100s2s1

试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果

解：(1)串联联结

1W(s)W2(s)Wl(s)s31s1

1(s1)(s3)12(s1)

(2)并联联结

1Is4s1001s2s1s2s25s7(s2)(s3)

(s4)1(s1)(s2)

1111W(s)Wl(s)Wl(s)sIs2s3s4

s1100s2s1

1-11(第3版教材)己知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别

为

11s110sW2(s)Wl(s)1010s2

求系统的闭环传递函数解：

1s1

Wl(s)W21(s)

01Is10s1

1010

s21

s1s2

1s1

I

£sis

00£s【i(£s)ss([s)Gs)is%s

ISIISs

Is

s0£szs(S)IM(s)ZM(s)IMI(s)MIss[4s1s

£sii

£s%s

(£s)s【s

I(s)ZM(s)IMI

2s

2ss

I

Is0

Zss%s

IsJ

5s

010I

is01szsi

0£s%sis$s

0

I(s)M(s)[MI

1s2

1-11（第2版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别

为

11

sW(s)10Wl(s)s120112s2

求系统的闭环传递函数解:

1111s10s1s

Wl(s)Wl(s)si110122s2s2

111s2s10sIs

IWl(s)Wl(s)s11s30122s2s2

1s3

s2sIWl(s)Wl(s)12s(s1)

s2s5s22s111s3s(s1)Is2ss2W(s)

IWl(s)Wl(s)Wl(s)2s2s5s22ss1

s32s312s(s1)(s2)ss(s2)s(s2)222(s2)21s5s

2s2sIss1

(s1)2(3s8)(s2)2(s25s2)s36s26s(s2)(s25s2)

s1s25s2s22s5s21s1s2

1-12已知差分方程为

y(k2)3y(k1)2y(k)2u(k1)3u(k)

试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b（即控制列阵）为

1(1)b1

解法1：

2z311W(z)2z3z2zlz2

101x(k1)x(k)u(k)021

y(k)11x(k)

解法2：

xl(k1)x2(k)

x2(k1)2x1(k)3x2(k)u

y(k)3x1(k)2x2(k)

100x(k1)x(k)u(k)231

y(k)32x(k)

11111求T,使得TIB得T1所以

T01101

1114011OTAT230151

011

11CT323101所以，状态空间表达式为

401z(k1)z(k)u(k)511y(k)31z(k)第

二章习题答案

2-L证明，由

6如胡=/+(力+8%+g(力+8)2f2+g(H+为3p+

=l+(A+By+^A2+AB+BA+B2)t2+-

+g(/3+A2B+ABA+AB2+BA2+BAB+B2A+Bi)ti+-

i22233

/e友=(I+At+—At+...)(/+及+—Bt+—5Z+•••)

213!2!31

=/+(金+砂+3(4+2^+炉/+…

+(。+1^25+1^2+%)/+…

3!2!2!3!

将以上二式相减，得

2ill3

e(A^t_eAie»=l(BA-AB)t+ABA+BA+BAB-2AB-2AB)t+-

显然，只有49=胡，才有

邱0友=o.

即一+”=产—

2-2,证明：(2-17)

由/=/+T4Z+—^42/2+—^43/3+•••

2!3!

At

e

a/

证明:《2」8)

由e"=I+At+—+…;

2!3!

知三可逆阵p,stp~1Ap=A,则4="1-】,且为,4,…是特征根,

可知

别g由,=

若4可对角化，则m—变换阵P,定义

x=px,则

i=p~xApx=A2

其中A=4..;

^4一

其解为：

x(i)=i久0)；

x(£)=px(t)=peMp~lx(0),

又由x(£)=/x(0)；

故=peMp~x#

注意到

/』+以+#、#"⑴将

由

41…0

04••■0

9

4=1

00•••九一

于是有

3241…0'

0V24…0

42=00A2…0

*

:•,­.24

_000…4:

A33/341•■'0'

3

0A3兄：34•••0

00V34?.••0

4=

000V-0

0000■••V.

将以上求得的4及其4诸次方的表达式带入(1)式，令二9二1廿「二5有

2

\T/3TaT尹

M2ia^2(w-i)iav-1

A△Bear...a*?

叫伽一2)!»4*-2

卢-

CC、T,铲-3

Anxu

(活_3)!网对-3

000T

r-

42,24M-l-

At,AtAt£AiL&

eteee1/—••-------

2(w-1)!2(w-l)l

*-2,M-2

，/,1At

0ete…---------------eOli------

(w-2)l(m-2)!

—,㈱-3一3

0Ue••----------------&001…———

6?-3)!伽-3)!

•

_000…e")00-1

这是第小块的情况,其余小块类似，狼证。#

证明：（2-20）

采用拉氏变换法:

产=zr"®_」)T)

而

3-4)T=S~A0心-4+凉)

-CDs-cr]

\1(i+i)±(—1_________L_

2s-b+J。s-cr-jo)2js-(J-jo)s-b+J。'

111、I,11

——(z-------------------)—(---------+---------)

2js-cr-J。s-cr+jo)2s-b+/Gs-c-jo)

ej£-i((s/-j)”)

由WEVuWVlWaVr'公式7，有IV

小cosMsin改

2_M=I2__«

-sin<2^cosan

2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数eAt。

11(2)A=41

解：第一种方法:令IA0则1

4120,即140o1

求解得到13,21

P当13时,特征矢量pl11p21

11pll3pll由ApiIpl,得41p213p21

pl1p213pll1即，可令pl4pP3p2112121pl2当

21时;特征矢量p2p22

11pl2pl2由Ap22p2,得41p22p22

pl2p22pl21即，可令p24pPP2122222

12111贝i」T,T221

2141

4

113tltee4221e3tet

413tltee4413tltee2211e

eAt2203t102et12

第二种方法，即拉氏反变换法:

s11siA4s1

siA1s114sIs3s11

s3s1s1

s3s1Is1s3s1

4s3s11112s3s111s3s1

13tltee122eAtL1siAe3tet

1111123slsl3tltee44

13tltee22114s3s

第三种方法，即凯莱一哈密顿定理由第一种方法可知13,211

013e411t1e1413t3

13t3tee3t4e44t

lelle3tet44413tltee44

13tltee2213tltee10111313223tteAte3te

tee41401444e3tet

2-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。

2ete2t

(3)tt2tee1t3t2ee2e2t2et(4)

t2tt2eeete3t

1ete3t41t3tee2

10解：(3)因为0I,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件

01

Att02et2e2tt2te2e4e2t2et02

4e2tett013

10(4)因为0I,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件01

1t33t2e2e

et3e3t

1t33tee1144

1t33t41eet022Att0

2-6求下列状态空间表达式的解：

01Oxxu001

y1,0x

1初始状态X0，输入ut时单位阶跃函数。

1

01解：A00

s1siAOs1

1s1s1siA2sOs01s21s

It1teAtL1siA01

0因为B,utIt1

xttx0tBudOt

It1tIt010011d

t1ttd011

1t1t221t12tt12t1

ly10xt2t12

2-7一考虑如下式给出的系统：

x=Ax+Bu

证明:(1)脉冲相应：u3=Kg,彳(。-)=而时，

由状态方程解为：

x(Z)=)x«o)+

把4=0_带入，有

x(i)=e*x(0_)+［；e^Bu(T)dT

带入〃⑥=K5«),有

x(Z)=e&x(0_)+I：e^BK6(T)dT(考虑到6函数的特点)

MM

=ex0+eBK

(2)阶跃响应：

由状态方程解为：

}

x«)=e如”x(Z0)+je熊T&(T)&T

把曲=0_带入,有

X«)=/X(0_)+j；/T&(T)dT

M

=^x0+e\o-----)diSK,积分，有

上式猥=A0+^(Z/--+———)改

=/X。+/[-(T)(e-拉-l)]BK

=e©x0+A-\eAt-I)BK

(3)斜坡响应：

由状态方程解为：

x(f)=e*z)K«())+(eM-*Bu(T)dp

把％=。-，〃Q)=k£x1(£)带入，有

x(Z)=当(0_)+=如加不诚

“A2T2

=&^XQ+(Z--r4T4-―———…)"E/ISK

出血/2-2黄工3+丁3上214….理

=0血/+/-2(。血_/_幺£)欧

=/而+[4-2(e3-l)-A-k]BK

2-8(略)

2-9有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s

和1s,而ul和u2为分段常数。

图2.2系统结构图

解：将此图化成模拟结构图

列出状态方程

xlkulx1x2xlu2y

x10kOu10

y21xlx

2

则离散时间状态空间表达式为

xk1GTxkH

由GTeAt

和HTT

eAtOdtB得：

A1010B

CT

21eAt

L1

si1

1s100

A

LIseT

1e

T1

HTeAtT

et

0kO1eTOT

dt

1eT1dt01

T1eT

TkOk011ekT1eT

当T=1时xk110

k1e101e11xkke1

1uk

yk121

xk当T=0.1时x1e0.10

k1e0.1

01e0.11xkukke0.1

0.90.1

yk121

xk0T

2-10解:G的特征根为3/8,5/8,对应的P为

一][0.5一0.5]

-11J〃|_0.50,5_

由x(k)=①&)x(0)+V①(力跪(左一)一1)

7-0

由初值和输入可递推计算，得结果如下：x(l)=①⑴x(0)+①(0)肱(0)

1/2l/Sj-llFlOjO'-1/8-

1/81/213J+[o

19/8

丁+0.2344

e"+1,1719

2Tl.

节t12G⑴=婚”左宦同君右£

G(s)=——--■—

勺°S-M5f2

儿七：］叼;）

4a欢喜嵌拗螂…

对（4,&C）虐为由帐吃,嬴房竹伞鱼也.

H.

”2乐说两川合W闾和弋

x,(fti)-e『Qb+(\-er)ud)

2r

x2(<*9-e-2丁%dj-r^(i-e)utb

utb-r必-y的=r内-(式M-a，“D

/认。t」

e-T-(/；+(i-eJZHGCjrrl)

工(M-(2ijxt^Z-

4d叫W(IT力到向十加记力M巾，-力也

・夕7ua/s时

次。?。"['[。”。门

X,V。文2=。[（0=0

4=。便24=0.g〃y⑴=〃。。4弓

才|二。.|加82二（?.心《向y⑷=0.0164

自二3NS0.25/2Xjazz犯芋？）=仇。335

1=4/=。、；*7人=。力。8J（4）3"。，3[

4二5X,=。、3837人针。3叼5y⑺=OOfb^

名二例叫乙二。.3333JQ物=。3333

<27,*7:。"5时

G：L。产”。*1'[o.0”b)

£=。x.uoaz=o予0u。

12,=。洒4=a1〃yn尸〃。。4弓

攵工2%=。胸8%二0.雇工y⑷二女0仍4

式=3Z=。Wp江jazz犯芋,)"。335

1=4X,-0^241A=o力。83(4)=o.oSj,

匕=5X)=0383,£=03。]53uj=a。76g

A=»oo心=0.6“74=。.33333a珂=<a3333

〈”祀湾间陆闺.G。⑸冷姒”7叟.

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_X(0.2fJ=

%，彳“一

3cC%e切=0.。2〃4

第三章习题答案

3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性

是否有关，若有关，其取值条件如何？

（1）系统如图3.16所示:

a

图3.16系统模拟结构图

解：由图可得:

xlaxlu

x2bx2

x3cx3x2xlxlx2cx3

x4x3dx4

yx3

状态空间表达式为:

alx

x02

x310x4

y001

0xl1x0bOO2ulcOx30

01dx40000x由于x2、x3>x4与u无关，因而状态不能完全能

控，为不能控系统。由于y只与x3有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。

(3)系统如下式:

10xl2111x

x010xaOu22x3002x

3bO

cOdyxOOO

解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对

于约旦块的最后一行元素不能为0,故有a0,b0o

要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0,故有c0,dOo3-2时

不变系统

3111131111yX11

试用两种方法判别其能控性和能观性。

解：方法一:

311A,B113

11MBAB11111,C111-2-2-2-2

rankM12,系统不能控。

11C11NCA2244

rankN2,系统能观。

方法二：将系统化为约旦标准形。

IA3

112310312,24

1则状态矢量：A1P11P1P11

1A2P22P2P2-1

112211-1,TT111-122

11-3111-20T-1AT221-10-4111-

322

11221111-1TB00111122

111120CT1-11-102

T-IB中有全为零的行，系统不可控。CT中没有全为0的列，系统可观。3-3确定使下

列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数i和i

11(1)Al,b,C11102

解：构造能控阵:

MbillAb12

要使系统完全能控，则112,即1210构造能观阵:

1C1NCA112

要使系统完全能观，则121,即12103-4设系统的传递函数是

y(s)sa32u(s)s10s27s18

(1)当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？

(2)当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。

(3)当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。

解：⑴方法1:W(s)y(s)sau(s)(s1)(s3)(s6)

系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。因此当"1,或a=3或"6时，系统为

不能控或不能观。

方法2：

a-la3a-6

y(s)sa10615u(s)(s1)(s3)(s6)sIs3s6

11,23,36

1

X0

0

aly100311u061

a3a661500

系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列。因此当a=l,或a=3或"6时，系统

为不能控或不能观。

⑵当a=l,a=3或a=6时,系统可化为能控标准I型

1000x0u0x011827101

yalOx

(3)根据对偶原理，当"1,a=2或a=4时，系统的能观标准H型为

0

lx0

y0018a1u027x1100

...01x3-6已知系统的微分方程为：y6ylly6y6u

试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。

解：a06,al11,a26,a33,bO6系统的状态空间表达式为

0

Ox6

y600x0u11610xlOOl

传递函数为

0s1W(s)C(sl-A)-

IB6000s1611s61060s36s2Ils6

1

其对偶系统的状态空间表达式为:

0066

1011x0ux0160

y001x

传递函数为W

“7.能您林力军为：

心［：二］”［：］

31,能双摩犷至方：

ATO-11.b-「4

A.=，2-

(s)632s6sIls6

3-9已知系统的传递函数为

s26s8W(s)2s4s3

试求其能捽标准型和能观标准型。s26s82s512W：W(s)2

s4s3s4s3

系统的能控标准I型为

010xxu-3-41y52xu

能观标准II型为

0-35xxu1-42

01xu

3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。

1000

230x1ux1132

y001x

1000,b1,C001230W：

A1132

Mb013AbA2b1272511

rankM23,系统为不能控系统，不能变换为能控标准型。

01C0113NCA2CA179

rankN3,系统为能观系统，可以变换为能观标准型。

3-11试将下列系统按能控性进行分解

1210,b0,C111010(1)

A0431

解:

Mb014rankM=2<3,系统不是完全能控的。

AbA2b000913

010,RAb0,R1,其中是任意的，只要满足0构造奇

异变换阵Rc：R1bR323130Rc满秩。

010301得R1100001即Rc

c130010

0321Rlb0RclARc142cRc121

c1000

3-12试将下列系统按能观性进行结构分解

1210,b0,C111010(1)

0431

1210,b0,C111010解：由已知得

A0431

C111232则有NCA