【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（文科）圆锥曲线填空解答题（精解精析）

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（文科）圆锥曲线填空解答题（精解精析）二、填空题1．(2021年高考全国甲卷文科)已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．【答案】解析：因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，则，所以，，即四边形面积等于．故答案为：．2．(2021年全国高考乙卷文科)双曲线的右焦点到直线的距离为________．【答案】解析：由已知，，所以双曲线的右焦点为，所以右焦点到直线的距离为．故答案为：3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科)设双曲线C：(a>0，b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为_________．【答案】【解析】由双曲线方程可得其焦点在轴上，因为其一条渐近线为，所以，．故答案为：【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所在位置，属于基础题．4．(2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)设为椭圆C：的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为___________．【答案】【解析】设，，，椭圆的，，，，由于为上一点且在第一象限，可得，△为等腰三角形，可能或，即有，即，；，即，舍去．可得．故答案为：．5．(2017年高考数学课标Ⅲ卷文科)双曲线的一条渐近线方程为,则=_______．【答案】【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：，而该双曲线的一条渐近线方程为，而，所以．【考点】双曲线渐近线6．(2015年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为．【答案】分析：根据双曲线渐近线方程为,可设双曲线的方程为,把代入得．所以双曲线的方程为．考点：本题主要考查双曲线几何性质及计算能力．7．(2015年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为．【答案】分析：设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|++|AF|=|PA|++|AF|+，由于是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+最小，即P、A、共线，∵，（－3,0），∴直线的方程为，即代入整理得，解得或(舍)，所以P点的纵坐标为，∴==．考点：双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题三、解答题8．(2021年高考全国甲卷文科)抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．(1)求C，的方程；(2)设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．【答案】（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析解析：（1）依题意设抛物线，，所以抛物线的方程为，与相切，所以半径为，所以的方程为；（2）设若斜率不存在，则方程为或，若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；若方程为，根据对称性不妨设则过与圆相切的直线为，又，，此时直线关于轴对称，所以直线与圆相切；若直线斜率均存在，则，所以直线方程为，整理得，同理直线的方程为，直线的方程为，与圆相切，整理得，与圆相切，同理所以为方程的两根，，到直线的距离为：，所以直线与圆相切；综上若直线与圆相切，则直线与圆相切．【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示．9．(2021年全国高考乙卷文科)已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．(1)求C的方程;(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值．【答案】（1）；（2）最大值为．解析：（1）抛物线的焦点，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，所以该抛物线的方程为；（2）设，则，所以，由在抛物线上可得，即，所以直线的斜率，当时，；当时，，当时，因为，此时，当且仅当，即时，等号成立；当时，；综上，直线的斜率的最大值为．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用平面向量的知识求得点坐标的关系，在转化斜率时要注意对取值范围的讨论．10．(2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知A、B分别为椭圆E：(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点．【答案】（1）；（2）证明详见解析．【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程可得：，，，，椭圆方程为：（2）证明：设，则直线的方程为：，即：联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：，解得：或将代入直线可得：所以点的坐标为．同理可得：点的坐标为直线的方程为：，整理可得：整理得：故直线过定点【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题．11．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．(1)求C1的离心率；(2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．【答案】（1）；（2）：，：．【解析】解：（1）因为椭圆的右焦点坐标为：,所以抛物线的方程为，其中．不妨设在第一象限，因为椭圆的方程为：，所以当时，有，因此的纵坐标分别为，；又因为抛物线的方程为，所以当时，有，所以的纵坐标分别为，，故，．由得，即，解得（舍去），．所以的离心率为．（2）由（1）知，，故，所以的四个顶点坐标分别为，，，，的准线为．由已知得，即．所以的标准方程为，的标准方程为．【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力．12．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．(1)求的方程；(2)若点在上，点在直线上，且，，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），，根据离心率，解得或(舍)，的方程为：，即；（2）不妨设,在x轴上方点在上，点在直线上，且，，过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为根据题意画出图形，如图，，，又，，，根据三角形全等条件“”，可得：，，，，设点为，可得点纵坐标为，将其代入，可得：，解得：或，点为或，①当点为时，故，，，可得：点为，画出图象，如图,，可求得直线的直线方程为：，根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，根据两点间距离公式可得：，面积为：；②当点为时，故，，，可得：点为，画出图象，如图,，可求得直线的直线方程为：，根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，根据两点间距离公式可得：，面积为：，综上所述，面积为：．【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．13．(2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知曲线C：，为直线上的动点，过作C的两条切线，切点分别为A，B．(1)证明：直线AB过定点；(2)若以为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．【答案】【解析】（1）证明：设，，，则，由于，切线的斜率为，故，整理得：．设，，同理可得．故直线的方程为．直线过定点；（2）解：由（1）得直线的方程．由，可得．于是．设为线段的中点，则，由于，而，与向量平行，，解得或．当时，，所求圆的方程为；当时，，所求圆的方程为．14．(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知是椭圆的两个焦点，为上一点，为坐标原点．(1)若为等边三角形，求的离心率；(2)如果存在点，使得，且的面积等于，求的值和的取值范围.【答案】解：（1）连结，由为等边三角形可知在中，，，，于是，故的离心率是.（2）由题意可知，满足条件的点存在当且仅当，，，即，①，②，③由②③及得，又由①知，故.由②③得，所以，从而故.当，时，存在满足条件的点.所以，的取值范围为.15．(2018年高考数学课标Ⅲ卷文科)(12分)已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．(1)证明：；(2)设为的右焦点，为上一点,且．证明:．【答案】【官方解析】（1）设，，则有，两式相减，并由，得由题设知，，于是，由题设，故．（2）由题意得．设，则．由（1）及题设得．又点在上，所以，从而,．于是．同理．所以．故．16．(2018年高考数学课标Ⅱ卷文科)(12分)设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．(1)求的方程；(2)求过点，且与的准线相切的圆的方程．【答案】解析：（1）由题意得，的方程为．设，．由得．，故．所以．由题设知，解得（舍去），．因此的方程为．（2）由（1）得AB的中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为，则解得或因此所求圆的方程为或．17．(2018年高考数学课标Ⅰ卷文科)(12分)设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．(1)当与轴垂直时，求直线的方程；(2)证明：．【答案】解：（1）当与轴垂直时，的方程为，可得的坐标为或．所以直线的方程为或． （2）当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以．当与轴不垂直时，设的方程为，，，则．由得，可知．直线的斜率之和为．① 将，及的表达式代入①式分子，可得．所以，可知BM，BN的倾斜角互补，所以．综上，．18．(2017年高考数学课标Ⅲ卷文科)(12分)在直角坐标系中，曲线与轴交于两点，点的坐标为．当变化时，解答下列问题：(1)能否出现的情况？说明理由；(2)证明过三点的圆在轴上截得的弦长为定值．【答案】（1）不会存在的情况；（2）详见解析．解：(1)设，则是方程的根所以则所以不会能否出现的情况．（2）法一：过三点的圆的圆心必在线段垂直平分线上，设圆心则，由得化简得，所以圆E的方程为令得，所以过三点的圆在轴上截得的弦长为所以过三点的圆在轴上截得的弦长为定值．解法二：设过三点的圆与轴的另一个交点为由可知原点在圆内，由相交弦定理可得又，所以所以过三点的圆在轴上截得的弦长为，为定值．【考点】圆一般方程，圆弦长【点评】直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．19．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科)(12分)设为坐标原点,动点在椭圆上,过作轴的垂线,垂足为,点满足(1)求点的轨迹方程;(2)设点在直线上,且．证明:过点且垂直于的直线过的左焦点．【答案】(1)(2)见解析【试题分析】本题考查轨迹的求法,定点的证明．(Ⅰ)相关点法求轨迹,设点,找出未知点与已知点的关系,根据已知点满足的条件列出方程,然后反解代入,得到未知点的轨迹方程;(Ⅱ)设点,根据动点满足的条件,求出动直线方程,根据参数取值的任意性,求出定点坐标．【试题解析】(Ⅰ)解法一:相关点法求轨迹:设,,,则:,．又,所以:,则:．又在椭圆C上,所以:．所以:．解法二:椭圆C的参数方程为:(为参数)．设,,,则:,．又,所以:,则:．则:．(Ⅱ)解法一:设,,,则,,,又,所以:即:．又过垂直于的直线的方向向量为:,所以:,即:所以直线的方程为:,该直线过恒过．故过垂直于的直线过椭圆C的左焦点．解法二:设,,,则,,．又,所以:．又在上,所以:．又过垂直于的直线的方向向量为:,所以:,即:．所以直线的方程为:．该直线过恒过．即过垂直于的直线过椭圆C的左焦点．【考点】求轨迹方程．直线与椭圆的位置关系．【点评】定点,定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的．定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现．20．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科)设为曲线上两点,与的横坐标之和为4．(1)求直线的斜率;(2)设为曲线上一点,在处的切线与直线平行,且,求直线的方程．【答案】(1)1;(2)．【解析】(1)设,则(2)设,因为,所以在点处的切线斜率,∴,则,又因为,所以即,又设,代入,得,∴,故直线的方程为．解法二:(2)设,因为,所以在点处的切线斜率,∴,则,设直线的方程为,将代入,得:当,即时,,设线段的中点为,则,从而,因为,在中,,即,解得,所以直线的方程为．【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系,所使用方法为韦达定理法,因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用．21．(2016年高考数学课标Ⅲ卷文科)(本小题满分12分)已知抛物线的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．(Ⅰ)若在线段上，是的中点，证明；(Ⅱ)若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程．【答案】（I）见解析；（II）【解析】由题设．设，则，且．记过两点的直线为，则的方程为．（Ⅰ）由于在线段上，故．记的斜率为，的斜率为，则，所以．（Ⅱ）设与轴的交点为，则．由题设可得，所以（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时，由可得．而，所以．当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为．22．(2016年高考数学课标Ⅱ卷文科)(本小题满分12分)已知是椭圆：的左顶点，斜率为的直线交与两点，点在上，．(1)当时，求的面积(2)当时，证明：．【答案】（1）；（2）见解析【官方解答】（Ⅰ）设，则由题意知．由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为，又，因此直线的方程为．将代入得，解得或，所以．因此的面积．（2）将直线的方程代入得．由得，故．由题设，直线的方程为，故同理可得．由得，即．设，则是的零点，，所以在单调递增，又，因此在有唯一的零点，且零点在内，所以．23．(2016年高考数学课标Ⅰ卷文科)(本小题满分12分)在直角坐标系中，直线交y轴于点M，交抛物线于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．(I)求；(=2\*ROMANII)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．【答案】（I）2（=2\*ROMANII）没有【官方解答】（Ⅰ）由已知得，．又为关于点的对称点，故，的方程为代入整理得，解得，，因此．所以为的中点，即．（Ⅱ）直线与除以外没有其它公共点．理由如下：直线的方程为，即．代入得，解得，即直线与只有一个公共点所以除以外直线与没有其它公共点．24．(2015年高考数学课标Ⅱ卷文科)(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为,点在上．(Ⅰ)求的方程；(Ⅱ)直线不经过原点且不平行于坐标轴,与有两个交点,线段中点为,证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见试题解析分析：（Ⅰ）由求得,由此可得C的方程．（=2\*ROMANII）把直线方程与椭圆方程联立得,所以于是．解析：（Ⅰ）由题意有解得,所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）设直线,,把代入得故于是直线OM的斜率即,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值．考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力．25．(2014年高考数学课标Ⅱ卷文科)设，分别是椭圆C：的左，右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．(Ⅰ)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a，b．【答案】（Ⅰ）由及题设知，，将代入，解得，（舍去）．故的离心率为．（Ⅱ）由题意，原点O为的中点，∥轴，所以直线与轴的交点是线段的中点，故，即．①由，得．设，由题意知，则，即．代入C的方程，得，②将①及代入②得．解得，，故，．考点：（1）椭圆的几何性质，（2）方程思想，（3）椭圆与三角形，（4）椭圆与平面向量难度：C备注：较难题．26．(2013年高考数学课标Ⅱ卷文科)在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为。(Ⅰ)求圆心的轨迹方程；(Ⅱ)若点到直线的距离为，求圆的方程。【答案】解(1)设，圆P的半径为r．则．即．∴P点的轨迹方程为．(2)设P的坐标为，则，即．∴，即．①当时，由得．∴．∴圆P的方程为．②当时，由得．∴．∴圆P的方程为．综上所述，圆P的方程为．考点：（1）8．3．1求圆的方程；（2）8．2．3距离公式的应用；（3）8．4．1直线与圆的位置关系难度：C备注：高频考点、类型题27．(2013年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线。(1)求的方程；(2)是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于，两点，当圆的半径最长时，求．【答案】（1）；（2）或解析：由已知