秋高中数学第一章三角函数12任意三角函数122同角三角函数基本关系学案新人教A版必修4

同角三角函数的基本关系学习目标：1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．

(要点)2.

会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)[自主预习·探新知]1．平方关系公式：sin2α＋cos2α＝1.语言表达：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.2．商数关系公式：sinα＝tan_α(α≠kπ＋π，k∈Z)．cosα2语言表达：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．思虑：对随意的角α，sin22α＋cos22α＝1能否建立？[提示]建立．平方关系中重申的同一个角且是随意的，与角的表达形式没关．[基础自测]1．思虑辨析sinα2α(1)对随意角α，cosα＝tan2都建立．( )2292π22(2)由于sin4π＋cos4＝1，因此sinα＋cosβ＝1建立，此中α，β为随意角．()(3)对随意角α，sinα＝cosα·tanα都建立．()[分析]由同角三角函数的基本关系知(2)错，由正切函数的定义域知α不可以取随意角，因此(1)错，(3)错．[答案](1)×(2)×(3)×2．化简1－sin23π的结果是()53π3πA．cosB．sin553π3πC．－cos5D．－sin5C[由于3π5是第二象限角，3π因此cos5＜0，因此1－sin23π＝3π3π.]cos23π＝cos＝－cos555533．若cosα＝5，且α为第四象限角，则tanα＝________.4[由于α为第四象限角，且cos3－α＝，35因此sinα＝－1－cos21－324α＝－＝－，55sinα4因此tanα＝cosα＝－3.][合作研究·攻重难]直策应用同角三角函数关系求值3π(1)已知α∈π，2，tanα＝2，则cosα＝________.8(2)已知cosα＝－17，求sinα，tanα的值.【导学号：84352041】[思路研究](1)依据tanα＝2和sin2α＋cos2α＝1列方程组求cosα.(2)先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类议论求sinα，tanα.5sinα＝2，①cosα(1)－5[(1)由已知得sin2α＋cos2α＝1，②由①得sinα＝2cosα代入②得4cos2α＋cos2α＝1，213π因此cosα＝5，又α∈π，2，因此cosα＜0，5因此cosα＝－5.]8∵cosα＝－17＜0，∴α是第二或第三象限的角．假如α是第二象限角，那么sin21－－8215，α＝1－cosα＝17＝1715sinα1715tanα＝cosα＝8＝－8.172假如α是第三象限角，同理可得21515sinα＝－1－cosα＝－17，tanα＝8.[规律方法]利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先采用平方关系，再用商数关系．(2)若角α所在的象限已经确立，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确立，应分类议论，一般有两组结果．提示：应用平方关系求三角函数值时，要注意相关角终边地点的判断，确立所求值的符号．[追踪训练]1．已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值．[解]∵sinα＋3cosα＝0，sinα＝－3cosα.又sin2α＋cos2α＝1，(－3cosα)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，10∴cosα＝±10.又由sinα＝－3cosα，可知sinα与cosα异号，∴角α的终边在第二或第四象限．cos10，sinα＝310；当角α的终边在第二象限时，α＝－1010103当角α的终边在第四象限时，cosα＝10，sinα＝－1010.灵巧应用同角三角函数关系式求值7已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝________.13sinα＋cosα已知sinα－cosα＝2，计算以下各式的值．3sinα－cosα2sinα＋3cosα；②sin2α－2sinαcosα＋1.【导学号：84352042】3[思路研究](1)法一求sinαcosα→求sinα－cosα→求sinα和cosα→求tanα法二求sinαcosα→弦化切建立对于tanα的方程→求tanα求tanα→换元或弦化切求值12(1)－5[法一：(建立方程组)由于sinα＋cos7α＝13，①因此sin2249α＋cosα＋2sinαcosα＝169，120即2sinαcosα＝－.169由于α∈(0，π)，因此sinα＞0，cosα＜0.217因此sinα－cosα＝sinα－cosα＝1－2sinαcosα＝13.②由①②解得sin12，cos5，α＝α＝－1313sinα12因此tanα＝cosα＝－5.法二：(弦化切)同法一求出sinαcosα＝－60sinαcosα60tanα＝－60，22＝－169，2，169sinα＋cosαtanα＋1169整理得60tan2512α＋169tanα＋60＝0，解得tanα＝－或tanα＝－.125712由sinα＋cosα＝13＞0知|sinα|＞|cosα|，故tanα＝－5.sinα＋cosα由sinα－cosα＝2，化简，得sinα＝3cosα，因此tanα＝3.3×3cosα－cosα8cosα8①法一(换元)原式＝2×3cosα＋3cosα＝9cosα＝9.3tanα－13×3－18法二(弦化切)原式＝2tanα＋3＝2×3＋3＝9.②原式＝sin2α－2sinαcosα＋1sin2α＋cos2α422－2×313tanα－2tanα3＝tan2α＋1＋1＝32＋1＋1＝10.]母题研究：1.将本例(1)条件“α∈(0，π)”改为“α∈(－π，0)”其余条件不变，结果又怎样？[解]由例(1)求出2sinαcos120α＝－169，由于α∈(－π，0)，因此sinα＜0，cosα＞0，因此sinα－cosα＝－α－cosα217＝－1－2sinαcosα＝－13.与sinα＋cosα＝7sin512联立解得α＝－，cosα＝，131313sinα5因此tanα＝cosα＝－12.712．将本例(1)的条件“sinα＋cosα＝13”改为“sinα·cosα＝－8”其余条件不变，求cosα－sinα.1π[解]由于sinαcosα＝－8＜0，因此α∈2，π，因此cosα－sinα＜0，15cosα－sinα＝－1－2sinαcosα＝－1－2×－8＝－2.[规律方法]1.sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三个式子中，已知此中一个，能够求其余两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.2．已知tanα＝m，求对于sinα，cosα的齐次式的值解决这种问题需注意以下两点：(1)必定是对于sinα，cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)由于cosα≠0，因此可除以cosα，这样可将被求式化为对于tanα的表示式，而后辈入tanα＝m的值，进而达成被求式的求值．提示：求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要注意依据角的终边地点，利用三角函数线判断它们的符号.应用同角三角函数关系式化简2sin2α－1(1)化简1－2cos2α＝________.sinαtanα－sinα(2)化简1－cosα·tanα＋sinα.(此中α是第三象限角)[思路研究](1)将cos2α＝1－sin2α代入即可化简．5(2)第一将tansinαα化为cosα，而后化简根式，最后约分．(1)1[(1)2sin2α－12sin2α－1＝1.原式＝1－－sin2α＝2sin2α－1sinαsinαcosα－sinα(2)原式＝1－cosα·sinαcosα＋sinα＝sinα·1－cosα1－cosα1＋cosαsinα2＝·－cosα1－cosα1－cos2αsinα1－cosα＝1－cosα·|sinα|.又由于α是第三象限角，因此sinα＜0.sinα1－cosα因此原式＝1－cosα·－sinα＝－1.][规律方法]三角函数式化简的常用方法化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，进而减少函数名称，达到化简的目的.对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完整平方式，而后去根号达到化简的目的.对于化简含高次的三角函数式，常常借助于因式分解，或结构sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.提示：在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定，不行凭幻想象.[追踪训练]12．化简tanαsin2α－1，此中α是第二象限角．[解]由于α是第二象限角，因此sinα＞0，cosα＜0.故tanα1α－1＝tanα1－sin2αcos2αsinαcosαsinsinα＝αsin＝222sinα－cosαcosα·sinα＝－1.应用同角三角函数关系式证明[研究问题]1．证明三角恒等式常用哪些方法？6提示：(1)从右证到左．从左证到右．证明左右归一．(4)更改命题法．如：欲证明MPQP＝，则可证MQ＝NP，或证＝等．NQNM2．在证明1＋sinα＋cosα＋2sinαcosαα＋cosα时怎样巧用“1”的1＋sinα＋cosα＝sin代换．提示：在求证1＋sinα＋cosα＋2sinαcosα＝sinα＋cosα时，察看等式左1＋sinα＋cosα边有2sinαcosα，它和1相加应当想到“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α，因此等式左侧＝2α＋cos2α＋2sinαcosα＋sinα＋cosα1＋sinα＋cosα＝α＋cosα2＋sinα＋cosα1＋sinα＋cosα＝α＋cosαα＋cosα＋sinα＋cosα＋1＝sinα＋cosα＝右侧．tanαsinαtanα＋sinα求证：tanα－sinα＝tanαsinα.【导学号：84352043】[思路研究]tansinα解答此题可由关系式α＝cosα将两边“切”化“弦”来证明，也可由右至左或由左至右直接证明．[证明]法一：(切化弦)左侧＝sinsin2αα＝sinαα－sinαcos1－cosα，sinα＋sinαcosα1＋cosα右侧＝sin2α＝sinα.由于sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)，sinα1＋cosα因此1－cosα＝sinα，因此左侧＝右侧．因此原等式建立．法二：(由右至左)由于右侧＝tan2α－sin2αα－sinααsinα＝tan2α－tan2αcos2αα－sinααsinα722＝tanα－cosαα－sinααsinαtan2αsin2αtanαsinα＝α－sinααsinα＝tanα－sinα＝左侧，因此原等式建立．[规律方法]1.证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)双管齐下，即证左侧、右侧都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．2．技巧感悟：朝目标奔．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．提示：解决此类问题要有整体代换思想．[追踪训练]sinα－cosα＋11＋sinα3．求证：(1)sinα＋cosα－1＝cosα；(2)2(sin6θ＋cos6θ)－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝0.[证明](1)左侧＝α－cosα＋α＋cosα＋α＋cosα－α＋cosα＋＝α＋2－cos2αα＋cosα2－1＝2α＋2sinα＋－－sin2αsin2α＋cos2α＋2sinαcosα－1＝2sin2α＋2sinα1＋2sinαcosα－12sinαα＋1＋sinα＝2sinαcosα＝cosα＝右侧，∴原等式建立．(2)左侧＝2[(sin2θ)3＋(cos2θ)3]－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝2(sin2θ＋cos2θ)(sin4θ－sin2θcos2θ＋cos4θ)－3(sin4θcos4θ)＋1＝(2sin4θ－2sin2θcos2θ＋2cos4θ)－(3sin4θ＋3cos4θ)＋1＝－(sin4θ＋2sin2θcos2θ＋cos4θ)＋1＝－(sin2θ＋cos2θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右侧，∴原等式建立．8[当堂达标·固双基]1．假如α是第二象限的角，以下各式中建立的是( )sinαA．tanα＝－cosαB．cosα＝－1－sin2αC．sinα＝－1－cos2αcosαD．tanα＝sinαB[由商数关系可知A，D均不正确．当α为第二象限角时，cosα＜0，sinα＞0，故B正确．]2．sinα＝522)，则sinα－2cosα的值为(5【导学号：84352044】37A．－5B．－537C．D．555224B[由于sinα＝5，因此cosα＝1－sinα＝5，22147因此sinα－2cosα＝5－2×5＝－5.]12sinαcosα3．已知tanα＝－2，则sin2α－cos2α的值是()A．4B．334C．－3D．－3A[由于tan1α＝－2，2×－12sinαcosα2tanα24因此22＝tan2＝＝.]sinα－cosαα－112－13－214．已知α是第二象限角，tanα＝－2，则