第二章系统的数学模型

第二章系统的数学模型第一页，共四十四页，2022年，8月28日2.1控制系统微分方程的建立单变量线性定常系统输出在左，输入在右，降阶排列。列写步骤：1）确定输出与输入量。2）列写原始方程组，方程个数比中间变量多1。3）消去中间变量。4）标准化整理。第二页，共四十四页，2022年，8月28日简单的电气系统与机械系统举例。1.电气系统常用关系式例2-1-1列写微分方程式。解设回路电流为中间变量。第三页，共四十四页，2022年，8月28日例2-1-2列写微分方程式。解运算放大器的正、反相输入端电位相同，输入电流为零。第四页，共四十四页，2022年，8月28日2.机械系统遵循力学定律。例2-1-3列写系统的运动方程式。解第五页，共四十四页，2022年，8月28日例2-1-4列写系统的运动方程式。解例2-1-5列写系统的运动方程。解第六页，共四十四页，2022年，8月28日拉普拉斯（Laplace）变换变换初步复变函数 以复数作为自变量的函数就叫做复变函数。积分变换傅里叶变换（傅氏变换）：时域实频域拉普拉斯变换（拉氏变换）：时域复频域Z变换：离散序列小波变换等第七页，共四十四页，2022年，8月28日拉氏变换定义对于一阶电路、二阶电路，根据基尔霍夫定律和元件的VCR列出微分方程，根据换路后动态元件的初值求解微分方程。对于含有多个动态元件的复杂电路，用经典的微分方程法来求解比较困难（各阶导数在t=0+时刻的值难以确定）。拉氏变换法是一种数学上的积分变换方法，可将时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程来求解。时域微分方程频域代数方程拉氏变换拉氏逆变换求解时域解优点：不需要确定积分常数，适用于高阶复杂的动态电路。第八页，共四十四页，2022年，8月28日拉氏变换定义：一个定义在[0，∞）区间的函数f(t)，它的拉氏变换定义为：式中：s=+j(复数)

f(t)称为原函数，是t的函数。

F(s)称为象函数，是s的函数。积分下限从0-

开始，可以计及t=0时f(t)所包含的冲激。第九页，共四十四页，2022年，8月28日拉氏反变换：如果F(s)已知，由F(s)到f(t)的变换称为拉氏反变换，它定义为：第十页，共四十四页，2022年，8月28日拉氏变换的基本性质（1）线性微分积分时移频移第十一页，共四十四页，2022年，8月28日拉氏变换的基本性质（2）尺度变换终值定理卷积定理初值定理第十二页，共四十四页，2022年，8月28日常用信号的拉氏变换（1）第十三页，共四十四页，2022年，8月28日常用信号的拉氏变换（2）第十四页，共四十四页，2022年，8月28日由象函数求原函数的方法：(1)利用公式(2)对F(S)进行部分分式展开象函数的一般形式：第十五页，共四十四页，2022年，8月28日2.2传递函数

2.2.1传递函数的定义传递函数把输出和输入的关系表示得简单明了。第十六页，共四十四页，2022年，8月28日传递函数的定义：初始条件为零时，输出信号的拉氏变换式与输入信号的拉氏变换式之比。例2-2-1求例2-1-1的传递函数。解第十七页，共四十四页，2022年，8月28日例2-2-2求例2-1-2的传递函数。解例2-2-3求例2-1-3的传递函数。解第十八页，共四十四页，2022年，8月28日2.2.2关于传递函数的几点说明1.传递函数的概念适用于线性定常系统，与输入信号的具体形式和大小无关。谈到传递函数，必须指明输入量和输出量。传递函数的概念主要适用于单输入、单输出的情况。2.传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。3.对于实际的元件和系统，传递函数是复变量s的有理分式。传递函数的有理分式形式：第十九页，共四十四页，2022年，8月28日传递函数的零极点表达式：传递函数的时间常数形式4.对于实际的物理元件和系统而言，分子多项式的阶次总是小于分母多项式的阶次。这是客观物理世界的基本属性。5.传递函数是系统的复域描述，以复变量s为自变量。微分方程是系统的时域描述，以时间为自变量。6.令系统传递函数分母等于零所得方程称为特征方程，特征方程的根称为特征根。特征根就是传递函数的极点。第二十页，共四十四页，2022年，8月28日2.2.3基本环节及其传递函数从动态方程、传递函数和运动特性的角度看，不宜再分的最小环节称为基本环节。1.放大环节（比例环节）2.惯性环节3.积分环节第二十一页，共四十四页，2022年，8月28日4.振荡环节5.纯微分环节6.一阶微分环节第二十二页，共四十四页，2022年，8月28日7.二阶微分环节8.延迟环节第二十三页，共四十四页，2022年，8月28日2.2.4电气网络的运算阻抗与传递函数遵循电路定律。例2-2-4

解第二十四页，共四十四页，2022年，8月28日例2-2-5求传递函数解第二十五页，共四十四页，2022年，8月28日例2-2-6包含一个积分环节故称积分电路。例2-2-7第二十六页，共四十四页，2022年，8月28日例2-2-8解带有惯性的微分环节。第二十七页，共四十四页，2022年，8月28日2.3控制系统的框图和传递函数

2.3.1框图的概念和绘制

动态结构图简称框图，它能够非常清楚地表示出输入信号在系统各元件之间的传递过程，又可以方便地求出复杂系统的传递函数。系统的框图包括函数方框、信号流线、相加点、分支点等图形符号。第二十八页，共四十四页，2022年，8月28日绘制系统框图，首先列写系统方程组。可按下述顺序进行：1）从输出量开始写第一个方程，输出量放在方程左边，其余放在右边；2）后续方程左边只有一个量，它是前述方程的中间变量；3）列写方程式时尽量用已出现过的量；4）中间变量至少要在一个方程的左边出现一次；5）输入量至少要在一个方程的右边出现一次。第二十九页，共四十四页，2022年，8月28日例2-3-1绘制下面电路图的框图解从输出量开始列写系统方程式第三十页，共四十四页，2022年，8月28日2.3.2框图的变换规则对框图进行变换所要遵循的基本原则是等效原则，即对框图的任一部分进行变换时，变换前后该部分的输入量、输出量及其相互之间的数学关系应保持不变。推导框图变换原则1.串联环节的简化3个环节串联结构第三十一页，共四十四页，2022年，8月28日2.并联环节三个环节并联n个环节并联，总的传递函数是n个环节传递函数的代数和。第三十二页，共四十四页，2022年，8月28日3.反馈回路的简化上式中的+号用于负反馈系统，-号用于正反馈系统。为闭环传递函数，为该环节的开环传递函数。第三十三页，共四十四页，2022年，8月28日4.相加点和分支点（1）相加点前移（2）相加点之间的移动（3）分支点后移（4）相邻分支点之间的移动第三十四页，共四十四页，2022年，8月28日2.3.3闭环系统的传递函数典型控制系统框图前向通路的传递函数为1）系统的开环传递函数2）输出对参考输入的闭环传递函数第三十五页，共四十四页，2022年，8月28日3）输出对于扰动输入的闭环传递函数4）系统总输出第三十六页，共四十四页，2022年，8月28日5）偏差信号对参考输入的闭环传递函数6）偏差信号对扰动输入的闭环传递函数7）系统总偏差第三十七页，共四十四页，2022年，8月28日2.3.4框图的化简将框图变换成串联、并联环节和反馈回路，再用等效环节代替。化简框图的关键是解除交叉结构，办法是移动分支点和相加点。例2-3-2求闭环传递函数C(s)/R(s)和E(s)/R(s)。解第三十八页，共四十四页，2022年，8月28日第三十九页，共四十四页，2022年，8月28日误差传递函数第四十页，共四十四页，2022年，8月28日2.3.5梅森增益公式梅森增益公式的一般形式式中就是系统的输出信号和输入信号之间的传递函数，Δ称为特征式，式中，——所有各回路的回路传递函数之和；——两两互不接触的回路，其回路传递函数乘积之和；——所有的三个互不接触的回路，其回路传递函数乘积之和；

n——系统前向通路个数；——从输入端到输出端的第k条前向通路上各传递函数之积——在中，将与第k条前向通路相接触的回路所在项除去后所余下