2019高中数学第1章导数其应用12导数运算学案新人教B版选修2

1.2导数的运算1．掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数．2．娴熟运用导数的运算法例．3．正确地对复合函数进行求导，合理地选择中间变量，认清是哪个变量对哪个变量求导数．1．基本初等函数的导数公式表y＝f(x)y′＝f′(x)y＝cy′＝0y＝n(∈N＋)y′＝______，n为正整数xny＝xμ(x＞0，μ≠0且μ∈Q)y′＝μxμ－1，μ为有理数y＝ax(a＞0，a≠1)y′＝______y＝logx(a＞0，a≠1，x＞0)y′＝______ay＝sinxy′＝______y＝cosxy′＝______求导公式在此后的求导数中可直接运用，不用利用导数的定义去求．幂函数的求导规律：求导幂减1，原幂作系数．13313【做一做1－1】给出以下结论：①若y＝x3，则y′＝－x4；②若y＝x，则y′＝3x；③若y1y′＝－2x－3y＝(x)＝3，则f′(1)＝3；⑤若y＝cosx，则y′＝＝2，则；④若xfxsinx；⑥若y＝sinx，则y′＝cosx．此中正确的个数是( )．A．3B．4C．5D．6【做一做1－2】以下结论中正确的选项是()．aln10A．(log

ax)′＝x

B．(log

ax)′＝

xC．(5x)′＝5x

D

．(5x)′＝5xln52．导数的四则运算法例函数和(或差)的求导法例：设f(x)，(x)是可导的，则(f(x)±())′＝__________，即两个函数的和(或差)的ggx导数，等于这两个函数的____________．函数积的求导法例：设f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)g(x)]′＝____________，即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．由上述法例立刻能够得出[Cf(x)]′＝Cf′(x)，即常数与函数之积的导数，等于常数乘以____________．函数的商的求导法例：(x)设f(x)，g(x)是可导的，g(x)≠0，则g(x)′＝________________.f(x)(1)比较：[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，g(x)′＝g(x)f′(x)－f(x)g′(x)g2(x)，注意差别，加以划分．(2)

f(x)f′(x)g(x)≠g′(x)，且

f(x)g(x)

g(x)f′(x)＋f(x)g′(x)′≠g2(x)

.两函数的和、差、积、商的求导法例，称为可导函数四则运算的求导法例．若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导．若两个函数不行导，则它们的和、差、积、商不必定不行导．11比如，设f(x)＝sinx＋x，g(x)＝cosx－x，则f(x)，g(x)在x＝0处均不行导，但它们的和f(x)＋g(x)＝sinx＋cosx在x＝0处可导．【做一做2】以下求导运算正确的选项是()．11A．x＋x′＝1＋x21B．(log2x)′＝xln2C．(3x)′＝3x·log3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx3．复合函数的求导法例关于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，假如经过变量u，y能够表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f[g(x)]．如函数y＝(2x＋3)2是由y＝u2和u＝2x＋3复合而成的．复合函数y＝[(x)]的导数和函数y＝( )，＝()的导数间的关系为fgfuugxy′x＝y′u·u′x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．关于复合函数的求导应注意以下几点：分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适入选定中间变量．分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而此中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin2x)′＝2cos2x，而(sin2x)′≠cos2x.依据基本初等函数的导数公式及导数的运算法例，求出各函数的导数，并把中间变量变换成自变量的函数．如求＝sin2x＋π的导数，设y＝sinu，＝2＋π，则y′33xπy′u·u′x＝cosu·2＝2cos2x＋3.复合函数的求导娴熟后，中间步骤可省略不写．【做一做3】函数y＝ln(2x＋3)的导数为________．1．如何对待导数公式与用定义法求导数之间的关系？解析：导数的定义自己给出了求导数的最基本的方法，但因为导数是用极限制义的，所以求导数老是归纳到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，利用导数公式就能够比较简捷地求出函数的导数．2．导数公式表中y′表示什么？解析：y′是f′(x)的另一种写法，二者都表示函数

y＝f(x)的导数．3．如何理解

y＝C(C是常数)，y′＝0；y＝x，y′＝1?解析：因为y＝C的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为自己，所以切线的斜率都是0；因为y＝x的图象是斜率为1的直线，其上任一点的切线即为直线自己，所以切线的斜率为1.题型一利用公式求函数的导数【例题1】求以下函数的导数：153(1)y＝xx；(2)y＝x4；(3)y＝x；(4)y＝log2x2－log2x；(5)y＝－2sinx(1－2cos2x)．24解析：娴熟掌握常用函数的求导公式．运用相关的性质或公式将问题转变为基本初等函数后再求导数．反省：经过恒等变形把函数先化为基本初等函数，再应用公式求导．题型二利用四则运算法例求导【例题2】求以下函数的导数：y＝x4－3x2－5x＋6；y＝x·tanx；y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；x－1(4)y＝.x＋1解析：认真察看和解析各函数的构造规律，紧扣求导运算法例，联系基本函数求导公式，不具备求导法例条件的可适合进行恒等变形，而后进行求导．反省：关于函数求导问题，一般要按照先化简再求导的基来源则．求导时，不只要重视求导法例的应用，并且要特别注意求导法例对求导的限制作用．在实行化简时，一定注意变换的等价性，防止不用要的运算错误．题型三求复合函数的导数【例题3】求以下函数的导数：n(1)y＝(2x＋1)(x∈N＋)；x5(2)y＝1＋x；(3)y＝sin3(4x＋3)；(4)y＝xcos2x.解析：选择中间变量是复合函数求导的重点．一定正确解析复合函数是由哪些基本函数经过如何的次序复合而成的，分清此间的复合关系．要擅长把一部重量、式子临时看作一个整体，这个临时的整体就是中间变量．求导时需要记着中间变量，注意逐层求导，不遗漏，此中还应特别注意中间变量的关系，求导后，要把中间变量变换成自变量的函数．反省：关于复合函数的求导，要注意解析问题的详细特点，灵巧适合地选择中间变量．易犯错误的地方是混杂变量，或忘掉中间变量对自变量求导．复合函数的求导法例，往常称为链条法例，因为它像链条同样，一定一环一环套下去，而不可以扔掉此中的一环．题型四易错辨析易错点：常有函数的导数公式、导数的四则运算法例、复合函数的求导法例等，记忆不牢或不可以够灵巧运用，所以在求导时简单犯错．切记公式、灵巧应用法例是防止求导犯错的重点．1x－x)的导数．【例题4】求函数y＝(e＋e2错解：y′＝1x－x1x－x)′＝1[(ex)′＋(e－x1x＋e－x)．(e＋e)′＝(e＋e2)′]＝(e2221以下各组函数中导数同样的是

(

)．A．f(x)＝1与f(x)＝xB．f(x)＝sinx与f(x)＝cosxC．f(x)＝1－cosx与f(x)＝－sinD．f(x)＝x－1与f(x)＝x＋1

x2已知函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若

f′(－1)＝4，则

a的值为(

)．19

10

13

16A．

B．

C．

D．3

3

3

33函数y＝cosx的导数是()．xA．－sin2xB．－sinxxxsinx＋cosxxcosx＋cosxC．－x2D．－x24设y＝1＋a＋1－x(a是常数)，则y′等于()．A．1＋1B．121－x21＋a21－xC．1－1D．－121－x21＋a21－x5已知抛物线y＝2＋bx－5(≠0)，在点(2,1)处的切线方程为y＝－3x＋7，则a＝axa________，b＝________.答案：基础知识·梳理n－1x11．nxalnaxlnacosx－sinx【做一做1－1】B由求导公式可知，①③④⑥正确．【做一做1－2】D2．(1)f′(x)±g′(x)导数和(或差)(2)f′(x)()＋()(x)函数的导数gxfxg′fxgx－fxgx(3)2xg【做一做2】B由求导公式知，B选项正确.x＋1′＝x′＋(x－1)′＝1－x－2＝1－x1x)′＝3xln3，(x2x)′＝(x2x＋2(cosx)′＝2xcosx－2x.x2.(3cos)′cosxxsin【做一做3】y′＝2函数y＝ln(2x＋3)可看作函数y＝lnu和u＝2x＋3的复合2x＋3函数，于是y′x＝y′u·u′x＝(lnu)′·(2x＋3)′＝1×2＝2.u2x＋3典型例题·意会【例题1】解：(1)y′＝(xx)′＝x3′＝33－＝3x.22x212(2)y′＝1′＝(x－4)′＝－4x－4－14－54＝－＝－5.x4x5333323(3)y′＝(x3)′＝x5′＝5x5－1＝5x－5＝.55x221(4)∵y＝log2x－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝xln2.(5)∵y＝－2sinx1－2cos2x＝2sinx2xxxx，242cos－1＝2sincos＝sin2422y′＝cosx.42【例题2】解：(1)y′＝(x－3x－5x＋6)′(2)y′＝(x·tanx)′＝x·sinx′＝cosxx·sinx′·cosx－x·sinxcosx′cos2x＝sinx＋x·cosx·cosx＋x·sin2xcos2x122sinx·cosx＋x·cos2x＋x·sin2x2sin2x＋xcosx＋xsinxsin2x＋2x＝cos2x＝cos2x＝2cos2x.方法1：y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)3x2＋12x＋11.32方法2：y＝x＋6x＋11x＋6，(4)方法1：y′＝x－1′＝x－1′x＋1－x－1x＋1′x＋1x＋12＝x＋1－x－1＝22.x＋12x＋12方法2：y＝1－x＋1，222′＋1－2x＋1′2y′＝1－x＋1′＝－x＋1′＝－x＝2.x＋12x＋1【例题3】解：(1)y′＝[(2x＋1)n]′＝n(2x＋1)n－1·(2x＋1)′＝2n(2x＋1)n－1.y′＝x5x4x5x4(2)1＋x′＝5·1＋x·1＋x′＝x＋16.y′3x(3)＝[sin(4＋3)]′＝3sin2(4x＋3)[sin(4x＋3)]′3sin2(4x＋3)·cos(4x＋3)·(4x＋3)′12sin2(4x＋3)cos(4x＋3)．(4)y′＝(xcosx2)′＝x′·cosx2＋(cosx2)′·x＝cosx2－2x2sinx2.【例题4】错因解析：y＝e－x－xu的求导错误，y＝e由y＝e与u＝－x复合而成，所以其导数应按复合函数的求导法例进行．u－xu)′(－x)′＝e－x正解：令y＝e，u＝－x，则y′x＝y′u·u′x，所以(e)′＝(e×(－－x，所以y′＝1x－x1[(ex)′＋(e－x1x－x)．1)＝－e2＋e′＝)′]＝(e－e22随堂练习·稳固1．D2102．Bf′(x)＝3ax＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝3.3．Cy′＝cosxxx－cosx·x′－xsinx－cosx