20192020学年高中数学第二章平面向量7向量应用举例学案北师大版必修4

§7向量应用举例内容要求1.能运用向量的有关知识解决分析几何中直线方程的问题，以及在平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题(要点).2.能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、功等问题(难点)．知识点1点到直线的距离公式及直线的法向量00)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|.1．点M(x，yA2＋B22．(1)与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量．若直线l的方向向量v＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝(A，B)．(3)设直线l的法向量n＝(A，B)，则与n同向的单位向量n0＝nAB＝22，22.|n|A＋BA＋B【预习评论】1．点P(－1,2)到直线l：2x＋y－10＝0的距离为________．0答案252．直线2x－y＋1＝0的一个法向量是()A．(2,1)B．(－1，－2)C．(1,2)D．(2，－1)答案D知识点2向量的应用向量的应用主要有双方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用．【预习评论】→→，－2)分别表示两个力F，F，则|F＋F|为( )121212A．(5,0)B．(－5,0)C.5D．－5答案C2．已知F＝(2,3)作用一物体，使物体从A(2,0)挪动到B(4，0)，则力F对物体作的功为________．答案4方向1基底法解平面向量问题【例1－1】如右图，若→2→2→2→2D是△ABC内的一点，且AB－AC＝DB－DC，求证：AD⊥BC.→→→→→证明设AB＝a，AC＝b，AD＝e，DB＝c，DC＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d.a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知a2－b2＝c2－d2，∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，∴e·(c－d)＝0.→→→→→∵BC＝DC－DB＝d－c，∴AD·BC＝e·(d－c)＝0，→→∴AD⊥BC.即AD⊥BC.方向2坐标法解决平面几何问题【例1－2】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．解如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴成立直角坐标系．设A(2a,0)，B(0,2a)，则D(a,0)，C(0，a)，进而可求：→＝(－2，)，→＝(，－2)，ACaaBDaa→→→→－2a，aa，－2a2AC·BD－4a不如设AC、BD的夹角为θ，则cosθ＝→→＝5a·5a＝5a2|AC||BD|4＝－5.4故所求钝角的余弦值为－5.方向3向量在平面几何中的综合应用【例1－3】如下图，△ABC三边长分别为a，b，c，PQ为以A为圆心，r为半径的圆的→→直径，试判断P、Q在什么地点时BP·CQ获得最大值．解依据题意能够求得：→→→→→→→→BP＝AP－AB，CQ＝CA＋AQ＝－AC－AP，→→→→→→∴BP·CQ＝(AP－AB)(－AC－AP)→→→→→2→→＝－AP·AC＋AB·AC－AP＋AB·AP→→2→→→＝AB·AC－r＋AP·(AB－AC)＝→·→－2＋→·→ABACrAPCB→→2→→＝|AB|·|AC|cos∠BAC－r＋AP·CB＝bccos∠－2＋→·→.BACrAPCB→→→→当AP与CB同向时，AP·CB最大值为→→→→|AP|·|CB|＝ra，即当QP与CB同向时，→·→获得最大值bccos∠－2＋ar.BPCQBACr规律方法用向量解平面几何问题的方法基底法(基向量法)：选择两个不共线的向量作为基底，用基底表示有关向量，把问题转变为只含有基底向量的运算．坐标法：成立适合的坐标系，用坐标表示向量，把问题转变为向量的坐标运算．题型二向量在分析几何中的应用【例2】已知直线l过点(1,1)，且它的一个法向量为n＝(－2，1)．A求直线l的一般方程；若与直线l垂直的直线l1经过点B(2,0)，求l1的一般方程．解(1)∵直线l的一个法向量为n＝(－2,1)，∴直线l的一个方向向量为v＝(1,2)．∴直线l的斜率为2.∴直线l的点斜式方程为y－1＝2(x－1)．整理得2x－y－1＝0.故直线l的一般方程为2x－y－1＝0.∵直线l1与l垂直，∴l1的一个方向向量v＝(－2,1)．∴直线l11的斜率为－2.1∴直线l1的点斜式方程为y－0＝－2(x－2)．整理得x＋2y－2＝0.故直线l1的一般方程为x＋2y－2＝0.规律方法1.已知直线的法向量n＝(a，b)，则其方向向量为m＝(b，－a)，利用方向向量a可求得直线的斜率k＝－b是求直线方程的要点．2．向量在分析几何中的应用问题主假如：(1)用向量语言表述几何性质．(2)用向量法办理分析几何中平行、垂直、距离、夹角等问题．【训练1】→→→→如图，在?OABP中，过点P的直线与线段OA、OB分别订交于点M、N，若OM＝xOA，ON＝yOB(0<x<1)．求y＝f(x)的分析式；1令F(x)＝f（x）＋x，判断F(x)的单一性，并给出你的证明．解→→→→→→→→→(1)OP＝AB＝OB－OA，则NM＝OM－ON＝xOA－yOB，→→→→→→MP＝OP－OM＝(OB－OA)－xOA→→＝－(1＋x)OA＋OB，→→又NM∥MP，有x－y(1＋x)＝0，x即f(x)＝x＋1(0<x<1)；(2)由(1)x＋11<x<1，xx1211则F(x1)－F(x2)＝x1＋＋1－x2＋＋1x1x2121－1＝121－1＝(x－x)＋x1x2(x－x)x1x2x1x2－1＝(x1－x2)x1x2，由0<x1<x2<1，得x1－x2<0，x1x2－1<0，x1x2>0，得F(x1)－F(x2)>0，即F(x1)>F(x2)．F(x)在(0，1)上为减函数．题型三向量在解决物理问题中的应用【例3】在风速为75(6－2)km/h的西风中，飞机以150km/h的航速向西北方向飞翔，求没有风时飞机的航速和航向．解设向量a表示风速，b表示无风时飞机的航行速度，c表示有风时飞机的航行速度，则c＝＋.ab→→→如图，作向量OA＝a，OB＝b，OC＝c，则四边形OACB为平行四边形．过C、B分别作OA的垂线，交AO的延伸线于D、E点．由已知，|→|＝75(6－2)，|→|＝150，∠＝45°.OAOCCOD在Rt△COD中，OD＝OCcos45°＝752，CD＝752.又ED＝BC＝OA＝75(6－2)，∴OE＝OD＋ED＝756.又BE＝CD＝752.2在Rt△OEB中，OB＝OE＋BE＝1502，sin∠＝BE1→|＝1502，∠＝30°.＝，∴|BOEOB2OBBOE故没有风时飞机的航速为1502km/h，航向为西偏北30°.规律方法1.用向量解决物理问题第一要成立数学模型，把物理问题转变为数学识题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的差别与联系．2．速度、加快度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解经常用向量乞降的平行四边形法例和三角形法例．3．在数学中，向量数目积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．【训练2】一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计微风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4米/秒，这时气象台报告实质风速为2米/秒．试求风的实质方向和汽车的速度大小．解依照物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v车地、风对车的速度为v风车、风对地的速度为v风地，风对地的速度能够当作车对地与风对车的速度的合速度，即v风地＝v风车＋v车地．如右图，依据向量加法的平行四边形法例可知，表示向量→v风地的有向线段AD是平行四边形ABDC的对角线．∵|→|＝4米/秒，∠＝30°，|→|＝2米/秒，ACACDAD∴∠ADC＝90°.→→°＝23(米/秒)，即风的实质方向是吹向正南方向，汽在Rt△ADC中，|DC|＝|AC|cos30车速度的大小为23米/秒.讲堂达标1．已知△

→→ABC，AB＝a，AC＝b，且

a·b<0，则△

ABC的形状为(

)A．钝角三角形

B．直角三角形C．锐角三角形

D．不可以确立答案

A2．已知直线l：5x－y－7＝0，向量p＝(k＋1,2k－3)，且p∥v，则k的值为(向量v为l的方向向量)( )713A.3B.6168C.D．－33分析l的方向向量v＝(1,5)，由v与p平行得：85(k＋1)＝2k－3.解得k＝－.3答案D3．已知A(1,2)，B(－2,1)，以AB为直径的圆的方程是______________．分析设P(x，y)为圆上任一点，则→(x－1，y－→，AP＝2)，BP＝(x＋2，y－1)→→＝0，由AP·BP＝(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y－1)化简得x2＋y2＋x－3y＝0.答案x2＋y2＋－3＝0xy→，－2)→→，则四边形ABCD的面积4．在四边形ABCD中，已知AB＝(4，AC＝(7,4)，AD＝(3,6)是________．分析→→→→BC＝AC－AB＝(3,6)＝AD，∵→·→＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴→⊥→，ABBCABBC→→→→＝30.∴四边形ABCD为矩形，|AB|＝20，|BC|＝45，∴S＝|AB|·|BC|答案305．正方形的边长为1，点，分别为，的中点，试求cos∠的值．OABCDEABBCDOE解以OA，OC所在直线为坐标轴成立直角坐标系，如下图，由题意知：→1→1OD＝1，2，OE＝2，1，→→故cos∠＝OD·OEDOE→→|OD|·|OE|111×2＋2×14＝5＝.×5522讲堂小结1．用向量方法解决几何问题的要点是将几何问题转变为向量问题．对详细的问题是采用向量几何法仍是向量坐标法是解题的要点．2．用向量解决物理问题需注意：用向量方法解决有关的物理问题，要将有关物理量用几何图形表示出来．要依据它的物理意义列出数学模型，将物理问题转变为数学识题求解．要将数学识题复原为物理问题．基础过关1．已知直线

l：mx＋2y＋6＝0，向量

(1－m,1)与l

平行，则实数

m的值为

(

)A．－1

B．1C．2

D．－1或

2分析

l

的方向向量为

v＝(－2，m)，由v与(1－m,1)平行得－2＝m(1－m)，∴m＝2或－1.答案D→→→→ABCD是( )2．若AB＝2e1，DC＝4e1，且AD与CB的模相等，则四边形A．平行四边形B．梯形C．等腰梯形D．菱形→1→→→分析AB＝2DC，又|AD|＝|BC|，∴四边形为等腰梯形．ABCD答案C→→→→→→3．已知点O在△ABC所在平面上，若OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的( )A．三条中线交点B．三条高线交点C．三条边的中垂线交点D．三条角均分线交点→→→→分析∵OA·OB＝OB·OC，→→→→→∴(OA－OC)·OB＝CA·OB＝0，→→∴OB⊥CA.→→→→同理可证OC⊥AB，OA⊥BC，∴O是三条高线交点．答案B4．已知作用在A(1,1)点的三个力F＝(3,4)，F＝(2，－5)，F＝(3,1)，则协力F＝F＋F12312F3的终点坐标为________．分析F＝F1＋F2＋F3＝(8,0)．又∵起点坐标为A(1,1)，∴终点坐标为(9,1)．答案(9,1)5．已知直线ax＋by＋c＝22＝1订交于A，B两点，且|AB|＝→→0与圆x＋y3，则OA·OB＝________.分析如图，作OD⊥AB于D，则在Rt△AOD中，OA＝1，AD＝3，因此2→→→→1∠AOD＝60°，∠AOB＝120°，因此OA·OB＝|OA|·|OB|·cos120°＝1×1×(－2)＝1.216．过点A(－2,1)，求：与向量a＝(3,1)平行的直线方程；与向量b＝(－1,2)垂直的直线方程．解设所求直线上随意一点P(x，y)，→∵A(－2,1)，∴AP＝(x＋2，y－1)．→(1)由题意知AP∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0，即x－3y＋5＝0.∴所求直线方程为x－3y＋5＝0.→(2)由题意，知AP⊥b，(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0，即x－2y＋4＝0，∴所求直线方程为x－2y＋4＝0.7．已知长方形，＝3，＝2，E为中点，P为上一点，利用向量知识判断点PAOCDAOOCOCAO在什么地点时，∠PED＝45°.解如图，成立平面直角坐标系，则(2,0)，(2,3)，(1,0)，设(0，)，CDEPy→→∴ED＝(1,3)，EP＝(－1，y)，→→＝2→→∴|ED|＝10，|EP|1＋y，ED·EP＝3y－1，→·→3y－121＋y2＝代入cos45°＝→→＝10·2.|ED||EP|1解得y＝－2(舍)或y＝2，∴点P在凑近点A的AO的三均分处．能力提高→8．已知点A(3，1)，B(0,0)，C(3，0)，设∠BAC的均分线AE与BC订交于E，那么有BC→)＝λCE，此中λ等于(1A．2B.21C．－3D．－33分析如下图，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝3，→＝－3→.∴|BC|＝3，∴→→BCCE|CE|答案C9．若是△所在平面内一点，且知足|→－→|＝|→＋→－2→|，则△的形状是( )OABCOBOCOBOCOAABCA．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形分析∵|→－→|＝|→|＝|→－→|，OBOCCBABAC→→→＝→→，|OB＋OC－2OA||AB＋AC|→→＝|→→∴|AB－AC|AB＋AC|，设→＋→＝→，ABACAD∴四边形ABDC是矩形，且∠BAC＝90°.∴△ABC是直角三角形．答案B→→→→→→→10．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若BD＝2DC，AE＝λAC－AB(λ∈R)，且AD·AE＝－4，则λ的值为________．分析→→→1→2→→→1→2→→→AB·AC＝3×2×cos60°＝3，AD＝AB＋AC，则AD·AE＝AB＋AC·(λAC－AB)3333λ2λ123＝×3＋×4－×9－×3＝－4?λ＝.333311答案

311如下图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不一样的→→→→两点M、N，若AB