高中数学 北师大版 必修二 平面向量及其应用 5.3 向量的数量积第一课时

2/2基本信息地区安徽淮北学校安徽省淮北市第一中学姓名王旭联系电科数学电子邮箱1178949171@年级高三教材北师大版普通高中教科书必修第二册教学设计课题：从力的做功到向量的数量积一、单元内容和内容解析1.内容“从力的做功到向量的数量积”是北师大版必修二第二章“平面向量及其应用”第5节的内容。这一节包括向量的数量积的定义、投影向量与投影数量、数量积的运算性质，向量数量积的坐标表示，利用数量积计算长度与角度。2.内容解析（1）内容的本质从代数角度看，向量数量积为向量之间的乘法运算，遵循一般的运算研究脉络，即物理背景——运算法则及几何意义——运算性质及几何意义一一联系与应用。向量数量积有明确的物理背景；向量的数量积是向量集对应到实数集的映射。从几何角度看，向量数量积的几何意义为向量在向量上的投影的数量与的模的乘积，即将两个不同方向向量的数量积等效为在一条直线方向上的线性运算，实现从“二维”到“一维”降维的目的。(2)蕴含的数学思想和方法本节课从力做功的物理背景中抽象出数量积的数学模型，从力的分解角度抽象向量投影的概念，体现了数学抽象思想。向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是代数、几何与三角的结合，蕴含了数形结合思想：在向量数量积概念、性质的学习过程中，蕴含着从特殊到一般的数学思想与方法：从研究方法的角度看，研究向量数量积与前面研究向量的加法、减法、数乘是类似的，体现了类比的思想。（3）知识的上下位关系从教学内容的上、下位知识来看，向量的数量积是向量运算的一种形式，向量的数量积的学习完善了向量的运算体系，有利于学生从数的角度去体会研究数学要素的基本方法和思路。但不同的是，向量线性运算的结果还是向量，而向量数量积的结果是数量。向量数量积体现了向量的长度和两个向量的夹角之间的一种关系，所以可以作为工具有效地解决线段（直线）位置关系的问题：把向量的数量积应用到三角形中，能解决三角形边角之间的有关问题：利用向量数量积可以推导两角差的余弦公式，同时在解决两条直线平行、夹角、距离等问题有广泛的应用。（4）育人价值本节课通过学生熟悉的物理模型，逐一抽象出其背后的数学模型，符合学生的认知规律。通过物理背景抽象出数学模型，培养了学生数学抽象能力。在向量数量积概念的形成过程中，通过引导学生归纳概括、分类讨论、由数到形，由形到数，培养学生的抽象概括、直观想象的能力；在向量数量积性质的探究过程，培养了学生逻辑推理能力；在数量积的坐标表示和计算长度与角度中，培养学生的数学运算与直观想象的能力。基于以上分析，确定【单元教学重点】平面向量数量积及其坐标表示。二、单元目标及其解析1.教学目标（1）通过物理学中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，能用坐标表示数量积;通过几何直观，体会平面向量数量积与向量投影的关系，了解平面向量数量积的运算规则和性质;会计算平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；（2）经历向量运算转化为坐标运算的过程，体会坐标的意义，熟悉坐标化的方法，理解用坐标表示的平面垂直的条件;会利用数量积的性质计算几何图形中的长度和角度；（3）通过本节的学习，体会坐标运算对于性质判断的简洁性和规律性，全面认识和理解研究向量运算的基本路径和一般方法。2.目标解析（1）能以物理中的“功”为背景，解释平面向量数量积的内涵，会计算平面向量的数量积。（2）能作出向量在向量上的投影，并能结合图形直观解释向量a在向量b上的投影向量；能根据向量投影的概念得出向量在向量上的投影向量的表达式。（3）能类比数的乘法运算律和向量线性运算的运算律，提出平面向量数量积的运算律，并能通过作图和代数运算进行证明；能根据平面向量数量积的定义发现数量积的几何意义(向量的长度、向量的夹角)，会用数量积判断两个向量的垂直关系；（4）能类比向量的线性运算的坐标表示，得到向量数量积的坐标表示；（5）能根据向量数量积的几何特性，计算涉及长度、夹角、平行于垂直等几何问题；（6）能不断加深对运算对象的理解，能总结定义向量运算法则的数学思想、研究向量运算性质的数学方法，能说出定义向量运算的基本套路，能举例说明数学运算与逻辑推理的关系。达成目标的标志：（1）通过物理中“功”的实例，理解用“夹角”刻画两个向量方向的差别；由“功”是一个数量而不是向量，理解向量的数量积也是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度和夹角的余弦有关；会根据数量积的概念，计算平面向量数量积；（2）通过物理中“力的分解”，类比得出向量在上的投影向量，会做向量在上投影向量，会解释向量在上的投影向量：通过与夹角进行分类讨论，得到在上的投影向量的模长和方向，从而得到投影数量的概念，进而理解向量数量积的几何意义；（3）能由向量“平行”或“垂直”的特殊情况，探讨向量数量积的性质：能利用数量积判断两个平面向量的垂直关系；（4）通过回顾向量线性运算的坐标表示，会用坐标表示向量的数量积，并会用向量数量积的坐标证明数量积的性质；（5）通过回顾向量数量积的性质，会用数量积解决几何中的长度、角度和垂直等问题。单元教学问题诊断分析【学情分析】（1）首先，学生对运算的认知往往停留在“按规则操作”层面，对于建立运算法则所要完成的“事情”有哪些、过程中需要遵循的一般原则等理解并不深刻，这就会造成学生的被动学习。因此，在引入时需要带领学生回忆总结研究路径；（2）数量积运算是不封闭的，两个向量做点乘的结果是一个实数，这是学生以往经历中没有的。因此，教学时可以引导学生思考物理中学过的力做功公式，这个引入可以增强学生对于向量数量积的感知；（3）数量积的运算性质非常丰富，“这些性质是如何想到的？”是学生困惑的问题。因此，在教师要在“数量积的运算性质到底指什么”“如何发现”等方面加强引导，由此就能得到数量积的运算性质；（4）向量投影的本质是高维空间到低维空间的一种线性变换，得到的是低维空间向量。这个概念的引入也为以后高等代数的学习打下认知基础。学生对于投影向量的理解存在认知上的困难。所以从力的分解角度抽象出数学模型，帮助学生理解。（5）就坐标而言，在本章是第二次出现，第一次出现在研究向量线性运算的坐标表示，在前阶段学习的基础上学习向量的数量积的坐标表示，既能降低学生学习的难度，又使得学生在向量的坐标化在理解上有进一步学习的机会，能使得学生形成相对完整的认识。（6）向量是沟通代数与几何的的“桥梁”，向量数量积的学习为某些问题的解决提供了新的方法，但学生之前解决几何问题只能用几何法，并没有用向量解决问题的意识。因此，教师要引导学生多角度解决问题，带领学生体会用向量解决问题的巧妙，为下一节正余弦定理的学习奠定基础。基于以上分析，确定【单元教学难点】平面向量数量积的应用课时教学安排5.1向量的数量积（1课时）5.2向量数量积的运算性质和坐标表示（1课时）5.3利用数量积计算长度与角度（1课时）单元教学支持条件分析（可选）单元教学过程第1课时教学设计课时教学内容向量数量积的定义，投影向量和投影数量。课时教学目标（1）通过物理中功等实例抽象出向量数量积的概念，理解数量积的物理意义，会计算两个向量的数量积，提升数学抽象的核心素养；（2）通过分析物理中“位移方向上的分力”或“力方向上的位移”，发现投影向量，并能借助几何直观，探究投影向量的表达式，进而得到数量积的几何意义，提升直观想象、逻辑推理的核心素养；（3）通过分类讨论，将运算中涉及到的要素特殊化，探究数量积的几何性质。课时重点难点重点：平面向量数量积的定义、性质及几何意义；难点：投影向量的概念，平面向量数量积性质的探究过程。教学过程流程：复习复习引入构建新知应用强化回顾提升教学过程：环节1：复习思考，提出问题问题1：首先，请同学们回顾一下，在前面，我们学习了哪些与向量有关的运算？追问1：哪位同学可以回顾一下研究向量加法的主要过程？预设：在研究向量的加法时，我们首先通过力和位移的合成定义了向量的加法，接下来学习了三角形法则和平行四边形法则，然后学习了向量加法的运算律在师生讨论基础上，教师总结。师：向量来源于物理学，我们学习向量，往往要借助物理背景。例如，我们通过力或者位移的合成，定义了向量的加法运算，通过加法运算的逆运算定义了向量的减法运算。基于这样的学习过程，我们不难发现，向量及其运算的研究路径通常是从物理背景中抽象出研究对象，进而明确它的数学定义，然后定义它的运算法则。向量既具有代数特征，也具有几何特征。以向量加法运算为例，从代数的角度来看，它是一种数学运算，但这种代数运算充分运用了向量的几何表示一一三角形法则和平行四边形法则，这就是其运算对应的几何意义，然后再去挖掘它的运算性质，包括运算律和几何性质，最后是它的应用阶段。物理背景——定义——运算法则（代数表示和几何意义）——运算性质（运算律和几何性质）——应用以上便是我们研究向量的主要路径。追问2：这三种向量的运算的结果是什么？预设：向量师：我们把这三种运算称为是向量的线性运算，那么有没有一种向量与向量的一种新的运算，结果不是向量呢？如果这种新的运算存在，大家清不清楚它的研究路径呢？设计意图：回顾平面向量的线性运算的研究过程，启发学生有意识得思考总结研究路径，为接下来学习平面向量得数量积运算奠定基础，体现单元教学内容的整体性、方法的一致性。通过物理中矢量运算的总结，引导学生发现问题，提出问题.评价方式：学生可以总结出向量运算的主要路径，检测学生对向量运算路径的理解。环节2：创设情境，抽象概念问题2：接下来，按照上述的研究路径，寻找其运算结果不是向量的新的运算。首先在物理中有没有两个矢量运算，结果不是矢量的？预设：力对物体做功。追问1：当力F与运动方向成某一角度时，力F对物体所做的功等于多少？哪位同学可以详细分析一下？引导学生详细分析力F对物体做的功。当力F与运动方向成θ角时，我们可以把力F进行分解，将力F分解为沿位移方向的分力F1和垂直位移方向的分力F2，物体在分力F1方向产生了位移，因而分力F1做的功为Fcosθ∙追问2：你能否将力F做功的公式抽象成数学中的向量运算呢？预设：abcosθ两个向量的模乘以向量的夹角的余弦值我们把这种向量的运算称为向量的数量积，记作a∙问题3：数学中的定义要具有完备性，上述公式是否对于所有的向量都适用?预设：零向量，模为0，方向是任意的，所以在定义两个向量夹角时，规定两个向量是非零向量。追问：如何定义零向量与其他向量的数量积？师：类比之前的学习过程，在物理中力做功这个背景中，无力不做功，有力无位移也不做功，功的大小都是0。在数学中可以抽象为零向量与任一向量的数量积为0。规定：零向量与任一向量的数量积为0.师：通过类比推理我们对向量的数量积的定义有了自己的体会，接下来我们来看一下书中所给的定义：定义：已知两个非零向量a和b，作OA=a,OB=b,向量a与向量b的夹角∠AOB记为<a,b>或θ(a∙规定：零向量与任一向量的数量积为0.师：注意，数量积中的“∙”不可以省略，数量积的结果是一个数，不是向量。设计意图：通过创设情境，类比物理中力做的功，让学生从直观上抽象出数量积的定义，在从理性认识的角度完备定义，让学生把握定义的准确性和严谨性，让学生学会用数学的语言表达概念。评价方式：学生可以利用研究路径自主研究向量的新运算，以教师为辅学生为主，自主探究数量积的定义。环节3：探究内涵，深化理解问题4：学习完定义，有这样一个问题，如何来判断两个非零向量的数量积的符号呢？为了解决这个问题，我们回到物理背景中，如图所示，物体在两个拉力的作用下在粗糙的斜面上运动，其中拉力F1方向沿斜面向上，拉力F追问：在这个过程中，物体受到了哪些力的作用？这些力分别做什么功？请大家在小组内讨论，并完成下面表格。夹角𝜃的取值范围力与位移θ夹角示意图类比数量积a⋅b师：哪个小组愿意展示一下你们小组的成果？预设：当0∘≤a,b<90∘时，a∙b>0；当a,b=90∘时，师：回到物理学的角度，功的公式是三个实数相乘。实数乘法的运算律有交换律、结合律和分配律。当我们把cosθ与s交换位置后，Fcosθ表示什么含义？那s问题5：根据上面的分析，功除了可以表述为：力与位移的大小乘以夹角余弦值，还有哪些不同的表述呢，哪位同学愿意说一下？预设：功是力在位移方向上的分力乘以位移的大小，或者在力的方向上产生的位移乘以力的大小。追问1：数量积是由力做的功抽象而来，那么类比刚刚的过程数量积有没有其他的表述方式？预设：a追问2：acosθ为了解决这个问题，我们引入一个新的概念：即向量a在向量b上的投影向量。定义：已知两个非零向量a和b，作OA=a,OB=b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A'，得到a师：同理，过点B向直线OA作垂线，垂足为B'，得到b在a上的投影OB'追问2：根据表中向量a与向量b的夹角情况，分别做出向量a在向量b上的投影，并标出投影向量OA'学生活动，找一位学生进行板演。问题6：结合以上探究过程，你能说出投影向量OA'预设：当0≤θ<π2时，OA'的方向与向量b相同，且OA'=acosθ；当θ=π2时，O定义：acos<a,b>称为投影向量γ的数量，也称为向量a追问1：有了投影向量和投影数量的概念后，你能表示出投影向量OA'吗？生：向量的表示需要知道长度和方向，acosθ是投影向量OA'的数量，投影向量OA'与向量b共线，追问2：你能进一步说出a∙b的几何意义吗？预设：数量积a∙b的几何意义是向量a在b上的投影数量与b的长度b的乘积，或向量b在a方向上的投影数量与a的长度设计意图：学生通过这个环节的解决过程理解投影向量的重要性，深化对数量积的理解，理解数量积的几何意义，掌握研究图形与图形，图形月数量之间关系的基本方法的过程。评价方式：学生通过研究路径自主探究向量数量积运算的定义和性质，深化对数量积的理解，尤其是对投影向量与投影数量探究，感受学习投影向量的必要性。环节4：迁移运用，巩固新知例1：已知向量a与b，其中a=3，b=4，且a与b的夹角（1）求a∙（2）求向量b在a方向上的投影数量，并画图解释例2：在△ABC中，AB=a，AC=b，如果由学生独立作答、上台讲解展示，并由其他学生补充点评设计意图：学生通过“独立作答——展示讲解——交流点评”的过程巩固新知，锻炼学生的组织能力与语言表达能力。评价方式：考查学生对于数量积的理解，学生能够独立处理题目，在练习中实施形成性评价。环节5：总结反思，提升思维（1）回顾本节课的对于数量积的探究过程，谈谈你的贡献和收获；（2）类比向量的研究路径，接下来我们还需要研究数量积的哪些内容？请大家课下在小组内讨论汇总。设计意图：师生共同总结，引导学生进行知识的结构化梳理，突出数学的整体性，让学生进一步明确本节课蕴含的数学思想方法，渗透数学学科核心素养。评价方式：学生通过回顾本节课内容，可以总结出本节课知识点、运用到的数学方法以及研究路径。目标检测设计：1.若e1，e2是两个互相平行的单位向量，则下列判断正确的是()A．e1·e2＝1B．e1·e2＝－1C．e1·e2＝±1D．|e1·e2|<12.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n＝()A．12B．12eq\r(2)C．－12eq\r(2)D．－123.对于空间任意两个非零向量，““是“为钝角”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知|b|＝3，a在b方向上的投影的数量是eq\f(3,2)，则a·b为()A．3B．eq\f(9,2)C．2D．eq\f(1,2)5.已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝________．6．已知向量a·b＝15＝3|b|，则向量a在b上投影的数量为______．7．已知点A，B，C满足|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝4，|eq\o(CA,\s\up7(→))|＝5，则eq\o(A