山东省济南市2021年中考数学试卷【及答案】

济南市

2021

年中考数学试题满分

150

分，考试时间

120

分钟一、选择题（本题有

12

小题，每小题

4

分，共

48

分）9

的算术平方根是A.3 B.-3 C.

±3下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是D. 32021

年

5

月

15

日，我国“天问一号”探测器在火星成功着陆。火星具有和地球相近的环境，与地球最近的时候的距离约

55

000

000

km，将数字

55

000

000

用科学计数法表示为A.0.55×108 B.5.5×107 C.5.5×106 D.

55×106如图，AB∥CD，∠A=30°，DA

平分∠CDE，则∠DEB

的度数为A.45° B.60° C.75° D.

80°以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是6. 实数a

，

b

在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是A.a

b

0B.

a

bC.a

b

0D.

b

a7. 计算2m

1m

2m

1 m

1的结果是A.m

1 B.

m

1 C. m

2 D.

m

28. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”，“文明出行”，“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选在同一个宣传队的概率是A.19B.16C.13D.239. 反比例函数

y

k

(k

0)

图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数

y

kx

k

的图象大致x是10.

无人机低空遥感技术已经广泛应用于农作物检测，如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行检测作业时，在距地面高度为

135m

的

A

处测得试验田右侧边界

N

处俯角为

43°，无人机垂直下降

40m

至

B

处，又测得试验田左侧边界

M

处俯角为

35°，则

M，N

之间的距离为（参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）A.188m B.269m C.286m D.

312m如图，在△ABC

中，∠ABC=90°，∠C=30°，以点

A

为圆心，以

AB

的长为半径作弧，交

AC

于点

D，连结

BD，再分别以点

B，D

为圆心，大于

1

BD

的长为半径作弧，两弧交于点

P，作射线

AP，交

BC2于点

E，连结

DE，则下列结论中不．正．确．的是A.BE=DE B.

DE

垂直平分线段

ACC.33SEDC

SABCD.

BD2=BC·BE12.

新定义：在平面直角坐标系中，对于点

P（

m

，n

）和点

P'（

m

，n

），若满足m

≥0

时，n

n

4

；m

0

时，

n

n

，则称点

P'（

m

，

n

）是点

P（

m

，

n

）的限变点。例如：点

P1（2，5）的限变点是

P'（2，1），点

P（-2，3）的限变点是

P'（-2，-3）。若点

P（

m

，n

）在二次函数

y

x

2

4x

21 2 2的图象上，则当-1≤

m

≤3

时，其限变点

P'的纵坐标n

的取值范围是A.-2≤

n

≤2 B.1≤

n

≤3 C.1≤

n

≤2 D.

-2≤

n

≤3二、填空题（本题有

6

小题，每小题

4

分，共

24

分）13.

因式分解：

a

2

9

=

如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若飞镖随机投掷到圆面上，则飞镖落在黑色区域的概率是

如图，正方形

AMNP

的边

AM

在正五边形ABCDE

的边

AB

上，则∠PAE=

关于

x

的一元二次方程

x

2

x

a

0

的一个根是

2，则另一个根是

漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用。小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h

（cm）是时间t

（min）的一次函数。下表是小明记录的部分数据，其中有一．个．h

的．值．记．录．错．误．，请排除后利用正确的数据确定当h

为

8cm

时，对应的时间t

为

mint

（min）…1235…h

（cm）…2.42.83.44…18.

如图，一个由

8

个正方形组成的“C”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点

M，N，O，P，Q

都在矩形

ABCD

的边上，若

8

个小正方形的面积均为

1，则边

AB

的长为

三、解答题（本题有

9

小题，共

78

分）19.计算：

(

1

)1

(

1)0

3

2

tan

45420.解不

等

式 组：

并写出它的所有整数解。21.如图，在菱形

ABCD

中，E，F

分别是边

AD

和

CD

上的点，

且∠

ABE=

∠CBF，求证：DE=DF。22.为倡导绿色将康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动。志愿者随机抽取了社区

50

名居民，对其

5

月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：方便筷使用数量在5≤x<15范围内的数据：5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7。不完整的统计图表：请结合以上信息回答下列问题：统计表中的a

=

；统计图中

E

组对应扇形的圆心角为

度；（3）C

组数据的众数是

；调查的

50

名居民

5

月份使用方便筷数量的中位数是

；（4）根据调查结果，请你估计该社区

2000

名居民使用方便筷数量不少于

15

双的人数。23.如图，已知

AB

是⊙O

的直径，C，D

是⊙O

上两点，过点

C

的切线交

DA

的延长线于点

E，DE⊥CE，连结

CD，BC。（1）求证：∠DAB=2∠ABC；1（2）若

tan∠ADC= ，BC=4，求⊙O

的半径。2端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，某超市节前购进了甲，乙两种畅销口味的粽子。已知购进甲种粽子的金额是

1200

元，购进乙种粽子的金额是

800

元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少

50

个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的

2

倍。求甲，乙两种粽子的单价分别是多少元？为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲，乙两种粽子共

200

个，若总金额不超过

1120

元，问：最多购进多少个甲种粽子？如图，直线

y

3

x

与双曲线

y

k

（

k

0

）交于

A，B

两点，点

A

的坐标为（

m

，-3），点

C

是双曲2 x线第一象限分支上的一点，连结

BC

并延长交

x

轴于点

D，且

BC=2CD。求k

的值，并直接写出点

B

的坐标；点

G

是

y

轴上的动点，连结

GB，GC，求

GB+GC

的最小值；（3）P

是坐标轴上的点，Q

是平面内一点，是否存在点

P，Q，使得四边形

ABPQ

是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点

P

的坐标；若不存在，请说明理由。126.在△ABC

中，∠BAC=90°，AB=AC，点

D

在边

BC

上，BD= BC，将线段

DB

绕点

D

顺时针旋转至

DE，3记旋转角为，连结

DE，CE，以

CE

为斜边在其一侧作等腰直角三角形

CEF，连结

AF。（1）如图

1，当

180

时，请直接写出线段

AF

与线段

BE

的数量关系；（2）当0

180

时，①如图

2，（1）中线段

AF

与线段

BE

的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图

3，当

B，E，F

三点共线时，连结

AE，判断四边形

AECF

的形状，并说明理由。27.（本题

12

分）抛物线

y

ax

2

bx

3

过点

A（-1，0）点

B（3，0），顶点为

C。求抛物线的表达式及点

C

的坐标；如图

1，点

P

在抛物线上，连结

CP

并延长交

x

轴于点

D，连结

AC，若△DAC

是以

AC

为底的等腰三角形，求点

P

的坐标；如图

2，在（2）的条件下，点

E

是线段

AC

上（与点

A，C

不重合）的动点，连结

PE，作∠PEF=∠CAB，边

EF

交

x

轴于点

F，设点

F

的横坐标为m

，求m

的取值范围。参考答案19.解：原式=

4

1

3

2

2

8

22解：由①，

3x

3

≥

2x

5

，

x

≥-2③；由②：

4x

x

3

，

x

1，∴原不等式组的解为

-2≤

x

1，其中整数解为-2，-1，0

。21.证明：连结

BD，则∠3=∠4，∠ABD=∠CBD，∵∠ABE=∠CBF，∴∠ABD-∠ABE

=∠CBD

-∠CBF，即∠1=∠2，在△BED

和△BFD

中，∵∠1=∠2，BD=BD，∠3=∠4，∴△BED≌△BFD（ASA），∴DE=DF。22.（1）样本容量是

50

人，由统计图得知

D

组人数占

18%，可求出a

9

人；（2）E

组

10

人占样本容量

50

人的

20%，所以所对扇形圆心角是

360°×0.2=72°；（3）C

组出现最多的是

12；一共

50

个数据，如果把这些数据从小到大排列，那么中位数是第

25

和荻

26

这两个数的算术平均数，由题中的数据，B

组有

9

人，C

组有

7

人，A，B

两组共

23

人，那么该样本的中位数出现在

C组的第二小和荻三小，这两个数都是

10，所以整个样本的中位数是

10；（4）解：根据本样本，不少于

15

的有

D

组

9

人和

E

组

10

人，共

19

人

，占

38%，以此估计该社区

2000

人中使用方便筷不少于

15

双的人数可能会达到2000×38%=760

人 答：所求人数可能有

760

人。23.（1）连结

CO，则有∠3=∠B，∠2=∠3+∠B=2∠B①；∵CE

是切线，点

C

是切点，∴OC⊥CE，又∵DE⊥CE，∴DE∥OC，∴∠1=∠2，而∠2=2∠B①，∴∠1=2∠B，即∠DAB=2∠ABC；1（2）在⊙O

中，∠B=∠D（同圆中，同弧所对圆周角相等），则

tan∠B=tan∠D= ，2连结

AC，因为

AB

是直径，所以∠ACB=90°，1则在

Rt△ABC

中，AC=BC·tan∠B=4× =2，2Rt△ABC

中，AC=2，BC=4，∴AB=

2

5

，∴AO= 5

。24.解：（1）设甲、乙两种粽子单价分别为2m

元/个和m

元/个，根据题意：

1200

50

800

，解这个方程，得m

4

，2m m检验知m

4

是所列方程的根，∴

2m

8

，∴甲乙两种粽子单价分别是

8

元/个和

4

元/个；（2）设加购甲种粽子

x

个，如下表：单价数量金额甲8x8x乙4200

x

4x

800合计2004x

800根据题意：

4x

800

≤1120，

x

≤80，另一方面：0≤

x

≤200，0≤

200

x

≤200，

4x

800

≥0，∴0≤

x

≤80，∴甲种粽子最多加购

80

个。25.解：（1）∵点

A（

m

，-3）在直线

y

3

x

上，∴

3

m

3

，

m

2

，2 2将

A（-2，-3）代入双曲线，求得k

6

，∴所求反比例函数为

y

6

；x点

A（-2，-3）关于原点的对称点为

B（2，3）；（2）分别作点

B

和点

C

到

x

轴的垂线段

BM，CN，则△CDN∽△BDM，13 31∵BC=2CD，∴CD= BD，则

CN= BM，而

B（2，3），∴BM=3，∴CN=1，即点

C

的纵坐标为

1，∵点

C

在双曲线

y

6

上，且纵坐标为

1，∴点

C

横坐标为

6，C（6，1）；x作点

C

关于

y

轴的对称点

C1，则

C1（-6，1），连结

C1G，则有

C1G=CG，当点

G

在直线

C1B

上时，C1G+GB

最短，也就是

GC+GB

最短；分别作点

C1

到

BM

的垂线段

CH，则

H（2，1），C1H=8，BH=2，在

Rt△C1BH

中，C1H=8，BH=2，∴C1B=

2

17

，∴GB+GC

的最小值为2

17

；（3）如图

2，设四边形

ABPQ

是矩形，因为点

B

在第一象限，且

BP⊥AB，所以点

P

只能在

x

轴正半轴或

y

轴正半轴上，当点

P

在

x

轴正半轴上时，如图，△OBM∽△OPB，则

OB2=OM·OP，∵B（2，3），∴OM=2，BM=3，OB2=OM2+BM2=13，∴OP=OM

2OB

2 131213

，∴P

（ ，0）；同样的，当点

P

在

y

轴正半轴上时，可求得其坐标为（0，

13

），31 22 3∴所求点

P

为

P

（

13

，0），P

（0，

13

）

。26.（1）将线段

AF

沿线段

FE

方向平移到

A1E，如图

1，等腰直角三角形

A1BE

中，BE= 2A1E，∴BE=

2AF；（2）如图

2，在等腰直角三角形

ABC

和

FEC

中，BC= 2AC，EC=2FC，∴BC

EC

，AC FC∵∠ACB=45°=∠FCE，∴∠1=∠ACB-∠ACF=∠FCE-∠ACF=∠2，①在△BCE

和△ACF

中，∵

BC

EC

，∠1=∠2，∴△BCE∽△ACF，AC FC∴BE

BC

AF AC2，∴BE=2

AF；②当

B，E，F

共线时，四边形

AECF

是平行四边形。1如图

3，取

BC

中点

G，连结

EG，则

DG= DC，21∵BD= BC，∴BD=DG，△BGE

中，DE

是

BG

边上的中线，且

DE=BD=DG，∴∠BEG=90°，3∵EG⊥BF，FC⊥BF，EG∥FC，∴BE

BG

2

，∴BE=2EF=2FC，EF GC由①：BE= 2

AF，∴AF

=

2

FC

；直角等腰三角形

EFC

中，EC=

2

FC，∴AF=EC

③；∵△BCE∽△ACF，∴∠3=∠4，而∠1=∠2，∴∠4+∠2=∠3+∠1=∠5=45°，而∠ACE+∠2=∠FCE=45°，

∴∠FCE=∠4，∴AF∥EC

，∵AF∥EC

，且

AF=EC

③，∴四边形

AECF

是平行四边形。27.（1）因为抛物线与

x

轴交于点

A（-1，0）和

B（3，0），所以函数

y

ax

2

bx

3可改写为

y

a(x

1)(x

3)

，则

3a

3

，

a

1，∴所求函数为

y