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文档简介

常系数线性微分方程第七章欧拉方程的算子解法:

则计算繁!则由上述计算可知:用归纳法可证于是欧拉方程转化为常系数线性方程:①的通解为换回原变量,得原方程通解为设特解:代入①确定系数,得例2.解:

将方程化为(欧拉方程)

则方程化为即②特征根:设特解:代入②解得A=1,所求通解为例3.解:

由题设得定解问题③则③化为特征根:设特解:④⑤代入⑤得A＝1思考:如何解下述微分方程提示:原方程直接令微分方程的幂级数解法一、一阶微分方程问题二、二阶齐次线性微分方程问题微分方程解法:积分法—只能解一些特殊类型方程幂级数法—本节介绍数值解法—计算数学内容本节内容:

第七章一、一阶微分方程问题幂级数解法:将其代入原方程,比较同次幂系数可定常数由此确定的级数①即为定解问题在收敛区间内的解.①设所求解为本质上是待定系数法二、二阶齐次线性微分方程定理.则在－R<x<R内方程②必有幂级数解:②设P(x),Q(x)在(－R,R)内可展成x的幂级数,(证明略)此定理在数学物理方程及特殊函数中非常有用,很多重要的特殊函数都是根据它从微分方程中得到的.例2.的一个特解.解:设特解为代入原方程整理得比较系数得:可任意取值,因是求特解,故取从而得当n>4时,因此注意到:此题的上述特解即为整理后得:比较系数,得例如:于是得勒让德方程的通解:上式中两个级数都在(－1,1)内收敛,可以任意取,它们是方程的两个线性无关特解.常系数线性微分方程组解法举例解方程组高阶方程求解消元代入法

算子法例1.解微分方程组①②解:由②得③代入①,化简得特征方程:通解:④将④代入③,得⑤原方程通解:注意:1)不能由①式求y,因为那将引入新的任意常数,(它们受②式制约).3)若求方程组满足初始条件的特解,只需代入通解确定即可.2)由通解表达式可见,其中任意常数间有确定的关系,例2.解微

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