华师大版九年级数学上册教案

华师大版九年级数学上册教案第21章二次根式21．1二次根式1．理解二次根式的概念，并利用eq\r(a)(a≥0)的意义解答具体题目．2．理解eq\r(a)(a≥0)是非负数和(eq\r(a))2＝a.3．理解eq\r(a2)＝a(a≥0)并利用它进行计算和化简．重点1．形如eq\r(a)(a≥0)的式子叫做二次根式．2.eq\r(a)(a≥0)是一个非负数；(eq\r(a))2＝a(a≥0)及其运用．3.eq\r(a2)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a<0）.))难点利用“eq\r(a)(a≥0)”解决具体问题．关键：用分类思想的方法导出eq\r(a)(a≥0)是一个非负数；用探究的方法导出eq\r(a2)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a<0）.))一、复习引入回顾：当a是正数时，eq\r(a)表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根．当a是零时，eq\r(a)等于0，它表示零的算术平方根．当a是负数时，eq\r(a)没有意义．二、探究新知概括：eq\r(a)(a≥0)表示非负数a的算术平方根，也就是说，eq\r(a)(a≥0)是一个非负数，它的平方等于a.即有：(1)eq\r(a)≥0(a≥0)；(2)(eq\r(a))2＝a(a≥0)．形如eq\r(a)(a≥0)的式子叫做二次根式．注意：在eq\r(a)中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数．思考：eq\r(a2)等于什么？我们不妨取a的一些值，如2，－2，3，－3等，分别计算对应的eq\r(a2)的值，看看有什么规律．概括：当a≥0时，eq\r(a2)＝a；当a<0时，eq\r(a2)＝－a.三、练习巩固1．x取什么实数时，下列各式有意义？(1)eq\r(3－4x)；(2)eq\f(\r(x＋1),x－2)；(3)eq\r(（x－3）2)；(4)eq\r(3x－4)＋eq\r(4－3x).2．计算下列各式的值：(1)(eq\r(18))2;(2)(eq\r(\f(2,3)))2；(3)(eq\f(\r(9),4))2;(4)(3eq\r(5))2.3．若eq\r(a＋1)＋eq\r(b－1)＝0，求a2020＋b2020的值．4．化简：(1)eq\r(9)；(2)eq\r(（－4）2)；(3)eq\r(25)；(4)eq\r(（－3）2).5．若－3≤x≤2时，试化简|x－2|＋eq\r(（x＋3）2).四、小结与作业小结1．师生共同回顾二次根式的概念及有关性质：(1)(eq\r(a))2＝a(a≥0)；(2)当a≥0时，eq\r(a2)＝a；当a<0时，eq\r(a2)＝－a.2．通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流．布置作业从教材相应练习和“习题21.1”中选取．本节课从复习算术平方根入手引入二次根式的概念，再通过特殊数据的计算，理解二次根式的有关性质，经历观察、归纳、分类讨论等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法.21.2二次根式的乘除21．2.1二次根式的乘法理解eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)，并利用它们进行计算和化简．由具体数据发现规律，导出eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)并运用它进行计算．通过探究eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)，培养特殊到一般的探究精神，培养学生对事物规律的观察发现能力，激发学生的学习兴趣．重点eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)及它的应用．难点发现规律，导出eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)．一、情境引入1．填空：(1)eq\r(4)×eq\r(9)＝________，eq\r(4×9)＝________；(2)eq\r(16)×eq\r(25)＝________，eq\r(16×25)＝________；(3)eq\r(100)×eq\r(36)＝________，eq\r(100×36)＝________．参照上面的结果，用“>”、“<”或“＝”填空．eq\r(4)×eq\r(9)________eq\r(4×9)；eq\r(16)×eq\r(25)________eq\r(16×25)；eq\r(100)×eq\r(36)________eq\r(100×36).2．利用计算器计算填空．eq\r(2)×eq\r(3)________eq\r(6)；eq\r(2)×eq\r(5)________eq\r(10)；eq\r(5)×eq\r(6)________eq\r(30)；eq\r(4)×eq\r(5)________eq\r(20).二、探究新知(学生活动)让3，4个同学上台总结规律．教师点评：(1)被开方数都是正数；(2)两个二次根式的积等于这样一个二次根式，它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积．一般地，对二次根式的乘法规定为eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)．例1计算：(1)eq\r(5)×eq\r(7)；(2)eq\r(\f(1,3))×eq\r(9)；(3)eq\r(\f(1,2))×eq\r(6).解：(1)eq\r(5)×eq\r(7)＝eq\r(35)；(2)eq\r(\f(1,3))×eq\r(9)＝eq\r(\f(1,3)×9)＝eq\r(3)；(3)eq\r(\f(1,2))×eq\r(6)＝eq\r(\f(1,2)×6)＝eq\r(3).三、练习巩固1．直角三角形两条直角边的长分别为eq\r(15)cm和eq\r(12)cm，那么此直角三角形斜边长是()A．3eq\r(2)cmB．3eq\r(3)cmC．9cmD．27cm2．化简aeq\r(－\f(1,a))的结果是()A.eq\r(－a)B.eq\r(a)C．－eq\r(－a)D．－eq\r(a)3．等式eq\r(x－1)·eq\r(x＋1)＝eq\r(x2－1)成立的条件是()A．x≥1B．x≥－1C．－1≤x≤1D．x≥1或x≤－14．下列各等式成立的是()A．4eq\r(5)×2eq\r(5)＝8eq\r(5)B．5eq\r(3)×4eq\r(2)＝20eq\r(5)C．4eq\r(3)×3eq\r(2)＝7eq\r(5)D．5eq\r(3)×4eq\r(2)＝20eq\r(6)四、小结与作业小结1．由学生小组讨论汇报通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流．2．教师总结归纳二次根式的乘法规定eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)．布置作业从教材“习题21.2”中选取．这节课教师引导学生通过具体数据，发现规律，导出eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)，并学会它的应用，培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察、发现能力，激发学生的学习兴趣．21．2.2积的算术平方根1．理解eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)．2．运用eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)．重点eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)及其应用．难点eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)的理解与应用．一、情境引入一般地，对二次根式的乘法规定为eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)．反过来，eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)．二、举例分析教师用多媒体出示例1，引导学生利用eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)直接化简．例1化简：(1)eq\r(9×16)；(2)eq\r(16×81)；(3)eq\r(81×100)；(4)eq\r(54).解：(1)eq\r(9×16)＝eq\r(9)×eq\r(16)＝3×4＝12；(2)eq\r(16×81)＝eq\r(16)×eq\r(81)＝4×9＝36；(3)eq\r(81×100)＝eq\r(81)×eq\r(100)＝9×10＝90；(4)eq\r(54)＝eq\r(9×6)＝eq\r(32)×eq\r(6)＝3eq\r(6).教师用多媒体出示例2，学生板演，集体讲评，注意引导学生理解并掌握积的算术平方根应用的条件：a≥0，b≥0.例2判断下列各式是否正确，不正确的请改正：(1)eq\r(（－4）×（－9）)＝eq\r(－4)×eq\r(－9)；(2)eq\r(4\f(12,25))×eq\r(25)＝4×eq\r(\f(12,25))×eq\r(25)＝4eq\r(\f(12,25))×eq\r(25)＝4eq\r(12)＝8eq\r(3).三、练习巩固1．化简：(1)eq\r(20)；(2)eq\r(18)；(3)eq\r(24)；(4)eq\r(54).2．自由落体的公式为s＝eq\f(1,2)gt2(g为重力加速度，它的值约为10m/s2)，若物体下落的高度为120m，则下落的时间是________s.四、小结与作业小结1．通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流．2．教师总结归纳积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)．布置作业从教材“习题21.2”中选取．本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究、合作学习的能力，训练逆向思维，通过严谨解题，增加学生准确解题的能力.21.2.3二次根式的除法1．理解eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b>0)和eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b>0)，并运用它们进行计算．2．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．3．理解最简二次根式的概念，并运用它将不是最简二次根式的化成最简二次根式．重点1．理解eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b>0)，eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b>0)及利用它们进行计算和化简．2．最简二次根式的运用．难点发现规律，归纳出二次根式的除法规定．最简二次根式的运用．一、情境引入(学生活动)请同学们完成下列各题．1．写出二次根式的乘法规定及逆向公式．2．填空：(1)eq\f(\r(9),\r(16))＝________，eq\r(\f(9,16))＝________；(2)eq\f(\r(16),\r(36))＝________，eq\r(\f(16,36))＝________；(3)eq\f(\r(4),\r(16))＝________，eq\r(\f(4,16))＝________；(4)eq\f(\r(36),\r(81))＝________，eq\r(\f(36,81))＝________．规律：eq\f(\r(9),\r(16))________eq\r(\f(9,16))；eq\f(\r(16),\r(36))________eq\r(\f(16,36))；eq\f(\r(4),\r(16))________eq\r(\f(4,16))；eq\f(\r(36),\r(81))________eq\r(\f(36,81)).3．利用计算器计算填空：(1)eq\f(\r(3),\r(4))＝________；(2)eq\f(\r(2),\r(3))＝________；(3)eq\f(\r(2),\r(5))＝________；(4)eq\f(\r(7),\r(8))＝________．规律：eq\f(\r(3),\r(4))________eq\r(\f(3,4))；eq\f(\r(2),\r(3))________eq\r(\f(2,3))；eq\f(\r(2),\r(5))________eq\r(\f(2,5))；eq\f(\r(7),\r(8))________eq\r(\f(7,8)).教师用多媒体展示，每组推荐一名同学阐述运算结果，教师最后点评．二、探究新知刚才同学们都练习得很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b>0)．反过来，eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b>0)．下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．例1计算：(1)eq\f(\r(12),\r(3))；(2)eq\r(\f(3,2))÷eq\r(\f(1,8))；(3)eq\r(\f(1,4))÷eq\r(\f(1,16))；(4)eq\f(\r(64),\r(8)).解：(1)eq\f(\r(12),\r(3))＝eq\r(\f(12,3))＝eq\r(4)＝2；(2)eq\r(\f(3,2))÷eq\r(\f(1,8))＝eq\r(\f(3,2)÷\f(1,8))＝eq\r(\f(3,2)×8)＝eq\r(3×4)＝eq\r(3)×eq\r(4)＝2eq\r(3)；(3)eq\r(\f(1,4))÷eq\r(\f(1,16))＝eq\r(\f(1,4)÷\f(1,16))＝eq\r(\f(1,4)×16)＝eq\r(4)＝2；(4)eq\f(\r(64),\r(8))＝eq\r(\f(64,8))＝eq\r(8)＝2eq\r(2).例2化简：(1)eq\r(63)；(2)eq\r(\f(3,64))；(3)eq\f(1,\r(5))；(4)eq\f(\r(6),\r(8)).解：(1)eq\r(63)＝3eq\r(7)；(2)eq\r(\f(3,64))＝eq\f(\r(3),\r(64))＝eq\f(\r(3),8)；(3)eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),\r(5)×\r(5))＝eq\f(\r(5),5)；(4)eq\f(\r(6),\r(8))＝eq\f(\r(6)×\r(2),\r(8)×\r(2))＝eq\f(\r(3),2).观察上面各小题的最后结果，发现这些二次根式有这些特点：(1)被开方数中不含分母；(2)被开方数中所含的因数(或因式)的幂的指数都小于2.教师在此过程中强调，要求最后结果化成最简二次根式．三、练习巩固1．化简：(1)3eq\r(\f(5,12))；(2)－eq\r(172－132)；(3)eq\f(\r(2)－1,\r(3))；(4)eq\f(1,\r(3)－\r(2)).2．已知eq\r(\f(1－a,a2))＝eq\f(\r(1－a),a)，则a的取值范围是________．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2.5cm，BC＝6cm，求AB的长．第1题可由学生自主完成，第2、3题教师可给予相应的指导．四、小结与作业小结请若干学生口述小结，老师再利用电子课件将小结放映在屏幕上．布置作业从教材“习题21.2”中选取．本课时教学突出学生主体性原则，即通过探究学习，指导学生独立思考，通过具体数据得出规律，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情．21．3二次根式的加减1．掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式．2．掌握二次根式加减乘除混合运算的方法．重点二次根式加减法的运算．难点探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确进行二次根式加减法的运算．一、情境引入1．合并同类项：(1)2x＋3x；(2)2x2－3x2＋5x2.解：(1)5x；(2)4x2.这几道题是你运用什么知识做的？加减法则．2．化简：(1)eq\r(\f(5,3))；(2)eq\r(48).解：(1)eq\f(\r(15),3)；(2)4eq\r(3).3．如何进行二次根式的加减计算？先化简，再合并．4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．如2eq\r(2)与3eq\r(2)；2eq\r(8)，3eq\r(8)与5eq\r(8).二、探究新知例1计算：(1)2eq\r(2)＋3eq\r(2)；(2)2eq\r(8)－3eq\r(8)＋5eq\r(8)；(3)eq\r(7)＋2eq\r(7)＋3eq\r(9×7)；(4)3eq\r(3)－2eq\r(3)＋eq\r(3).教师多媒体展示例1.(1)如果我们把eq\r(2)当成x，不就转化成上面的问题了吗？因此，二次根式的被开方数相同的可以合并，如2eq\r(2)与eq\r(8)表面上看是不同的，但它们可以合并．归纳：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并．例2计算：(1)2eq\r(12)－6eq\r(\f(1,3))＋3eq\r(48)；(2)(eq\r(12)＋eq\r(20))＋(eq\r(3)－eq\r(5))．教师多媒体展示例2.学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．三、练习巩固1．下列计算是否正确？为什么？(1)eq\r(8)－eq\r(3)＝eq\r(8－3)；(2)eq\r(4)＋eq\r(9)＝eq\r(4＋9)；(3)3eq\r(2)－eq\r(2)＝2eq\r(2).2．以下二次根式：①eq\r(12)；②eq\r(22)；③eq\r(\f(2,3))；④eq\r(27)中，与eq\r(3)是同类二次根式的是()A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④3．计算：(1)eq\r(80)－eq\r(20)＋eq\r(5)；(2)eq\r(18)＋(eq\r(98)－eq\r(27))；(3)eq\f(1,2)(eq\r(2)＋eq\r(3))－eq\f(3,4)(eq\r(2)＋eq\r(27))；(4)3eq\r(48)－9eq\r(\f(1,3))＋3eq\r(12).4．已知x＝eq\r(3)＋1，y＝eq\r(3)－1，求下列各式的值．(1)x2＋2xy＋y2；(2)x2－y2.教师多媒体展示，点名回答第1，2题，第3题学生板演，教师点评．四、小结与作业小结请学生分组讨论，小组代表汇报，教师展示本节课学习的知识要点．布置作业从教材相应练习和“习题21.3”中选取．本节课通过复习整式的加减法、合并同类项，引入二次根式的概念及二次根式的合并方法，对法则的教学与整式的加减比较学习，在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣．第22章一元二次方程22．1一元二次方程1．知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．2．在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识．重点判定一个数是否是方程的根．难点由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．一、情境引入教师展示多媒体，引导学生列出方程，解决问题．问题1绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x(x＋10)＝900整理可得x2＋10x－900＝0.(1)问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率．解：设这两年的年平均增长率为x.我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5(1＋x)万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的(1＋x)倍，即5(1＋x)·(1＋x)＝5(1＋x)2万册，可列得方程5(1＋x)2＝7.2，整理可得5x2＋10x－2.2＝0.(2)二、探究新知教师指出问题，学生小组讨论，归纳．问题1和问题2分别归结为解方程(1)和(2)．显然，这两个方程都不是一元一次方程，那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？共同特点：(1)都是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项．例1判断下列方程是否为一元二次方程：①1－x2＝0；②2(x2－1)＝3y；③2x2－3x－1＝0;④eq\f(1,x2)－eq\f(2,x)＝0；⑤(x＋3)2＝(x－3)2;⑥9x2＝5－4x.解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是．【教学说明】(1)一元二次方程为整式方程；(2)类似⑤这样的方程要化简后才能判断．例2将方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：2x2－13x＋11＝0；2，－13，11.三、练习巩固1．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)5x2－1＝4x；(2)4x2＝81；(3)4x(x＋2)＝25；(4)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.解：(1)5x2－4x－1＝0；5，－4，－1；(2)4x2－81＝0；4，0，－81；(3)4x2＋8x－25＝0；4，8，－25；(4)3x2－7x＋1＝0；3，－7，1.2．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.解：(1)4x2＝25；4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100；x2－2x－100＝0；(3)x＝(1－x)2；x2－3x＋1＝0.3．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．解：∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根．∴4a＋8－5＝0，解得a＝－eq\f(3,4).四、小结与作业小结1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的．3．在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性．布置作业从教材相应练习和“习题22.1”中选取．学习本课时，可让学生先自主探索再合作交流，小组内，小组之间充分交流后概括所得结论，从而强化学生对一元二次方程的有关概念的认识，掌握建模思想，利用一元二次方程解决实际问题．22．2一元二次方程的解法22．2.1直接开平方法和因式分解法1．会用直接开平方法解形如a(x－k)2＝b(a≠0，ab≥0)的方程．2．灵活应用因式分解法解一元二次方程．3．使学生了解转化的思想在解方程中的应用．重点利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程．难点合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程．一、情境引入教师提出问题，让学生说出作业中的解法，教师板书．问：怎样解方程(x＋1)2＝256?解：方法1：直接开平方，得x＋1＝±16，∴原方程的解是x1＝15，x2＝－17.方法2：原方程可变形为(x＋1)2－256＝0，方程左边分解因式，得(x＋1＋16)(x＋1－16)＝0，即(x＋17)(x－15)＝0，∴x＋17＝0或x－15＝0，原方程的解是x1＝15，x2＝－17.二、探究新知教师多媒体展示，学生板演，教师点评．例1用直接开平方法解下列方程：(1)(3x＋1)2＝7；(2)y2＋2y＋1＝24；(3)9n2－24n＋16＝11.解：(1)eq\f(－1±\r(7),3)；(2)－1±2eq\r(6)；(3)eq\f(4±\r(11),3).【教学说明】运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根．例2用因式分解法解下列方程：(1)5x2－4x＝0；(2)3x(2x＋1)＝4x＋2；(3)(x＋5)2＝3x＋15.解：(1)x1＝0，x2＝eq\f(4,5)；(2)x1＝eq\f(2,3)，x2＝－eq\f(1,2)；(3)x1＝－5，x2＝－2.【教学说明】解这里的(2)(3)题时，注意整体划归的思想．三、练习巩固教师多媒体展示出题目，由学生自主完成，分组展示结果，教师点评．1．用直接开平方法解下列方程：(1)3(x－1)2－6＝0；(2)x2－4x＋4＝5；(3)(x＋5)2＝25；(4)x2＋2x＋1＝4.解：(1)x1＝1＋eq\r(2)，x2＝1－eq\r(2)；(2)x1＝2＋eq\r(5)，x2＝2－eq\r(5)；(3)x1＝0，x2＝－10；(4)x1＝1，x2＝－3.2．用因式分解法解下列方程：(1)x2＋x＝0；(2)x2－2eq\r(3)x＝0；(3)3x2－6x＝－3;(4)4x2－121＝0；(5)(x－4)2＝(5－2x)2.解：(1)x1＝0，x2＝－1；(2)x1＝0，x2＝2eq\r(3)；(3)x1＝x2＝1；(4)x1＝eq\f(11,2)，x2＝－eq\f(11,2)；(5)x1＝3，x2＝1.3．把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为xm.则可列方程2πx2＝π(x＋5)2，解得x1＝5＋5eq\r(2)，x2＝5－5eq\r(2)(舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋5eq\r(2))m.四、小结与作业小结1．引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤．2．对于形如a(x－k)2＝b(a≠0，ab≥0)的方程，只要把(x－k)看作一个整体，就可转化为x2＝n(n≥0)的形式用直接开平方法解．3．当方程出现相同因式(单项式或多项式)时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解．布置作业从教材相应练习和“习题22.2”中选取．本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论，归纳总结探究，掌握基本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法，在整个教学过程中注意整体划归的思想．22．2.2配方法1．使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程．2．在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能．重点使学生掌握用配方法解一元二次方程．难点发现并理解配方的方法．一、情境引入教师多媒体展示问题，引导学生解决问题．问题要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽分别是多少？解：设场地的宽为xm，则长为(x＋6)m，根据矩形面积为16m2，得到方程x(x＋6)＝16，整理得到x2＋6x－16＝0．二、探究新知教师多媒体展示问题，用问题唤起学生的回忆，明确该问题的特点．探究如何解方程x2＋6x－16＝0?问题1通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程？举例说明．【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即(x＋m)2＝n(n≥0)，运用直接开平方法可求解．问题2你会用直接开平方法解下列方程吗？(1)(x＋3)2＝25；(2)x2＋6x＋9＝25；(3)x2＋6x＝16；(4)x2＋6x－16＝0.教师重点讲解第3小题．解：移项，得x2＋6x＝16，两边都加上__9__即__(eq\f(6,2))2__，使左边配成x2＋bx＋(eq\f(b,2))2的形式，得__x__2＋6__x__＋9＝16＋__9__，左边写成完全平方形式，得__(x＋3)2＝25__，开平方，得__x＋3＝±5__，(降次)即__x＋3＝5__或__x＋3＝－5__，解一次方程得x1＝__2__，x2＝__－8__．【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．教师展示课件，让学生自主完成以下例题，小组展示，教师点评归纳．例1填空：(1)x2＋8x＋___16___＝(x＋__4__)2；(2)x2－x＋__eq\f(1,4)__＝(x－__eq\f(1,2)__)2；(3)4x2＋4x＋__1__＝(2x＋__1__)2.例2解下列方程：(1)x2＋6x＋5＝0；(2)2x2＋6x＋2＝0；(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.解：(1)x1＝－1，x2＝－5；(2)x1＝eq\f(\r(5),2)－eq\f(3,2)，x2＝－eq\f(\r(5),2)－eq\f(3,2)；(3)x1＝eq\r(5)－2，x2＝－eq\r(5)－2.【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤：(1)把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程两边同时除以二次项系数a；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用直接开平方法来解．三、练习巩固学生独立解答以下练习，小组内交流，上台展示并讲解思路．1．用配方法解下列方程：(1)2x2－4x－8＝0；(2)x2－4x＋2＝0；(3)x2－eq\f(1,2)x－1＝0.2．如果x2－4x＋y2＋6y＋eq\r(z＋2)＋13＝0，求(xy)z的值．四、小结与作业小结1．用配方法解一元二次方程的步骤．2．用配方法解一元二次方程的注意事项．布置作业从教材相应练习和“习题22.2”中选取．本节课先创设情境导入一元二次方程的解法，引导学生将要解决的问题转化为已学过的直接开平方法来解，从而探索出配方法的一般步骤，熟练运用配方法来解一元二次方程．22．2.3公式法1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．2．会熟练应用公式法解一元二次方程．重点求根公式的推导和公式法的应用．难点一元二次方程求根公式的推导．一、情境引入用配方法解方程：(1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－3x＋5＝0.解：(1)x1＝－1，x2＝－2；(2)无解．二、探究新知教师多媒体展示问题，引导学生利用配方法推出求根公式，学生小组展示．如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它的两根？问题已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根x1＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a).【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成具体数字，根据上面的解题步骤就可以推导下去．探究一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a，b，c代入式子x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)就得到方程的根，当b2－4ac<0时，方程没有实数根；(2)x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式；(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．教师板演第①小题，学生可自主完成余下的题目，小组展示，教师点评．例用公式法解下列方程：①2x2－4x－1＝0；②5x＋2＝3x2；③(x－2)(3x－5)＝0;④4x2－3x＋1＝0.解：①x1＝1＋eq\f(\r(6),2)，x2＝1－eq\f(\r(6),2)；②x1＝2，x2＝－eq\f(1,3)；③x1＝2，x2＝eq\f(5,3)；④无解．三、练习巩固教师展示课件，学生自主完成，小组内交流．用公式法解下列方程：(1)x2＋x－12＝0；(2)x2－eq\r(2)x－eq\f(1,4)＝0；(3)x2＋4x＋8＝2x＋11；(4)x(x－4)＝2－8x；(5)x2＋2x＝0；(6)x2＋2eq\r(5)x＋10＝0.四、小结与作业小结1．求根公式的概念及其推导过程．2．公式法的概念．3．应用公式法解一元二次方程．布置作业从教材相应练习和“习题22.2”中选取．在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比较观察，交流与表述，体验知识获取的过程，激发学生的学习兴趣，利用师生的双边活动，适时调试，从而提高学习效率．22．2.4一元二次方程根的判别式1．能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证．2．会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围．重点根的判别式的正确理解与应用．难点含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用．一、情境引入教师多媒体展示，回顾已有知识．用公式法解下列一元二次方程：(1)x2＋5x＋6＝0；(2)9x2－6x＋1＝0；(3)x2－2x＋3＝0.解：(1)x1＝－2，x2＝－3；(2)x1＝x2＝eq\f(1,3)；(3)无解．二、探究新知教师课件展示，提出问题，引导学生解决问题．观察解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，需先确定a，b，c的值，然后求出b2－4ac的值，它能决定方程是否有解，我们把b2－4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac.我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现：(x＋eq\f(b,2a))2＝eq\f(b2－4ac,4a2).【归纳结论】(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根：x1＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)；(2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根：x1＝x2＝－eq\f(b,2a)；(3)当Δ<0时，方程没有实数根．例1利用根的判别式判定下列方程的根的情况：(1)2x2－3x－eq\f(3,2)＝0；(2)16x2－24x＋9＝0；(3)x2－4eq\r(2)＋9＝0;(4)3x2＋10x＝2x2＋8x.解：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根．三、练习巩固教师多媒体展示问题，引导学生灵活运用知识，学生小组内交流．1．方程x2－4x＋4＝0的根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根2．已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．四、小结与作业小结1．用判别式判定一元二次方程根的情况：(1)Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；(2)Δ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0时，一元二次方程无实数根．2．运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件．布置作业从教材相应练习和“习题22.2”中选取．本课时创设情境，启发引导，让学生充分感受理解知识的产生和发展过程，在教师适时点拨下，学生在发现归纳的过程中积极主动地去探索，发现数学规律，培养了学生的创新意识、创新精神及思维能力．*22.2.5一元二次方程的根与系数的关系1．引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系及其关系的运用．2．通过观察、实践、讨论等活动，经历从观察、判断到发现关系的过程．重点一元二次方程根与系数之间的关系的运用．难点一元二次方程根与系数之间的关系的运用．一、情境引入教师课件展示，提出问题，引导学生解决问题．1．完成下列表格方程x1x2x1＋x2x1·x2x2－5x＋6＝02356x2＋3x－10＝02－5－3－10问题你发现了什么规律？①用语言叙述你发现的规律：(两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项)．②设方程x2＋px＋q＝0的两根为x1，x2，用式子表示你发现的规律．(x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.)2．完成下列表格方程x1x2x1＋x2x1·x22x2－3x－2＝02－eq\f(1,2)eq\f(3,2)－13x2－4x＋1＝0eq\f(1,3)1eq\f(4,3)eq\f(1,3)问题上面发现的结论在这里成立吗？(不成立)请完善规律：①用语言叙述发现的规律：(两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．)②设方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，用式子表示你发现的规律．(x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1·x2＝eq\f(c,a).)二、探究新知教师多媒体展示，提出问题，引导学生根据求根公式推出根与系数之间的关系．通过以上活动你发现了什么规律？对一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)这一规律是否成立？试通过求根公式加以说明．ax2＋bx＋c＝0的两根x1＝__eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)__，x2＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)，x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1·x2＝eq\f(c,a)．教师课件展示问题，学生可自主完成，小组内交流，教师点评．例1不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：(1)x2－6x－15＝0；(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.解：(1)x1＋x2＝6，x1·x2＝－15；(2)x1＋x2＝－eq\f(7,3)，x1·x2＝－3；(3)x1＋x2＝eq\f(5,4)，x1·x2＝eq\f(1,4).例2已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一个根及k的值．解：另一个根为eq\f(3,2)，k＝3.三、练习巩固可由学生自主完成抢答，教师点评．1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：(1)x2－3x＝15；(2)5x2－1＝4x2；(3)x2－3x＋2＝10；(4)4x2－144＝0；(5)3x(x－1)＝2(x－1)；(6)(2x－1)2＝(3－x)2.2．两根均为负数的一元二次方程是()A．7x2－12x＋5＝0B．6x2－13x－5＝0C．4x2＋21x＋5＝0D．x2＋15x－8＝0四、小结与作业小结1．一元二次方程的根与系数的关系．2．一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件．布置作业从教材相应练习和“习题22.2”中选取．本节课先由学生探究特殊一元二次方程的根与系数的关系，再猜想一般一元二次方程的根与系数的关系，并从理论上加以推导证明，加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑思维能力．22．3实践与探索使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数学模型来建立一元二次方程．重点列一元二次方程解决实际问题．难点寻找实际问题中的等量关系．一、情境引入问题1学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？问题2某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．二、探究新知教师引导学生分析解决问题，并让学生一题多解，同时要注意检验所解得的结果是否符合实际意义．问题1【分析】问题中的等量关系很明显，即抓住种植面积为540m2来列方程，设小道的宽为xm，如何来表示种植面积？方法一：如图，由题意得32×20－32x－20x＋x2＝540.方法二：如图，采用平移的方法更简便．由题意可得(20－x)(32－x)＝540，解得x1＝50，x2＝2，由题意可得x<20，∴x＝2.问题2【分析】这是增长率问题，问题中的数量关系很明了，即原价56元经过两次降价降为31.5元，设每次降价的百分率为x，由题意得56(1－x)2＝31.5，解得x1＝0.25，x2＝1.75(舍去)．三、练习巩固1．青山村种的水稻前年平均每公顷产量为7200kg，今年平均每公顷产量为8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．2．用一根长40cm的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75cm2.(1)求此长方形的宽；(2)能围成一个面积为101cm2的长方形吗？如能，说明围法；(3)若设围成一个长方形的面积为S(cm2)，长方形的宽为x(cm)，求S与x的函数关系式，并求出当x为何值时，S的值最大，最大面积为多少？四、小结与作业小结1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际意义．2．用一元二次方程解决特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程．3．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有a(1±x)n＝b(常见n＝2)．布置作业从教材相应练习和“习题22.3”中选取．本课时从创设情境入手，让学生体会数学建模思想，学会分析问题并利用一元二次方程解决实际问题，举一反三，培养学生的创新意识和实践能力，同时通过合作交流培养学生参与合作的意识．第23章图形的相似23．1成比例线段23．1.1成比例线段1．了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例．2．会利用比例的性质，求出未知线段的长．重点成比例线段的定义；比例的基本性质及直接运用．难点比例的基本性质的灵活运用，探索比例的其他性质．一、情境引入教师多媒体展示两幅相似的图片，提问：1．这两个图形有什么联系？它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似图形．2．这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢？相似的两个图形有什么主要特征呢？为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例．二、探究新知(1)回忆什么叫两个数的比，怎样度量线段的长度，怎样比较两条线段的大小．如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比AB∶CD＝m∶n，或写成eq\f(AB,CD)＝eq\f(m,n)，其中，线段AB，CD分别叫做这两个线段比的前项和后项．如果把eq\f(m,n)表示成比值k，则eq\f(AB,CD)＝k或AB＝k·CD.注意：在量线段时要选用同一个长度单位．(2)做一做量出数学书的长和宽(精确到0.1cm)，并求出长和宽的比．改用m作单位，则长为0.211m，宽为0.148m，长与宽的比为0.211∶0.148＝211∶148.只要是选用同一单位测量线段，不管采用什么单位，它们的比值不变．(3)求两条线段的比时要注意的问题．①两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；②两条线段的比没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；③两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．问：两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？(学生讨论)(答：线段的长度比与所采用的长度单位无关．)2．成比例线段的定义四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．3．比例的基本性质两条线段的比实际上就是两个数的比，如果a，b，c，d四个数满足eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，那么ad＝bc吗？反过来，如果说ad＝bc，那么eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)吗？与同伴交流．如果eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，那么ad＝bc.若ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么eq\f(a,b)＝eq\f(c,d).教师多媒体展示例1，例2，教师引导，学生自主完成，小组内交流，教师点评．例1在某市城区地图(比例尺1∶9000)上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16cm，10cm.(1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？(2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？解：(1)1440米，900米；(2)8∶5，8∶5.例2如图，已知eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)＝3，求eq\f(a＋b,b)和eq\f(c＋d,d).解：eq\f(a＋b,b)＝4，eq\f(c＋d,d)＝4.三、练习巩固教师展示课件，可由学生自主完成，点名展示，教师点评．1．已知eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)＝3，求eq\f(a－b,b)和eq\f(c－d,d)及eq\f(a－b,b)＝eq\f(c－d,d)成立吗？2．已知eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)＝eq\f(e,f)＝2(b＋d＋f≠0)，求：(1)eq\f(a＋c＋e,b＋d＋f)；(2)eq\f(a－c＋e,b－d＋f)；(3)eq\f(a－2c＋3e,b－2d＋3f)；(4)eq\f(a－5e,b－5f).【答案】1.eq\f(a－b,b)＝2，eq\f(c－d,d)＝2.eq\f(a－b,b)＝eq\f(c－d,d)成立．2．(1)2；(2)2；(3)2；(4)2.四、小结与作业小结1．注意点：(1)两线段的比值总是正数；(2)讨论线段的比时，不指明长度单位；(3)对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示．2．比例尺：图上长度与实际长度的比．3．熟记成比例线段的定义．4．掌握比例的基本性质，并能灵活运用．布置作业从教材相应练习和“习题23.1”中选取．本课时从生活实例情境引入线段的比及成比例线段的概念，并引导学生探究比例的基本性质及其应用，通过互动交流加强对知识的理解，培养学生的合作意识．23．1.2平行线分线段成比例了解平行线分线段成比例定理的证明，掌握定理的内容．能应用定理证明线段成比例等问题，并会进行有关的计算．重点定理的应用．难点定理的推导证明．一、情境引入问题1翻开我们的作业本，每一页都是由一些间距相等的平行线组成的，如图在作业本上任意画一条直线m与相邻的三条平行线交于A，B，C三点，得到两条线段AB，BC，量一量，你发现这两条线段的长度有什么关系？相等即AB＝BC.(由学生回答)思考：再任意画一条直线n与这组平行线相交，得到两条线段DE和EF，你发现DE与EF的长度存在什么关系？(1)由此，我们可以得到eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF).问题2选择作业本上不相邻的三条平行线，任意画直线m，n与它们相交，如果m，n这两条直线平行，观察并思考这时所得的AD，DB，FE，EC这四条线段的长度有什么关系，如果m，n这两条直线不平行，你再观察一下，量一量，算一算，看看它们是否存在类似关系．(2)(3)归纳：eq\f(AD,DB)＝eq\f(FE,EC).两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．(简称“平行线分线段成比例”)二、探究新知教师结合问题1，2，引导学生深入分析，归纳定理．思考：(1)如图，当图(3)中的点A与点F重合时就形成一个三角形的特殊情况，此时，AD，DB，AE，EC这四条线段之间会有怎样的关系？(2)如图，当图(3)中的直线m，n相交于第二条平行线上某点时，是否也有类似的成比例线段呢？归纳：平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．教师多媒体展示例1，例2，引导学生分析，学生自主完成，教师点评．例1如图，l1∥l2∥l3.(1)已知AB＝3，DE＝2，EF＝4，求BC；(2)已知AC＝8，DE＝2，EF＝3，求AB.【分析】根据题目中的已知和所求线段，寻求有关的比例式，注意选择合理简捷的方法．如第(2)问，有以下两种解法：①若选eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF)，则AB＝x，BC＝8－x，可得eq\f(x,8－x)＝eq\f(2,3)；②若选eq\f(AB,AC)＝eq\f(DE,DF)，则列出eq\f(AB,8)＝eq\f(2,2＋3)，得AB＝eq\f(16,5).例2如图，DE∥BC，AD＝2，DB＝5，EC＝3，求AC的长．解：∵DE∥BC，∴eq\f(DB,AB)＝eq\f(EC,AC)，∴eq\f(5,5＋2)＝eq\f(3,AC)，∴AC＝eq\f(21,5).三、练习巩固教师展示课件，可由学生自主完成，抢答，教师点评．1．如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是()A.eq\f(AC,CE)＝eq\f(BD,DF)B.eq\f(AC,AE)＝eq\f(BD,BF)C.eq\f(CE,AE)＝eq\f(DF,BF)D.eq\f(AE,BF)＝eq\f(BD,AC)第1题图第2题图2．如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中成立的是()A.eq\f(AD,DF)＝eq\f(CE,BC)B.eq\f(AD,BE)＝eq\f(BC,AF)C.eq\f(AD,AF)＝eq\f(BC,BE)D.eq\f(DF,AF)＝eq\f(BE,CE)四、小结与作业小结1．平行线分线段成比例定理及其推论，注意“对应”的含义．2．研究问题的方法：从特殊到一般，类比联想．布置作业从教材相应练习和“习题23.1”中选取．本课时从学生所熟知的作业本入手，通过学生动手画图，测量、观察思考发现规律，归纳总结并加以应用，体会从特殊到一般的数学思维过程，进一步培养学生类比的数学思想．23．2相似图形知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等，识别两个多边形是否相似的方法．重点相似图形的定义和性质．难点相似图形的性质．一、情境引入回顾1．若线段a＝6cm，b＝4cm，c＝3.6cm，d＝2.4cm，那么线段a，b，c，d会成比例吗？2．两张相似的地图中的对应线段有什么关系？(都成比例)二、探究新知教师多媒体展示问题，提出问题，引导学生分析．相似的两张地图中的对应线段都会成比例，对于一般的相似多边形，这个结论是否成立呢？同学们动手量一量，算一算，用刻度尺和量角器量一量课本第58页两个相似四边形的边长，量一量它们的内角，由一位同学把量得的结果写在黑板上，其他同学把量得的结果与同伴交流．同学们会发现有什么关系呢？经过观察、计算得出这两个相似四边形的对应边会成比例，对应角会相等，再观察课本中两个相似的五边形，是否也具有一样的结果？反映它们的边之间、角之间的关系是什么关系？同学们用格点图画相似的两个三角形，观察、度量，它们是否也具有这种关系(对应边成比例，对应角相等)?由此可以得到两个相似多边形的特征：(由同学回答，教师板书)对应边成比例，对应角相等．实际上这两个特征，也是我们识别两个多边形是否相似的方法，即如果两个多边形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似．识别两个多边形是否相似的标准有：(数相同)，对应边要(成比例)，对应角要(都相等)．(括号内要求同学填)填一填：(1)两个三角形一定是相似图形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？两个等腰直角三角形呢？(2)所有的菱形都相似吗？所有的矩形呢？正方形呢？学生小组内交流，代表发言，教师点评．教师课件展示例1，例2，学生可自主完成，小组内交流，点名展示，教师点评．例1矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中，AB＝1.5cm，BC＝4.5cm，A′B′＝0.8cm，B′C′＝2.4cm，这两个矩形相似吗？为什么？解：相似，∵eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(DC,D′C′)＝eq\f(15,8).例2如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，求∠A的度数与x的值．解：由相似图形的性质知∠A＝∠A′＝107°，eq\f(4,x)＝eq\f(5,2)，∴x＝eq\f(8,5).三、练习巩固教师多媒体展示，学生独立完成，点名展示，并讲解，师生共同点评．1．在矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中，已知AB＝16cm，AD＝10cm，A′D′＝6cm，矩形A′B′C′D′的面积为54cm2，这两个矩形相似吗？为什么？2．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是相似的，且C′D′⊥B′C′，根据图中的条件，求出未知的边x、y及角α.四、小结与作业小结1．相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等．2．相似多边形的判定．布置作业从教材相应练习和“习题23.2”中选取．本节课学生通过动手测量，探究相似图形的有关性质，经历观察、实验归纳等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验数学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观．23．3相似三角形23．3.1相似三角形1．知道相似三角形的概念．2．能够熟练地找出相似三角形的对应边和对应角．3．会根据概念判断两个三角形相似，能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长．4．掌握利用“平行于三角形一边的直线，和其它两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似”来判断两个三角形相似．重点掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似．难点熟练找出对应元素，在此基础上根据定义求线段长或角的度数．一、情境引入复习：什么是相似图形？识别两个多边形是否相似的标准是什么？二、探究新知教师展示多媒体，从复习引入，引导学生进行探究．1．相似三角形的有关概念由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那么这两个多边形相似．三角形是最简单的多边形．由此可以说什么样的两个三角形相似？如果两个三角形的三条边都成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似，如在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝A′，∠B＝B′，∠C＝C′，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(AC,A′C′)，那么△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.“∽”是表示相似的符号，读作“相似于”，这样两个三角形相似就读作“△ABC相似于△A′B′C′”．由于∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，所以点A与点A′是对应顶点，点B与点B′是对应顶点，点C与点C′是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边．如果记eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(AC,A′C′)＝k，那么这个比值k就表示这两个相似三角形的相似比，相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系．如△ABC∽△A′B′C′，它的相似比为k，即指eq\f(AB,A′B′)＝k，那么△A′B′C′与△ABC的相似比应是eq\f(A′B′,AB)，就不是k了，应为多少呢？同学们想一想．如果△ABC∽△A′B′C′，相似比k＝1，你会发现什么呢？eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(AC,A′C′)＝1，所以可得AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，因此这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形称之为全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例．试问：①全等的两个三角形一定相似吗？②相似的两个三角形会全等吗？教师利用多媒体展示问题，引导学生探究问题，学生归纳总结，教师点评．2．在△ABC中，点D是AB上任意一点，过点D作DE∥BC，交AC边于点E，那么△ADE与△ABC是否相似？教师引导分析：判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例去考虑．能否得对应角相等？根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢？可根据平行线分线段成比例的基本事实，推得eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)，通过度量发现eq\f(DE,BC)＝eq\f(AD,AB)，所以可以判断出△ADE与△ABC相似．思考(1)你能否通过演绎推理证明你的猜想？(2)若是DE∥BC，DE与BA，CA的延长线交于点E，D，那么△ADE与△ABC还会相似吗？试试看，如果相似写出它们对应边的比例式．学生归纳总结：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似．教师再展示例题，可由学生自主完成，点名上台展示，教师点评．例1如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE＝5，求BC的长．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3)，∴BC＝3DE＝15.三、练习巩固第1题可由学生自主完成，第2题教师适当点拨，小组讨论后完成，上台展示，教师点评．1．如图，DE∥BC.(1)如果AD＝2，DB＝3，求DE∶BC的值；(2)如果AD＝8，DB＝12，AC＝15，DE＝7，求AE和BC的长．2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE交AC于点F，BE的延长线交CD的延长线于点G.(1)求证：eq\f(GE,GB)＝eq\f(AE,BC)；(2)若GE＝2，BF＝3，求线段EF的长．四、小结与作业小结你这节课学到了哪些知识？还有哪些疑问？布置作业从教材相应练习和“习题23.3”中选取．本节课通过复习相似多边形的性质与判定引入三角形相似的概念，表示方法及判定方法，通过思考探究、动手测量、猜想、演绎证明推导出相似三角形的判定的预备定理，即平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似，并通过例题练习运用新知，深化理解．23．3.2相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定(1)会判定两个三角形相似的方法：两个角分别相等的两个三角形相似．会用这种方法判断两个三角形是否相似．重点相似三角形的判定定理1以及推导过程，并会用判定定理1来证明和计算．难点相似三角形的判定定理1的运用．一、情境引入教师展示课件，提出问题．1．两个矩形一定会相似吗？为什么？2．如何判断两个三角形是否相似？根据定义：对应角相等，对应边成比例．3．如图，△ABC与△A′B′C′会相似吗？为什么？是否存在判定两个三角形相似的简便方法？本节就是探索识别两个三角形相似的方法．二、探究新知同学们观察你与你的同伴用的三角尺，及老师用的三角板，如有一个角是30°的直角三角尺，它们的大小不一样，这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺入手探索．(1)45°角的三角尺是等腰直角三角形，它们是相似的；(2)30°的三角尺，另一个锐角为60°，有一个直角，因此它们的三个角都相等，同学们量一量它们的对应边，是否成比例呢？这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等，它们好像就会“相似”，是这样吗？请同学们动手试一试：1．画两个三角形，使它们的三个角分别相等．画△ABC与△DEF，使∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，在实际画图过程中，同学们画几个角相等？为什么？实际画图中，只画∠A＝∠D，∠B＝∠E，则第三个角∠C与∠F一定会相等，这是根据三角形内角和为180°所确定的．2．用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例？与同伴交流，是否有相同结果．3．发现什么现象：发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似．4．两个矩形的四个角也都分别相等，它们为什么不会相似呢？这是由于三角形具有它特殊的性质，三角形有稳定性，而四边形有不稳定性．于是我们得到判定两个三角形相似的一个较为简便的方法：如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似，简单地说，两角对应相等，两三角形相似．同学们思考，能否再简便一些，仅有一对角对应相等的两个三角形，是否一定会相似呢？教师再展示课件，展示例1，例2，教师引导学生分析，学生完成．例1在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝50°，∠B＝70°，∠B′＝60°，这两个三角形相似吗？解：由三角形的内角和定理知∠C′＝180°－∠A′－∠B′＝180°－50°－60°＝70°，∴∠C′＝∠B，又∵∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′C′B′.例2如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC.证明：∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C.又∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠A.∴△ADE∽△EFC.三、练习巩固教师用多媒体展示习题，第1题由学生自主完成，第2题教师可适当点拨，注意分类讨论．1．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，找出图中所有的相似三角形．第1题图第2题图2．在△ABC中，点D是AB边上的一点，过点D作一直线与AC相交于点E，要使△ADE与△ABC相似，你怎样画这条直线？说明理由，和你的同伴交流作法是否一样．【答案】1.△ACD∽△CBD∽△ABC.2．有两种不同的画法：①过点D作DE∥BC，DE交AC于点E：②以AD为一边在△ABC内部作∠ADE＝∠C，另一边DE交AC于点E.四、小结与作业小结这节课你学到哪些判定三角形相似的方法？还有什么疑惑，说说看．布置作业从教材相应练习和“习题23.3”中选取．本课时从学生所熟悉的特殊三角板入手，通过学生动手操作探究相似三角形的判定定理1，从中感受学习几何的乐趣，从而激发学生学习兴趣，培养学生的几何推理能力．

第2课时相似三角形的判定(2)1．掌握相似三角形的判定定理2：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．2．掌握相似三角形的判定定理3：三条边对应成比例的两个三角形相似．3．能依据条件，灵活应用相似三角形的判定定理，正确判断两个三角形相似．重点相似三角形的判定定理2，3的推导过程，掌握相似三角形的判定定理2，3并能灵活应用．难点相似三角形的判定定理的推导及应用．一、情境引入复习1．现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？有两种方法：(1)根据定义；(2)有两个角对应相等的两个三角形相似．2．如图，在△ABC中，点D，E是AB，AC上的三等分点(即AD＝eq\f(1,3)AB，AE＝eq\f(1,3)AC)，那么△ADE与△ABC相似吗？你用的是哪一种方法？由于没有两个角对应相等，同学们可以动手量一量，量得什么后可以判断它们是否相似？【教学说明】可能有一部分同学用量角器量角，有一部分同学量线段，看看能否成比例，无论哪一种，都应肯定他们是正确的，要求同学们说出是应用哪一种方法判断出的．二、探究新知同学们通过量角或量线段计算之后，得出：△ADE∽△ABC.从已知条件看，△ADE与△ABC有一对对应角相等，即∠A＝∠A(是公共角)，而一个条件是AD＝eq\f(1,3)AB，AE＝eq\f(1,3)AC，即是eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3)，eq\f(AE,AC)＝eq\f(1,3)，因此eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC).△ADE的两条边AD，AE与△ABC的两条边AB，AC对应成比例，它们的夹角又相等，符合这样条件的两个三角形也会相似吗？我们再做一次实验，观察教材图23.3.10，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？图中的两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为eq\f(1,3)，将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE＝eq\f(1,3