《变量与函数》教案

对《变量与函数》的教学研究

郑超予

一．内容和内容解析

【内容】变量与函数的概念

【内容解析】

“14.1变量与函数”是人教版义务教育课程标准实验教科书八年级

上册第十四章第一单元，本设计是第1课时，引导学生从生活实例中抽

象出常量、变量与函数等概念，其中函数的概念是本节核心内容．函数

概念的核心是两个变量间的特殊对应关系：（1）由哪一个变量确定另一

个变量；（2）唯一对应关系.如果直接研究某个量y有一定困难，我们

可以去研究另一个与之有关的量x，从而达到研究的目的.这也是一种化

繁为简的转化思想。

本节课是函数入门课，首先必须准确认识变量与常量的特征，初步

感受到现实世界各种变量之间联系的复杂性，同时感受到研究主要从化

繁就简入手，在初中阶段主要研究两个变量之间的特殊对应关系．本设

计把重点放在认识“两个变量间的特殊对应关系：由哪一个变量确定另

一变量；唯一确定的含义。”而函数图象较为直观形象，有助于学生理

解函数的概念，因此把函数图象中的部分内容提前到本课时学习。

二．目标和目标解析

【目标】理解常量、变量与函数的概念．

【目标解析】

（1）借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的

数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可

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以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变

量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。初步理解对应的思

想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个

变量间是否具有函数关系。

（2）借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过

程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间

联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简。

（3）从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发

现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣。学生

初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学

科。

三、教学问题诊断分析

变量与函数的概念把学生由常量数学的学习引入变量数学学习中。

学生知道代数式中的字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一

个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数，另外，学生在

日常生活中也接触到函数图象、两个变量的关系等朴素的函数关系的生

活实例。但是学生初次接触函数的概念，难以理解定义中“唯一确定”

的准确含义。

【教学重点】借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出

函数的概念。

【教学难点】怎样理解“唯一对应”．

四、教学过程设计

（一）导言：

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我们生活在一个运动的世界中，周围的事物都是运动的，例如：地

球在宇宙中的运动这一问题，此时地球在宇宙中的位置随着时间的变化

而变化，这是生活中的常识，学生都很容易理解。再例如，气温随着高

度的升高而降低，年龄随着时间的增长而增长。

这几个问题中都涉及两个量的关系，地球的位置与时间，温度与高

度，年龄与时间。

【设计意图】从学生的生活入手，开门见山，在极短的时间(一两分

钟)内指明本节课的学习内容。现实世界中各种量之间的联系纷繁复杂，

应向学生说明我们数学的研究方法是化繁就简，本节课只关注一类简单

的问题。

（二）概念的引入

1.票房收入问题：每张电影票的售价为10元。

（1）若一场售出150张电影票，则该场的票房收入是元；若

售出205张、310张呢？

（2）若一场售出x张电影票，则该场的票房收入y元，则y=。

思考：

（1）票房收入随售出的电影票变化而变化，即y随的变化而

变化；

（2）当售出票数x取定一个确定的值时，对应的票房收入y的取值

是否唯一确定？

2．行程问题：汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶里程为s

千米，行驶时间为t小时.请根据题意填表：

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思考：

行驶路程随的变化而变化，有关系式s=，即s随

的变化而变化；

3.气温问题：图一是北京春季某一天的气温Ｔ随时间t变化的图象，

看图回答：

（1）这天的8时的气温是℃，14时的气温是℃，最高气温

是℃，最低气温是℃；

（3）这一天中，在4时~12时，气温（），在16时~24时，气温（）。

A.持续升高B.持续降低C.持续不变

思考：

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（1）天气温度随的变化而变化，即T随的变化而

变化；

（2）当时间t取定一个确定的值时，对应的温度T的取值是否唯一

确定？

【设计意图】这三个问题中都含有变量之间的单值对应关系，通过

研究这些问题引出常量、变量、函数等概念，通过这种从实际问题出发

开始讨论的方式，使学生体验从具体到抽象地认识过程。问题的形式有

填空、列表、求值、写解析式、读图等，隐含着在函数关系中表示两个

变量的对应关系有解析法、列表法、图象法。

（三）概念的界定

思考：上述三个问题中，分别涉及哪些量的关系？那些量是变化的？

那些量是不变的？哪个量的变化导致另一个量的变化而变化？在一个

问题中，当一个量取了确定的值之后，另一个量对应的能取几个值？

在上面的三个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按

照某种规律变化），变化的量叫做变量；有些量的值始终不变（例如电

影票的单价10元……）．并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变

量就随之确定，且它的对应值只有一个。

教师根据学生的回答，在黑板上板书：

售出票数－－－－票房收入

行驶时间－－－－行驶路程

时间－－－－－－－－气温

都有两个变量x,y

学生们会得出：都是变量y随着x的变化而变化

当x取一个确定值的时候，y只有一个值与之对应

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师生对上述三个问题进行分析，找出它们的共性，归纳出函数的概

念。

在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y总

有唯一的值与它对应，我们就说x是自变量，y是x的函数。

【设计意图】（1）如何把具体的实例进行抽象，形式化为数学知识

是本课的关键。这里提出的问题“上述三个问题中，分别涉及哪些量的

关系？通过哪一个量可以确定另一个量？”是一个关键的“脚手架”，

借助“脚手架”，学生经历数学概念的形成过程，引导学生认识为什么

要引进变量、常量、函数的概念，逐步了解如何给数学概念下定义。（2）

此处板书是“脚手架”的重要组成部分，揭示“两个量的对应关系”。

问题回顾：指出前面三个问题中涉及到的量，并指出其中的变量、

常量、自变量与函数。

【设计意图】巩固常量、变量、自变量、函数的概念。

例1一个三角形的底边为5，这一边上的高h可以任意伸缩。

（1）高h的变化会引起三角形中哪些量发生变化？这些变量是高h

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的函数吗？

（2）试求面积s随h变化的关系式，并指出其中的常量、变量与自

变量。

例2如果用r表示圆的半径，半径r的变化会引起圆中哪些量发生

变化？这些变量是半径r的函数吗？

【设计意图】例1、例2的引入用几何画板做动态演示。此两例引导

学生体会几何问题中两个变量在动态变化过程中的依存关系。

例3问题1中，售出票数是票房的函数吗？问题2中，学号x是成绩f

的函数吗？

【设计意图】（1）引导学生从逆向思维的角度进行思考，更全面地

理解函数的概念。（2）培养学生逆向思维的习惯。（3）让学生对这三个

问题留下更深刻的印象，特别是“成绩问题，”它将在函数这一章书的

教学中反复被引用，帮助学生深入理解函数的概念。

（四）概念巩固

1.请同学们找出这些函数的常量、变量、自变量和函数：

(1)y=3000-300x；(2)y=x；(3)S=•r2；

解：(1)常量是3000，－300；变量是x，y；自变量是x；y是x的函

数。

(2)常量是1；变量是x，y；自变量是x；y是x的函数。

(3)常量是π；变量是r，s；自变量是r；s是r的函数。

2.根据所给的条件，写出y与x的函数关系式：

①y比x的1/3少2。

②y是x的倒数的4倍。

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③矩形的周长是18cm,它的长是ycm，宽是xcm。

④等腰三角形的顶角度数y与底角x的关系。

【设计意图】（1）例题和巩固练习，巩固变量与函数等概念，让学

生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系，隐含着在函数

关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法。（2）练习

二提出具有实际背景的问题有利于学生理解函数，在理解了函数的基础

上，让学生自己根据题意写出函数关系。

（五）概念辨析

1.两个变量x、y满足关系式，填表并回答问题：

y是x的函数吗？为什么？

2.下列各图中，表示y是x的函数的有_________________（可以多

选）。

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3．你能举出涉及两个变量的例子吗？它们具有函数关系吗？

【设计意图】理解函数概念的核心是“①由哪一个变量确定另一个

变量；②唯一对应关系”，给定自变量x的任意一个值就有唯一确定的y

的