正余弦定理及解三角形专题

全国名高数学复优专题汇（附详）正余弦定理题1.【2017山东，理9】在

中，角

，

，

C

的对边分别为

，

b

，

．若

为锐角三角形，且满足

sin

2sincosCsinC

，则下列等式成立的是（）

ab

（）

ba

（）

（）

【答案】【解析】sin()BcosAcosC所以

Bcossincos2sinAb

，选A.2.【2017北京，理12】在平面角坐标系中，角α与均以Ox为始边，它们终边关于轴称若

sin

13

，

cos(

=___________.【答案】

793.【浙，14】已知ABCAB=4=2．点D为AB延线上一点BD，连结CDeq\o\ac(△,则)BDC的面积是______，cosBDC=_______．【答案】

15102【解析】取中E，中，由题意：,BFCD

，△中

cosABC

11，cosDBC,sin14

，

eq\o\ac(△,S)D

115BDBC2

．又

cos2sinDBF

14

sin

104

，全国名高数学复优专题汇（附详）cosBDC

104

，1015综上可得，△面积为，BDC424.【2017课标II，理】ABC的角、、C

．所对的边分别为a,b

，已知

sin

2

，（）

；（）

a

，

的面积为

，求

b

。【答案】(1)

cos

1517

；(2)【解析】b=2（）由题设及，故上式两边平方，整理得解得（），故又由余弦定理及

得所以b=2.1.【2016高考新课标理数若

cos(

4

35

，则

sin2

（

）（）

725

（）

15

（）

15

（）

725【答案】全国名高数学复优专题汇（附详）【解析】245

，且

，故选D.2.【2016高考新课标理数若

，则

2sin

（）(A)

4816(B)(C)1(D)【答案】【解析】由

tan

3，得,cos或sin55

，所以

2sin225

，故选．7.【2016高考天津理数】eq\o\ac(△,在)中，若

AB13

,BC=3，

,则AC（）（）【答案】

（）（）（）【解析】由余弦定理得3

ACAC,选8.【2016高江苏卷】在锐角角形ABC中若ABsinC▲.【答案】8.

，则tanAtantanC的小值是【解析】Asin(BtanC2tanBC，

tan

tanB+tanCtanBC

，因BtanBtantanA2tanBCBAtan即最小值为8.9.【2016年高考四川理数题满分12分）在△中，角A,B,所的边分别是,,c且

Aac

.（）明：

sinsinB

；（II）若

b

222

65

，tanB【答案）明详见解析4.【解析】全国名高数学复优专题汇（附详）（Ⅱ）由已知，

+c

–

=

65

bc，根据余弦定理，有cosA=

b

2

2=．5所以sinA=

A

=

．由（ⅠAsinB=sinAcosB+cosAsin，44所以sinB=cosB+sinB55故tanB=

sincosB

=4．【2016高浙江理数分14分△ABC中角A所的边分为a.已b+=2cos（）明A=2；（II）若△ABC的积

=

2

，求角的小.【答案）证明见解析）

2

或

4

．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得

sBcosB

，故

2sinBsinsinABcosAB

，全国名高数学复优专题汇（附详）于是

sinΒsin

．又

，

，故

A

，所以

B

或

，因此

（舍去）或A

，所以，

．（Ⅱ）由

2a得sinC

，故有

sinsinCBsinBcos

，因为

sinB

，所以

sinB

．又

，

，所以

2

B

．当

时A2

2

；当

B

π时，A．2综上，

2

或

4

．易起1三恒变π例1、已为角，若cos6

3π＝，cos56(2)已知sin＝5A.12πC.4

55

10，sin(α－β)－，α，β均为锐角，则角β等(10πB.3πD.6

)24答案(1)(2)C25π3解析(1)因为α为角cos(α＋)＝>0，65ππ4所以α＋为角，sin(＋)＝，665πππ4324则sin(2α＋)2sin(＋)cos(α＋)＝2××＝.3665525ππ又cos(2α－)sin(2＋)，63π24所以cos(2α－).625全国名高数学复优专题汇（附详）(2)因为α，β均锐角，ππ所以－<α－β<.22又sin(α－β＝－

1010

，310所以cos(α－β)＝.10又sin＝

55

25，所以cosα＝，5所以sinβ＝sin[－α－β)]＝sincos(α－β－αsin(－β)＝

531025102×－×(－)＝.5105102π所以β＝.4π727【变式探究】(1)已知sin－，cos2＝，sin等(41025

)A.

4B．－5

3C．－5

3D.531(2)－等于()cos10°sin170°A．4B．2C．－2D．－答案(1)D(2)Dπ72解析(1)由sin－，410ππ72得sincos－cosαsin＝，44107即sin－α＝，57又cos2α＝，所以cos－25

7α＝，257即cosα＋sinαα－α)＝，251因此cosα＋α＝②53由①②得＝，故选D.53131(2)－＝－cos10°sin170°cos10°sin10°eq\o\ac(△,S)ABCeq\o\ac(△,S)ABC全国名高数学复优专题汇（附详）＝＝

3sin10°－cos10°＝sin10°cos10°－2sin20°＝－，1sin20°2

－sin20°故选D.【师睛(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况求问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．【囊计战自】1．三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”．2．三角函数恒等变换“四大策”(1)常值代换：特别是“”的代1＝sinθ＋cos

θ＝tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin

α＋2cosα＝α＋cosα)＋α，α＝α－＋β等降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；弦、切互化：一般是切化弦．易起2正定、弦理π1例2、(1)(2016·课全国丙)△ABC中，B＝，边上的高等于，cos等()43A.

3101010310B.C．－D．－101010102(2)(2015·北京在△中＝3，b＝6，＝，则＝________.3π答案(1)C(2)4解析(1)设△ABC中，BC所对边分别为，，c，1112则由题意得＝·a＝acsin，∴c＝a.2323由余弦定理得＝＋－cosB＝

2225＋a－2××a×＝a9329

，10sin10sin全国名高数学复优专题汇（附详）∴＝

53

a.b＋－∴cos＝＝2故选C.

52a＋－9910＝－.522×·33bsin(2)由正弦定理得sin＝＝a

26sin32＝，32π因为A为钝角，所以B＝.4【变式探究】如图，在△ABC中，是BC上的点，AD分∠，△面积是△面积的2倍sin求；若AD1，DC

22

，求和AC的长．(2)因为∶＝∶，所以＝2.eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)ADC在△和ADC，由余弦定理知AB＝＋－·cosADBAC

＝

＋

－·cosADC故AB＋＝AD＋＋DC

＝，ππ＋π，＋π(ππ＋π，＋π(∈Z)3全国名高数学复优专题汇（附详）由1)知＝AC，所以AC1.【师睛关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是问题获得解决的突破口．【囊计战自】ac1正弦定理△ABC中，＝＝＝R(R为的外接圆半径变＝RsinAsin＝，sinsinBsina∶＝sin∶sin∶sin等2．余弦定理：在△ABC中，a

＝＋

－cos；＋c－变形：－＝bccosA，＝.2bc易起3解角与角数的合题例3(2015·山东设x＝cos－cos(1)求(x)单调区间；

.A(2)在锐角△ABC中，角ABC的对分别为，，.若f1＋cossin2解(1)由题意知)＝－22

＝，＝，eq\o\ac(△,求)面积的最大值．＝

sin21－sin2x1－＝sin2－222ππ由－＋π≤2≤＋kπ，∈，22ππ可得－＋π≤≤＋π，∈；44由

π3π＋kπ≤2≤＋kπ，∈，22π3π可得＋π≤≤＋，∈Z.44所以f(x的单调递增区间是π4单调递减区间是

＋π，＋π4

(∈．AA(2)由

全国名高数学复优专题汇（附详）11＝sin－＝0，得sin＝，22由题意知A为锐角，所以cos＝

32

.由余弦定理b＋－bc，可得1＋3bc＋

≥2，即≤2＋3，且当b＝时号成立．12＋3因此bcsin≤242＋3所以△面的最大值为.4【变式探究】已知函数(x＝x＋3sincos－sin

.(1)