平面般力系少学时

平面般力系少学时第1页/共79页认识平面力系1第2页/共79页§3-1平面任意力系向平面内一点简化一、 力线的平移

作用于刚体上A点的力

F

的作用线可等效地平移到任意一点O，但须附加一力偶，此附加力偶的矩等于原力对O点的矩。OdFF’F”dFF’F”FdMFAFF”F第3页/共79页逆过程：平面内的一个力和一个力偶总可以等效地被同平面内的一个力替换，但作用线平移一段距离OMF’FdMF’dF位置由M

的转向确定。第4页/共79页力线平移的讨论1第5页/共79页力线平移的讨论2图中单手攻丝时，由于力系(F’,MO)的作用，不仅加工精度低，而且丝锥易折断。第6页/共79页二、平面任意力系向平面内一点简化设物体上只作用三个力F1、F2

和F3，它们组成平面任意力系，在平面内任意取一O

点，分别将三力向此点简化。——

力系的主矢——

力系对简化中心的主矩O

点称为简化中心；R’=F1’+F2’+F3’;MO=M1+M2+M3;对于力的数目为

n

的平面任意力系，推广为：右击

三个按钮作用相同第7页/共79页简化结果：平面任意力系向一点简化，可得一个力和一个力偶，力的大小和方向等于主矢的大小和方向，力作用线通过简化中心；力偶的矩等于主矩。力系的主矢的解析表达式为：xyOijR’MOMO注意：主矢与简化中心无关，一般情况下主矩与简化中心有关。第8页/共79页AAAAA固定端支座简化图形AFAXAYAMAMAXAYAMAXAYAMAXAYAMA第9页/共79页§3-2平面力系的简化结果分析主矢不等于零，即 R’≠0主矩合成结果说明MO

=0合力R’此力为原力系的合力，合力的作用线通过简化中心。合力R大小等于

主矢MO

≠0此力为原力系的合力，合力的作用线距简化中心的距离第10页/共79页O合力矩定理平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。证： 由前表的第二种情况可知：合力对O点的矩为：

MO

(

R

)=Rd=MO∵主矩

MO

=∑MO

(F)∴MO

(R)=∑MO(F

)RdMOR’MOR’MOR’MOR’MOR’第11页/共79页水平梁AB受三角形分布载荷作用，载荷的最大载荷集度为q，梁长

l。求合力作用线的位置。xdxqx例3-1合力对A点的矩可由合力矩定理得：lABqx解：距A端为x的微段dx上作用力的大小为qx

dx三角形面积作用线过几何中心hP其中qx

=qx/l设合力P到A点的距离h合力的大小为xdxqxhPxdxqxhP第12页/共79页思考题水平梁AB受梯形分布载荷作用，载荷的最小载荷集度为q1，载荷的最大载荷集度为q2，梁长

l。求合力FR作用线的位置。lABq1q2FR见后续第13页/共79页思考题lABq1q2FR1FR2FR将梯形分布载荷分解为均布载荷和三角形分布载荷。均布载荷三角形分布载荷梯形载荷的合力由合力矩定理，有即已知q1，q2，

l。求FR作用线的位置h。解毕。第14页/共79页平面力系的简化结果分析（二）主矢等于零，即 R’=0主矩合成结果说明MO

≠

0合力偶此力偶为原力系的合力偶，由简化结果彼此等效知：此情况下，主矩与简化中心O无关。平衡MO

=0§3-3节将重点讨论。第15页/共79页即，主矢R’=0,这样可知主矩与简化中心D的位置无关，以B点为简化中心有：MD=MB

=M-F3×1=1Nm，主矩MD=1Nm一平面力系如图，已知，M=2(Nm)

，,求该力系向D点的简化结果。例3-2F2F3F1MABCD3m1m1m1m1m解：第16页/共79页§3-3平面力系的平衡条件平面任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和力系对任意点的主矩都等于零。即：R’=0,MO=0由：得平衡的解析条件：第17页/共79页自重不计的简支梁AB受力如图，M=Pa。试求A和B支座的约束反力。例3-3MPqxy4a2aNBXAYA解：受力分析，取坐标轴如图。XAXANBNBYAYA∑MA

(F

)=0,NB·4a

－M

－P·2a

－q·2a·a=0∑X=0,XA

=0∑Y=0,YA－q·2a

－P+NB

=0，ABEnd第18页/共79页∑X=0，

Fsin60°－3lq/2－XA=0XA=316.4

kN∑Y=0，Fcos60°－P+YA

=0

YA=-100kN∑MA(

F)=0，

MA

－3l

2

q/2－M+

3lFsin60°－Flsin30°=0

MA

=-789.2kNm

自重为P=100kN的T

字形刚架，l=1m，M=20kNm，F=400kN，q=20kN/m，试求固定端A的约束反力。ABDll3lqF60°MPYAXAPPXAXAYAYAMAMAMAMAMAMAMA例3-4解：AEnd第19页/共79页当我们更换第三个方程，结果同。∑Y=0,YA－q·2a

－P

－NB=0MPqxy4a2aNBXAYA解：受力分析，取坐标轴如图。XAXANBNBYAYA∑MA

(F

)=0,NB·4a－M－P·2a－q·2a·a=0∑X=0,XA=0AB∑Y=0,YA

－q·2a

－P

－NB=0YA

·4a－q·2a·3a

－

P·2a+M=0回忆例3-3∑MB=0,∑MB=0,∑MB=0,∑MB=0,第20页/共79页为什么会有二力矩形式的平衡方程呢？这是因为，如果力系对点A的主矩等于零，则系统有两种可能：（2）经过A点的一个力。如果力系对点B的主矩也同时等于零，则系统仍有两种可能：（2）经过A点，同时又通过B点的一个力。如果再加上∑X=0，那么力系如有合力则力垂直于x轴，当附加轴不允许垂直于连线AB时，系统必为平衡力系。（1）平衡。（1）平衡。ABx第21页/共79页平衡方程的三种形式基本二力矩三力矩

只要x

轴

不平行y轴只要AB联线不与x轴垂直只要A、B、C

三点不共线形式限制条件平衡方程∑X=0∑Y=0∑MO(F)=0∑X=0∑MA(F)=0∑MB(F)=0∑M

A

(F)=0∑M

B

(F)=0∑MC

(F)=0第22页/共79页§3-4平面平行力系的平衡方程

平行力系是平面任意力系的一种特殊情形。于是，独立的平衡方程数只有两个∑Y=0∑MO

(F

)=0或∑MA

(F)=0∑MB(F)=0A、B连线不与力平行。F1F2F3FN如选x

轴与各力垂直就有∑X≡0xyO第23页/共79页（1）保证起重机在满载和空载时都不至翻倒，求平衡载荷P3应为多少？塔式起重机如图，P1=700kN，P2=200kN，试问：例3-56m12m2m2mABP2P1P3NBNA（2）当P3=180kN时，求满载时轨道A、B

给轮的反力。第24页/共79页保证起重机在满载和空载时都不至翻倒，求平衡载荷P3应为多少？

P1=700kN，P2=200kN例3-5(续1)6m12m2m2mABP2P1P3NBNA解：满载而不翻倒时，临界情况下，NA

=0∑MB

=0,

P3min(6+2)+2P1－P2(12－2)=0

P3min=(10P2－2P1)/8=75kN当空载时，

P2=0，临界情况下，NB=0∑MA=0,P3max(6－2)－2P1=0

P3max=2P1/4=350kN得：75kN≤P3≤350kN第25页/共79页当P3=180kN时，求满载时轨道A、B

给轮的反力。例3-5(续2)6m12m2m2mABP2P1P3NBNAP1=700kN，P2=200kN解：∑MA=0,

P3(6－2)－2P1－P2(12+2)+4NB

=0NB=(14P2+2

P1

－4P3)/4=870kN∑Y=0,NA+NB

－P3－P1

－P2=0

NA

=210kN用∑MB=0可以进行校验。第26页/共79页§3-5物体系的平衡·静定和静不定问题工程结构大都是几个物体组成的系统。物系平衡时，组成该系统的每个物体皆平衡。在平面任意力系的作用下，每个物体可写出三个平衡方程，若物系由n

个物体组成，则可写出3n

个独立方程。（平行、汇交力系减少）当系统中的未知量个数等于独立方程数，这样的问题称为静定问题。为提高结构坚固性，常常增加多余约束，使未知量个数超过独立方程数，这样的问题称为静不定或超静定问题。第27页/共79页P静定和静不定问题对比（1）本问题为平面汇交力系，独立方程数为2个未知量的个数——（1）2个（2）3个P第28页/共79页静定和静不定问题对比（2）XAYAMAXAYAMA本问题为平面任意力系，独立方程数为3个未知量4个未知量3个未知量3个未知量4个XAYAN1N2NXAYAN第29页/共79页静定和静不定问题对比（3）

独立方程数6个

未知量

独立方程数3个

未知量XAYAXBYBXAYAXBYBXCYCYC’XC’ABCAB6个4个第30页/共79页静定物系平衡问题算例灵活选取研究对象，灵活选取平衡方程，一个方程求解一个未知量，可使问题的求解简便。组合静定梁一般可以先研究部分（简单优先），再研究整体结构；也可先研究一部分，再研究另一部分。注意集中载荷作用在铰接点的情况。当刚体（系统）没有完全被约束而在主动力作用下处于平衡，则主动力必须满足一定的关系或系统必须在适当的位置才能保持平衡。可利用多余的平衡方程来确定主动力必须满足的关系或平衡位置。至§3-6平面桁架第31页/共79页

无底圆柱形空桶放在光滑水平面上，内放两个重球，每个球重P、半径r，圆桶半径R

。不计摩擦和桶壁厚，求圆桶不至翻倒的最小重量G

min

。例3-6PPABGCD系统受力情况如图。考虑翻倒的临界情况，PPGNN第32页/共79页

无底圆柱形空桶放在光滑水平面上，内放两个重球，每个球重P、半径r，圆桶半径R

。不计摩擦和桶壁厚，求圆桶不至翻倒的最小重量G

min

。例3-6附属PPCD系统受力情况如图。G考虑翻倒的临界情况，GminGminGmin待续此时G=Gmin

。圆桶除了与光滑面的接触点外，都不受力。例3-6NAB第33页/共79页分别画出球及圆筒的受力图。GminCDACDBPPFCFDFABFAB’FC’FD’NFRABCDPPFCFDCDGGminGminGminABNFRPPNFC’FD’FC’FD’FCFDFABFAB’FCFDFABFAB’待续第34页/共79页GminCDFC’FD’FRab解1：分别以两个球和圆桶为研究对象，画受力图。设BE=a

，AE=b。以两球为对象，由EO例3-6续1FDABCDPPFCNR待续以桶为对象，由显然，b=2(R-r)

。所以即第35页/共79页例3-6续2解2：以两个球为研究对象，→N=2P

以整体为研究对象，∑Y=0，N－P－P=0∑MO(F)=0，

(N－P)(2R－

r)－GminR－Pr=0abEFDABCDPPFCNCDGminABNFRPPOREND所以即第36页/共79页静定组合梁如图，已知Q=10kN，P=20kN，p=5kN/m，q=6kN/m和2a=1m。梁自重不计，求A，B的支座反力。2a2a2a2aaa例3-7ABCDXAYAMApqQPNB画出系统的受力图。未知量有四个，必须拆分系统！见后续XAYAMANBXAYAMANB第37页/共79页例3-7(续1)可见，AC段有5个未知量，CD段有3个未知量，可先研究CD段。AC2a2aaPpYC’XC’XAYAMABDCqQ2a2aaXCYCYCXCNBXCYCYC’XC’YC’XC’分别画出AC段、CD段的受力图。见后续第38页/共79页解法一：1、以CD为对象例3-7(续2)=0

YC·

2a－Q

a+Q=10kN，q=6kN/m2a=1mBDCqQNB2a2aaYCXC见后续第39页/共79页例3-7(续3)2、再以AC为对象由（1）知,X

C’=X

C=0,YC’

=YC=4kN∑X=0，X

A=0∑Y=0，YA－P

－

p·2a

－YC’=0

Y

A

=

P+p·2a+YC’=29(kN)∑M

A

(F)=0，MA－P·a

－p·2a·3a－YC’·4a=0

MA

=10+7.5+8=25.5(kN·m)P=20kN，p=5kN/m，2a=1mAC2a2aaPXAYApYC’XC’MA见后续第40页/共79页例3-7(续4)可不必去求

XC、YC，而直接去研究整个系统。解法二：1、以CD为对象Q=10kN，q=6kN/m2a=1mBDCqQNB2a2aaYCXC由解得见后续第41页/共79页例3-7(续5)2、以系统为研究对象，画受力图。p2a2a2a2aaaABCDqQPXAYAMANB由解得END第42页/共79页三铰刚架如图，自重不计，求支座A、B和中间铰C的约束反力。例3-10pQaaaACB待续第43页/共79页[解]例3-10（续1）pQaaaACBXAYAXBYB待续以整体结构为研究对象，由第44页/共79页以AC为研究对象例3-10（续2）QaaACXAYAXcYcEnd再以整体结构为研究对象，由pQACBXAYAXBYB第45页/共79页例3-11平面构架由杆AB、DE及DB铰接而成。已知重物重P，AC=CB=DC=CE=2l；定滑轮半径为R，动滑轮半径为r，且R=2r=l，θ=45º。杆和轮的重量皆不计，试求：A、E支座的约束反力及BD杆所受的力。见后续PⅡⅠBCADKθERr第46页/共79页例3-11续

1PⅡⅠBCADKθERrFAFExFEy解：见后续(1)研究系统，受力如图。解得FAFExFEyFAFExFEyFAFExFEy已知P，AC=CB=DC=CE=2l；R=2r=l，θ=45º。杆和轮的重量皆不计，求A、E支座反力及BD杆所受的力。第47页/共79页例3-11续2PBFBxFByFKPⅡⅠBCADKθERr(2)研究两滑轮、销钉B和重物系统，受力如图。已求得(3)研究DE杆，受力如图。CDKEFK’FExFEyFDBFCyFCx得PFBxFByFKPFBxFByFKFK’FExFEyFDBFCyFCxFK’FExFEyFDBFCyFCx见后续已知P，AC=CB=DC=CE=2l；R=2r=l，θ=45º，杆和轮的重量皆不计。FBD第48页/共79页ⅡⅠBCADKθE已知P，AC=CB=DC=CE=2l；R=2r=l，θ=45º，杆和轮的重量皆不计，求A、E支座反力及BD杆所受的力。FKFBD例3-11续3(3’)求BD杆所受的力也可通过研究AB杆、两滑轮及重物系统来完成，受力如图。FAFCy’FCx’得已求得PⅡⅠBCADKθERrFAFCy’FCx’FAFCy’FCx’PPPFKFBDFKFBD解毕。总结第49页/共79页习题册4-7第50页/共79页习题册4-7

图示铁路起重机除平衡物W外的全部重量为500kN，重心在两铁轨的对称平面内，最大起重量为200kN。为保证起重机在空载和最大荷载时都不至于倾倒，求平衡物重W及其距离x。PWABx1.5m6mG第51页/共79页习题册4-7续1解：

本例实际上是求W和x

的设计范围。首先受力分析，PWABx1.5m6mGRARB空载时(并不一定是临界状态），∑MA

=0，Wx

－0.75G+1.5RB=0限制条件：RB

0即Wx-3750满载时(并不一定是临界状态），∑MB

=0，W(x+1.5)+0.75G

－1.5RA

－6P=0限制条件：RA

0即W

(x+1.5)-8250RARBRARBRARB第52页/共79页习题册4-7续2Wx-3750W

(x+1.5)-8250合并两式825-1.5WWx375PWABx1.5m6mGRARB由825-1.5W375得，W300kN再由Wx375得，x1.25m求得了W

和x

的设计范围，对满足设计许可的x

便可得W

大小的实际范围。如取x=1，可得：330W375同样对满足设计许可的W

也可求得

x大小的实际范围。第53页/共79页§3-6平面简单桁架的内力计算lǐn第54页/共79页桁架的连接方式第55页/共79页平面简单桁架的几点说明桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力后几何形状不变。所有的杆件都在同一平面内——

平面桁架。桁架中杆件的铰链接头——

节点。满足以下假设的桁架——

理想桁架。桁架的杆件都是直的；杆件用光滑铰链连接；桁架所受的力（载荷）都作用在节点上，而且在桁架的平面内；桁架杆件的重量略去不计，或分配在杆件两端的节点上。第56页/共79页无余杆桁架从桁架中任意除去一根杆件，结构就活动变形。第57页/共79页无余杆桁架附属1从桁架中任意除去一根杆件，结构就活动变形。无余杆桁架第58页/共79页无余杆桁架附属2从桁架中任意除去一根杆件，结构就活动变形。无余杆桁架第59页/共79页无余杆桁架附属3从桁架中任意除去一根杆件，结构就活动变形。无余杆桁架第60页/共79页无余杆桁架附属4从桁架中任意除去一根杆件，结构就活动变形。除去几根杆后结构不变形——有余杆桁架无余杆桁架第61页/共79页平面简单桁架容易证明平面简单桁架为静定桁架，而有余杆桁架为静不定桁架。由于所有的杆件都是二力杆，所有求解时总假定杆件受拉。平面桁架是以三角形刚架（基本三角形）为基础的，每增加1

个节点需增加2

根杆，这样的桁架称为平面简单桁架第62页/共79页计算桁架内力的方法（1）节点法桁架的每个节点都受一个平面汇交力系的作用。可以逐个取节点为研究对象，以已知力求出未知力。注意每个节点只允许两个未知力。手算时，通常先求支座反力，然后采用列表求解，表由4列、m行（m为节点数）组成。这4列分别是节点号、受力图、平衡方程和未知内力；每一行放着一条求解记录。 到方法

（2）第63页/共79页图示桁架，P=10kN，求各杆内力。例3-102m2mABCDP30°XBYBNA解：先求支座反力∑X=0, XB=0∑MB(F)=0,NA·4－P·2=0 NA=5kN∑Y=0, NA

－P+YB=0 YB=5kN给各杆编号如图XBYBNAXBYBNA①②③④⑤见后续第64页/共79页∑X=0,S4cos30°

－

S1’cos30°=0∑Y=0,S3+(S1’+S4)sin30°=0AS130°NAS2∑X=0,S2+S1sin30°=0∑Y=0,NA+S1sin30°=0S1=-10S2=8.66CS1’S3S4S4=-10S3=10D∑X=0,S5-S2’=0S3’S2’S5PS5=8.66节点编号受力图平衡方程

未知内力单位kN总结第65页/共79页计算桁架内力的方法（2）截面法如果并不是要求解出所有杆的内力，而只是想求解出桁架内若干根杆的内力，可以适当地选取一截面把桁架截开，通过平衡方程求解内力未知力。显然，作截面时每次最多截断三根内力未知杆。如果截断内力未知的杆的数目多于三根，则它们的内力还需通过联合其它截面列出的方程一起求解。全章结束第66页/共79页图示平面桁架，各杆件的长度均为1m，P1=10kN，P2=7kN，试计算杆1、杆2和杆3的内力。例3-12P1P2ABCDFEG①②③XAYANB∑X=0, XA=0∑MA(F

)=0,NB·3－P2·

2－P1·

1=0NB=8kN∑Y=0,YA

－P1

－P2+NB=0 YA=9kN截断杆1、2和3解：见后续XAYANBNBYAXA第67页/共79页∑ME

(F

)=0, S1·1·sin60°+YA·1=0

S

1=-10.4kN∑MD

(F

)=0, S

3·1·sin60°+P1·

0.5－YA·1.5

+XA

·1·sin60°=0

S

3=9.81kN∑Y=0,YA+S2·sin60°－P1=0

S

2=1.15kN例3-12续P1EACDXAYAS1S3S2受力分析如图总结S1S3S2S1S3S2第68页/共79页例3-13求图示桁架中杆1，2的内力。分析：①②ABPaaaaaa本题只要求部分杆件的内力，适合用截面法；作任何截面都将截断四根或四根以上的杆件！如何作截面？待续第69页/共79页例3-13求图示桁架中杆①，②的内力。问题：AB①②Paa③④mmCDS1S2S3S4PCDaaaa待续杆③的内力如何求？解：用m-m截面取上