2018第一学期工科物理量子

第16章量子物理基础图为第一届索尔威国际物理会议.在这次会议上，普朗克作了量子假说用于辐射理论的报告，他身后的黑板上写的就是普朗克公式.（图中左起坐者：能斯脱、布里渊、索尔威、洛伦兹、瓦伯、佩兰、维恩、居里夫人、彭加勒；站立者：哥茨米特、普朗克、鲁本斯、索末菲、林德曼、莫里斯德布罗意、克努曾、海申诺尔、霍斯特勒、赫森、金斯、卢瑟福、卡末林-昂内斯、爱因斯坦、朗之万）本章内容§16.1热辐射普朗克能量子假设§16.2光电效应爱因斯坦光子假说§16.3康普顿散射§16.4氢原子光谱玻尔的氢原子理论§16.5微观粒子的波粒二象性不确定关系§16.6波函数一维定态薛定谔方程§16.7氢原子的量子力学描述§16.8电子自旋四个量子数§16.9原子的电子壳层结构*

§16.10固体能带结构*

§16.11激光§16.5微观粒子的波粒二象性不确定关系

主要内容：1.物质波2.物质波的实验证明3.不确定关系▲X射线→电磁波→衍射现象→取得了成功▲X射线→光子→康普顿效应→取得了成功X射线是波还是粒子呢？爱因斯坦指出：光子理论::对于时间平均值即统计的平均现象,光表现为波动但对于瞬时值即涨落现象,光却表现为粒子光的波粒二象性电磁波由光子组成，光子是整体起作用光子能量E=hv=mc2

,光子动量p=mc=hv/c=h/

■⑴

X射线(回顾)1924年(法)德布罗意受爱因斯坦光子理论启发,进一步提出：“在光的理论上:研究光的波动性多,而忽视光的粒子性；在实物粒子理论上却：研究实物的粒子性多,而忽视了实物粒子的波动性。”实物粒子与光子一样,也具有波粒二象性,其能量E和动量p为：能量:或(波矢)E、p---粒子性物理量、----波动性物理量波粒二象性式中：(约化普朗克常数)(德布罗意的博士论文中)■(2)德布罗意物质波假设动量:考虑相对论效应,静止质量为m0的实物粒子以速度v运动时,其德布罗意波的波长和频率为：——德布罗意公式对非相对论粒子有：例题：求m=0.01kg,v=300m/s

的子弹的物质波波长。因为h极其微小宏观物体的波长小得实验难以测量“宏观物体只表现出粒子性”。

德布罗意波的波长一般很短,

因而在普通实验条件下难以观察到其波动性。※电子的德布罗意波长≈X射线的波长≈X射线的波长取U=102~104V■⑶电子衍射实验1924年德布罗意的博士论文答辨会上有人提问：德布罗意答:“通过电子在晶体上的衍射实验，应当有可能观察到这种假定的波动的效应”答辨委员会认为该论文有创新,送交爱因斯坦,爱某狂喜,并助之.物质波理论怎样验证呢？16.5.1物质波光波动性(,v)粒子性(m,p)实物粒子波动性(,v)粒子性(m,p)实物粒子具有波粒二象性.频率波长

德布罗意假设(1924年)：与实物粒子相联系的称为德布罗意波或物质波.戴维孙—革末电子散射实验(1927年)，观测到电子衍射现象.电子束X射线衍射图样（波长相同）电子双缝干涉图样16.5.2物质波的实验验证杨氏双缝干涉图样随后，同一年汤姆孙电子束衍射实验，观测到电子衍射现象.θ电子枪灯丝入射电子镍单晶靶1927年戴维孙实验→抽真空弧形轨道电子收集器散射电子实验基本思想：若电子具有波动性，因电子波的波长≈X射线的波长则满足布拉格公式2dcos(/2)=k与X射线一样会出现散射电子散射峰两种实验方案：②固定U,变化,检测电子散射峰.①固定,变化U,检测电子散射峰.使满足:2dcos(/2)=k→应出现第k级散射电子峰戴维孙采用---调节电子加速电压U(低压调节→慢电子束)晶面间距已知(111)面d=2.15Å散射角固定电子具有波动性变化电子波长实验结果确实如此说明了：1927年G.P.汤姆孙实验加速电压U～104V→高能电子(10～40keV)→穿透多晶金属箔→照片上产生电子衍射花纹X射线经铝箔的衍射图电子经铝箔的衍射图经计算有：X射线≈电子波X射线电子束由此说明了：电子具有波动性证实了：德布罗意物质波正确多晶金属箔照像底片戴维孙和G.P.汤姆孙一起共获1937年度的诺贝尔物理学奖。德布罗意获得了1929年度的诺贝尔物理学奖。

电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验(约恩逊1961)缝：长50m

宽0.3m

间距1.0m◆

经典的粒子与经典的波※经典的粒子:局域于一定空间V---但常视为质点,有m、q或显中性,遵从F=ma→初始r0、v0

→有确定的r(t)轨道。※经典的波:存在于广延空间----非局域的,具有时空周期性，有、,波叠加→干涉、衍射现象。P(x)=P1(x)+P2(x)同时打开相继单独打开效果一样。P(x)P1(x)P2(x)P(x)P1(x)P2(x)P(x)=P1(x)+P2(x)+同时打开，相继单独打开效果不一样。SS1S2波源S1S2S子弹抛射器(实物经典粒子)相干项单个电子仍落在干涉亮纹位置电子枪灯丝S1S2怎样深刻理解实物粒子波粒二象性呢？△怎么理解一个一个的微观粒子经过双孔后会出现干涉条纹呢？△单个电子通过双孔后仍落在干涉亮纹位置,那么谁和谁干涉？△微观粒子究竟是如何通过双孔的？分析如下：①相继打开单孔→无干涉条纹同时打开双孔→才有干涉条纹说明:一个粒子通过双孔时,必定双孔同时起作用.②无法测定单个微观粒子究竟是通过孔1还是孔2?光子探测→康普顿效应→改变电子动量→影响干涉条纹因此，不妨认为微观粒子运动无确切的轨道，单个微观粒子以概率大小通过孔l和孔2，通过孔1的概率为0.5的电子与通过孔2的概率为0.5的电子相遇形成干涉条纹。电子数N=7电子数N=100电子数N=3000电子数N=20000电子数N=70000出现概率小出现概率大电子双缝干涉图样(2)波动性：“可叠加性”，“干涉”，“衍射”，“偏振”；具有频率和波矢；不是经典的波，不代表实际物理量振动的传播。微观粒子的波粒二象性不是经典的波和粒子的简单组合。(1)粒子性：具有能量和动量不是经典的粒子；不服从牛顿力学规律，抛弃了“轨道”的概念！关于微观粒子总结如下：⑴微观粒子确实具有波动性和粒子性;⑵不能将微观粒子的波动性和粒子性相互归属;⑶微观粒子的运动没有轨道，只能用概率描述;⑷微观粒子和观察仪器之间存在不可预测性。“比喻”微观粒子的“二象性”。少女？老妇？两种图像不会同时出现在你的视觉中再看看？有多少张脸？

如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的

A）动量相同。B）能量相同。

C）速度相同。D）动能相同。√计算经过电势差U1

=150V

和U2=104V

加速的电子的德布罗意波长（不考虑相对论效应）.例

解

根据，加速后电子的速度为根据德布罗意关系p=h/

，电子的德布罗意波长为波长分别为

说明电子波波长光波波长<<电子显微镜分辨能力远大于光学显微镜α粒子在磁感应强度为B=0.025T的均匀磁场中沿半径为R=0.83cm的圆形轨道运动．

(1)试计算其德布罗意波长．

(2)若使质量m=0.1g的小球以与α粒子相同的速率运动．则其波长为多少？(α粒子的质量mα=6.64×10-27kg)解：(1)德布罗意公式：由题可知:粒子受磁场力作用作圆周运动

故又

则

对于质量为m的小球

(2)由可得α粒子在磁感应强度为B=0.025T的均匀磁场中沿半径为R=0.83cm的圆形轨道运动．

(1)试计算其德布罗意波长．

(2)若使质量m=0.1g的小球以与α粒子相同的速率运动．则其波长为多少？(α粒子的质量mα=6.64×10-27kg)假定普朗克常量h=6.62510-3J·s,而不是6.62510-34J·s,把质量为66.25g的一些小球通过两个高而窄彼此相距0.6m的平行窗口投入房间,速度v=5m·s-1,每次投掷时,投入哪个窗口是完全随机的,试确定在窗后12m处的墙上所形成的“条纹”的间距.解:根据双缝干涉结果:可见此时波粒二相性会表现在宏观尺度上。▲历史背景：海森伯在研究电子的具体轨道的数学表达式时，久无结果，陷入困境。最后他认为：电子轨道的提法本身有问题。因为要提出一个电子的确切位置，就必须相应给出一个能够测量“电子位置”的实验。否则，电子位置就是不确定的。宏观领域里：红外光、可见光、紫外光等皆可一个物体位置→光子测→不影响该物体动量测量物1物2显微镜最小分辨角：∴仪器分辨本领↑→↓微观领域里：一个电子位置→光子测→影响该电子动量测量以提高显微镜分辨本领.∴电子位置的不确定度(精确度)x

(测量用波长)但是,↓→光子动量越大→碰撞电子→电子动量变化p↑∴电子动量的不确定度(精确度)p

1/

结论：若位置测定得越准确(x↓→须用波长↓)，则动量测定就越不准确(∵↓→p↑).反之亦然.不可能同时测准微观粒子的位置x和动量p不能说微观粒子具有确定的轨道电子轨道的提法本身有问题因为电子极小，须用极小波长的光即

射线去测量,▲坐标和动量的不确定关系x↓

p↑∴xp≥某个数.根据上述分析有:反之亦然x↑

p↓x

p∝1/→0

→

量纲分析:普朗克常数h与xp一样物理分析:普朗克常数h属微观领域普适常数因此，很可能有：

xp≥ah

无量纲的系数x→0p

→

x→

p

→016.5.3不确定关系1.动量—坐标不确定关系x电子束微观粒子的位置坐标x

、

动量分量

px

不能同时具有确定的值.分别是

x，

px同时具有的不确定量，则其乘积（海森伯坐标和动量的不确定关系）1927年(德)海森伯由量子力学严格证明①不确定关系是由微观粒子的波粒二象性所决定的；②不确定关系是微观粒子本身的固有性质；③微观粒子不存在坐标和相应动量同时完全确定的状态。x入射电子束△x第一级暗纹：则减小缝宽△x,

x确定的越准确px的不确定度,即△px越大粒子的波动性

不确定关系

结论：（1）微观粒子没有确定的轨道；（2）微观粒子不可能静止.下面借助电子单缝衍射试验加以说明.子弹（m=0.10g,v=200m/s）穿过0.2cm

宽的狭缝.例解求沿缝宽方向子弹的速度不确定量.子弹速度的不确定量为若让原子的线度约为10-10m

，求原子中电子速度的不确定量.电子速度的不确定量为氢原子中电子速率约为106m/s.速率不确定量与速率本身的数量级基本相同，因此原子中电子的位置和速度不能同时完全确定，也没有确定的轨道.

原子中电子的位置不确定量10-10m，由不确定关系 例解

说明试比较电子和质量为10g的子弹位置的不确定量,假设它们在x方向都以速度200m/s运动,速度的不确定度在0.01%内.电子:子弹:例氦氖激光器所发红光波长

=6328Å，谱线宽度

=10-8Å

.求当这种光子沿x

方向传播时，它的

x坐标不确定度(波列长度).解▲估计微观系统的主要特征有了不确定关系,有时无需知道系统详情,就能估计系统的特征。为什么原子具有稳定性?解：∵不确定关系：∵估算→可去掉1/2∴微观粒子不可能静止(x=0,

px

=0)设氢原子中电子定域在半经为r的范围内运动∴再考虑势能,电子总能量为：不妨取反映电子脱离原子核反抗的能力反映原子核吸引电子的能力两种作用相互平衡→稳定→

Emin最小→∴电子稳定的离核最近距离这是玻尔半径.为什么原子核是由质子和中子组成?居里夫人发现放射性现象中的β射线是从核中放射出的高速电子.由此认为，原子核是由带正电的质子和带负电的电子组成，并且质子数大于核电子数。但是，根据不确定关系，核内不可能存在电子！∵原子核半径r<<10-14m若核内有电子，则由∴电子能量E=(c2p2+m02c4)1/2>cpcΔp3.0×10-12J20MeV但从原子放射出来的电子(β射线)，其能量仅1MeV.∴原子核不可能是由质子和电子组成!∴原子核只能是由质子和中子组成!!注:中子放射时衰变成质子和电子。2.

能量—时间不确定关系反映了原子能级宽度△E

和原子在该能级的平均寿命

△t

之间的关系。

基态辐射光谱线固有宽度激发态E基态寿命△t光辐射能级宽度平均寿命

Δt~10-8s平均寿命Δt

∞能级宽度ΔE0▲能量和时间的不确定关系能量和时间的不确定关系:Et≥hE

:

是微观粒子所处状态的能量不确定度;t:

是微观粒子所处状态的时间不确定度.证明如下：由相对论知---电子能量E=(c2p2+m02c4)1/2

对p求导有：(证毕)这表明：微观粒子处一定状态范围对应的能量不确定度为E

，则微观粒子具有一定寿命。§16.6波函数一维定态薛定谔方程

主要内容：1.波函数及其统计解释2.薛定谔方程3.定态波薛定谔方程4.一维无限深势阱中的粒子*5.一维有限势垒——隧道效应*6.一维谐振子1933年度诺贝尔物理学奖薛定谔■历史背景1924年德布罗意指出了微观粒子具有波动性1927年戴维孙实验证实了电子具有波动性1925年底在一次物理年会上(荷)德拜提出：即然电子具有波动性，就必然有波动方程，应该认真研究.1926年上半年(奥)薛定谔找到了这个波动方程但是，的物理意义是什么？连薛定谔本人也不清楚！1926年(德)玻恩给出了波函数的物理解释--波函数的统计诠释:描述粒子运动状态的波函数(x,y,z,t)，则表示粒子在时刻t,在x,y,z附近单位体积内出现的概率.

*=概率密度波函数代表微观粒子的概率波(概率幅)重要!!!16.6.1波函数及其统计解释微观粒子具有波动性用物质波波函数描述微观粒子状态1925年薛定谔例如自由粒子沿

x

轴正方向运动，由于其能量（E）、动量(p

)为常量，所以v、

不随时间变化，其物质波是单色平面波，因而用类比的方法可确定其波函数.类比亦可写成（实部）自由粒子的物质波波函数为分析：物理学本质上是实验科学.对于这些波在实验上可测且有价值的物理量是什么呢？机械波→波函数y(x,y,z,t)→波强I∝

yy*

电磁波→波函数E(x,y,z,t)→波强(光强)I∝EE*

德布罗意物质波→波函数(x,y,z,t)→

*?可测且有价值的物理量=?∵波粒二象性→微观粒子运动无确切的轨道无一实验能揭示出微观粒子何时在何处∴只能概率描述→同样可求出微观粒子系统的能量概率

物质波波函数的物理意义x电子束——t

时刻，粒子在空间

r

处的单位体积中出现的概率，又称为概率密度.

时刻

t,粒子在空间

r

处

dV体积内出现的概率.

归一化条件

(粒子在整个空间出现的概率为1).

波函数必须单值、有限、连续（标准条件）.概率密度在任一处都是唯一、有限的,并在整个空间内连续.由波函数可计算出微观粒子的平均物理量,如平均能量、平均动量和平均位置等把粒子的波动性和粒子性统一起来了单个粒子在哪一处出现是偶然事件；大量粒子的分布有确定的统计规律.电子数N=7电子数N=100电子数N=3000电子数N=20000电子数N=70000出现概率小出现概率大电子双缝干涉图样16.6.2薛定谔方程

(1926年)描述低速情况下，微观粒子在外力场中运动的微分方程.该方程是质量为m

,势能为V(r,t)的粒子的薛定谔方程.

说明薛定谔方程是量子力学的基本定律，它不可能由更基本的原理经过逻辑推理得到。下面通过对自由粒子物质波波函数微分得到相应的自由粒子应满足的薛定谔方程.从基本物理概念出发，创建薛定谔方程薛定谔方程应满足如下要求：①方程应含有波函数对时间的一阶导数以便反映出微观粒子运动状态随时间的变化.②方程应是线性的以便反映出波动性的普遍规律---波的叠加原理.③方程应与Ek=p2/(2m)相适应因为方程属非相对论的.④方程中的系数不应包含状态参量如能量E、动量p等因为若含有了这些参量，则方程只能描述具有该参量值的特定系统，从而失去了普遍性.薛定谔方程沿x

轴正方向运动的自由粒子沿方向自由运动的粒子，其中E是自由粒子的能量，即自由粒子满足的薛定谔方程

算符

如则:若则:算符:代表某种数学运算.算符运算：（1）相等（2）和与差（3）乘积例则:则:在量子力学中,每一个力学量都有对应的算符.能量算符动量算符（拉普拉斯算符）哈密顿算符用算符表示薛定谔方程，有粒子在稳定力场中运动，势能函数V(

r

)

、能量E不随时间变化，粒子处于定态，对应的定态波函数可写为16.6.3定态薛定谔方程代入薛定谔方程，有粒子的能量（定态波函数）定态薛定谔方程通过定态薛定谔方程求解粒子能量E和定态波函数

(r)

。

说明

定态时，概率密度在空间上的分布稳定一维定态薛定谔方程（粒子在一维空间运动)用量子力学求解微观粒子的波函数的思路：粒子在力场上的势能U(x,y,z)

利用波函数的标准条件：连续、单值、有限和归一化条件同时求出粒子的波函数和能量E求出粒子出现的概率分布等16.6.4一维无限深势阱中的粒子

0<x<a

区域，定态薛定谔方程为x0aV(x)势能函数令V(x)=00<x<aV(x)=∞0<x

或

x>a

0>x

或

x>a

区域波函数在x=0

处连续，有解为x0aV(x)所以在x=a

处连续，有因此所以粒子的能量量子数为n

的定态波函数为由归一化条件定态波函数可得波函数

能量量子化和定态波函数x0a概率分布

一维无限深势阱粒子的驻波特征波函数x0a已知粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为:那么粒子在x=5a/6处出现的概率密度为:√已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为：(0≤x≤a)求发现粒子的概率为最大的位置．粒子的位置概率密度：有最大值．在0≤x≤a范围内可得∴时，

当计算一维无限深势阱中，粒子处于第一激发态时几率极大值位置。解：第一激发态的波函数为几率密度：极大值：所以，极大值位置是：例设质量为m

的微观粒子处在宽为a

的一维无限深方势阱中,求粒子在0<x<a/4

区间中出现的概率,并对n=1

和n=

的情况算出概率值.(2)在哪些量子态上,a/4处的概率密度最大?解(1)概率密度粒子在0<x<a/4

区间中出现的概率:（2）a/4处的概率密度n=2,6,10,……等量子态。*16.6.5一维有限势垒——隧道效应势能函数0

axV0ⅠⅡⅢV(x)=0

x≥a

（Ⅲ区）

V(x)=0x≤

0（Ⅰ区）V(x)=U00≤

x≤

a

（Ⅱ区）

EV（Ⅰ区）（Ⅱ区）（Ⅲ区）波函数在x=0

，x=a

处连续(Ⅲ区)(Ⅰ区)(Ⅱ区)x=0

处：x=a

处：0

axV0ⅠⅡⅢE三个区域的波函数分别为B3=0Ⅲ区无反射波，所以求解以上4个方程，可得A1

、B1

、A2

、B2

和

A3

间关系，从而得到反射系数和透射系数V0

axV0ⅠⅡⅢEV

结论入射粒子一部分透射到III

区，另一部分被势垒反射回I

区E>V0,

R≠0,即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并非全部透射进入III

区,仍有一定概率被反射回I

区。E<V0

,

T≠0,虽然粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍可能穿过势垒进入III

区—

隧道效应透射系数T

随势垒宽度a、粒子质量m

和能量差V0-E

变化，随着势垒的加宽、加高透射系数减小.粒子类型粒子能量势垒高度势垒宽度透射系数电子1eV2eV1eV2eV质子1eV2eV5×10-10m0.0242×10-10m0.513×10-382×10-10m扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜原理图(ScanningTunnelingMicroscope)是观察固体表面原子情况的超高倍显微镜。电子在金属内运动，不能自由跑到空气中，空气势垒.当探针尖与表面原子间距a为0.1nm时隧道效应→隧道电流→电流大小反映表面原子排列。05-4月-23主讲教师：乐小云73

S

—

样品和针尖间的距离U

—

加在样品和针尖间的微小电压A

—

常数

—

平均势垒高度定量关系：图象处理系统扫描探针样品表面电子云隧道电流05090307010(nm)硅晶体表面的STM扫描图象神经细胞的ST