第三章 两体问题

第三章两体问题教学目的和基本要求：正确理解两体问题的物理意义，掌握将两体问题化为单粒子问题的方法；能够运用有效势分析并熟练掌握单粒子在中心势场中的运动规律，了解中心势场中粒子运动轨道的稳定性、弹性碰撞、散射截面等物理规律和概念。教学重点：在理解两体问题意义的基础上，熟练掌握单粒子在中心势场中的运动规律。教学难点：在中心势场中单粒子的运动规律的分析讨论。§3.1两体问题化为单粒子问题一：两体问题：定义：两个相互作用着的粒子所组成的力学体系的力学问题为两体问题，可分为三类。分类：两体问题可分为三类。（1） 束缚态问题：两体之间保持有限的距离。入电子绕原子核运动，行星绕太阳运动。（2） 散射或碰撞问题：两粒子从无穷远处逐渐接近，经过短暂的相互作用后各自改变运动状态后相互分离至无穷远处。（3） 俘获或衰变问题：作用前后粒子数从2变为1或从1变为2。二：两体问题的处理方法一般过程：两体问题中粒子的运动可分为随质心的运动和两粒子相对于质心的运动。每个粒子的绝对运动可看成是两种运动的合成。将两体问题分解为质心的运动和单粒子的运动：°L分解过程：首先约定用r（x,y,z）表示两粒子间相对位置矢量，用r（x,y,z）表示粒子0 0 0 0

在惯性系中位置，如图3.1所示。r,r,r代表两粒子在惯性系0102F 1F 1 二1 二T=—mr2+——mr22 101 2 202（1.1）, v=V（e）（r）+V（i）（r）0c（1.4）,v（e）（r）是两粒子处在外场中的势能，仅与r有关;0c 0cv（i）（r）是两粒子相互作用的势能，仅与r七" （1.3）有关。因两粒子的自由度为6，可取r、r为广义坐标，则有:0c（1.5）。- -m- --m-（1.5）。丁r0c+m^，'02=r0c-m+1mrTOC\o"1-5"\h\z1 2 1 2将两式代入动能T的表达式后再代入拉格朗日函数L=T-V，化简后可得：L=Jm+m舟-VW-）+…—V（/）=L+L （1.6）其中m=^^~，称为2 V（e）（—）注0,外场很弱（相比与内场），质心做惯性运动。0c V V（e）（—）注0,外场很弱（相比与内场），质心做惯性运动。0c V（i）（r）=V（i）（r），即中心势场。以后如果不特殊说明，则讨论的问题均指同时满足以上两条件的力学问题。4：相对运动一一单粒子的运动转化为两粒子相对于质心的运动将相对运动转变为单粒子的运动后，除可用—来描述两粒子之间的运动外，还可用两粒折合质量；L=—（m+m）r2—V（e）（r）， （1.7）L=—mr2—V（，）（r） （1.8）121 20C 0c 22rc2结论：从L=L+L可看出，两体问题中两粒子的运动可分解为反映质心运动的2L（r,r）及反映两粒子间相对运动的L（r,r）两个相互独立的部分。这样两体问题实际上0C0c 2分解为质心的运动和质量为mr的单粒子的运动，后者就间接反映了粒子间的相对运动。当\o"CurrentDocument"— ► — —m —►—► —► m—确定r、r后，可间单地由r01=r+ 2一r、r2=r 1—r确定每一个粒子的运动。12 123：主要问题在上述关于势能V（e）=V（e）（—）及V（i）=Va）（r）的假设中，后者一般情况下都成立，而0c前者未必。所以在求V=V（e）（—）+V（i）仃）时会很复杂。但我们所遇到的主要力学问题为：0c

子相对于质心的运动来描述。因质心的运动可由质心运动定理确定，所以这种描述更可行。TOC\o"1-5"\h\z取实验室系和质心系，用r=r—r表示粒子间的位矢，r,r表示在质心系中两粒子的位01 02 12一一一m 一一一一m r —―一一土大，则U有r=r一r= 2——r，r=r一r=一 1——r (1.12)，即r与r,r之1 010cm+m2 020c m+m 12间只差一个比例常数。并且可进一步证明相对运动的动能尸-Lmr2-^mr2+^mr2，即相mir mi/ mr21 211 222对运动的动能可看成是两粒子相对于质心运动动能的和。所以以后说到相对运动，不再区分是粒子间的相对运动还是两粒子相对于质心的运动。三：本节重点：掌握两体问题处理的一般方法和结论。§3.2在中心势场中单粒子运动的有效势能一：中心势场中的守恒量当粒子处在中心势场V(r)中时，由F=—W(r)=-(丝~3+~~kr+—-~r—re)ndrrr500rsin08。8TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"F=—W(r)=—dVe=F(r)e(2.1)，即力F的大小仅与r有关，方向沿r的方向(包括drr r同向和反向)。接下来可证明粒子的角动量L和能量E守恒。—r所以L守恒且粒(2.2)—r —r—r所以L守恒且粒(2.2)r、.一.一一 一dLr一一dL\o"CurrentDocument"1.角动量L守恒：由M=rxF=rexF(r)e=0及—=M可得—=0，r rdt dt子只在做平面曲线运动。选取平面极坐标系来描述粒子的运动，以r、0为广义坐标，则有:1 -拉格朗日函数L=T一V=—m(r2+r202)一V(r)拉 2(2.3)能量E守恒：因拉格朗日函数L拉中不含时间t,所以广义能量即能量E守恒’即(2.3)E=—m(r2+r202)+V(r)=C2又因拉格朗日函数L拉中不含时间。，所以与。对应的广义动量一角动量L((以下简写为TOC\o"1-5"\h\z、、，一一 dL1)守恒，即L=80拉=mr20=C (2.4)12 、\o"CurrentDocument"将(2.4)代入(2.3)可得：E=-mr2+ +V(r) (2.5)2mr2

二：粒子在中心势场中运动方程的解.r,Q的变化规律r(t),Q(t):联立(2.3)、(2.4)，联立(2.3)、(2.4)，以L、E为已知量消去9'可得:L2r=攵=±J—[E-V(r)] ，dt\m m—r—移项后两端积分可得t=±j(2.7)，算出积分后可得r=r(t)，即粒子运动时矢径的大小随时间的变化规律可确定。(2.8)，算出积分即可得9=9(t)。算出r=r(t)后代回(2.4)式可得9(2.8)，算出积分即可得9=9(t)。至此粒子的r(t),9(t)均可从理论上求出，所以粒子运动的规律可完全确定。粒子运动的轨道方程联立r(t),9(t)消去t后可得r=r(9)即轨道方程，也可由r=玄=J—[E-V(r)]-上_dtVm m—r—Ldr.及亟=L消去dt后可得：9=fd9=jr— , (2.9)dtmr— /:—m[E-V(r)]-土r—计算出积分后可得9=9(r)或f(9,r)=0即粒子运动的轨道方程。三：运动规律的定性讨论有效势能1.9的变化规律：由L=mr—9=cn9=—，由上式可见9与r—成反比，即r增加时9减mr—小；即r减小时9增加。L有效势能：V^(r)=—一-+V(r) (2.10)、 1 L— L— 1由E=—mr—+———+V(r)，令V^(r)=———+V(r)，可得E=—mr—+Vff(r)由E的表达式可以看出粒子在中心势场中的运动可等效成粒子在有效势场中的一维运动，类似于粒子在E=—mz—+mgz中的运动。—r的变化规律：求出r的极值点就可以初步确定r的变化规律。因r的极值点处r=0，所以由12E=1mr2+V"，令r=0nE=V"=^-―+V(r)，在E和V(r)已知的情况下，由上式可解出r的值。r的解可分为以下2中常见情况。r=r「r有一个极值点，粒子可在(0〜尸])或(尸]〜8)的范围内运动。r=r,r，r有两个极值点，粒子可在(r〜r)、(0〜r)或(r〜8)之间运动，具体12 12 1 2情况与V(r)的表达式有关。注：当粒子在([〜])的范围内运动时，粒子的轨道不一定是闭合轨道。只有满足下式L//—dr(2.12)时，粒子运动才可能形成闭合A9=2jrmaxr2 /(2.12)时，粒子运动才可能形成闭合*,"：2m[E-V(r)]-1/\ r2轨道。可证明当V(r)=-或V(r)=br2时所形成的轨道闭合。r四：例2、例3(从略)五：本节重点：掌握中心势场角动量L、能量E守恒和利用有效势能V(r)讨论粒子运动eJJ规律的方法。§3.3与距离成反比的中心势场n.与距离成反比的中心势场为V(r)=±n(n>0)，这种势场在理论上可获得严格的解析r解。又因这种势场是自然界最常见的势场，如万有引力势场、库仑势场等，因此我们专门来讨论这种势场。一… n一：吸引势V(r)=-—(n>0)的一般规律.r这种可获得严格的解析解，但可先用有效势能Vejj(r)定性讨论粒子运动的一般规律，最后再与解析解的结果相比较。有效势能V/r)曲线：由Vf(r)=£-： (3.2)可见该曲线应有以下规律：

(近日点、远日点)，则粒子r—8时V(r)—8；r—0时U(r)—0。(近日点、远日点)，则粒子令r—0时Vf(r)—0nr=r=匕，在？处Vfr)有极小值。令V(r)=0nr=r=-^—，在r处V(r)等于零。eff 02ma 0ef综合(1)(2)(3)可大致绘出的曲线如右图3.52.讨论：(1)当(Vf).<E<0，因E>Vf(r)的要求，所以E=C与J)曲线有两个交点。设两交点处r分别为丁2被限制在(r1Jr<r2)内运动。(2)当E>0时，E=C与Vfff(r)曲线只有一个交点，设交点处r为】，即近日点[仍存在，粒子在(r〜8)内运动。1二：轨道方程方程：将V(r)=--代入(2.9)式e=f归」『；积分后可得：r ■■■' L2/\；2m[E-V(r)]-—Lma

—e=Q5― l+常数，可适当地选取。的起点使常数等于零。m2a2..2mE+ \L接着引入p=至、e=.'1+2EL2ma2(3.4)则轨道方程可化简为r=——P一(3.5)ma 1+ecose讨论：(1)方程的几何意义。由解析几何的知识可判定，该方程代表了一组圆锥曲线，其焦点位于极坐标的原点，p为半通径，e为偏心率(如图3.7)。当。=0时，r=y，所以该圆锥曲线的极坐标的极角起始位置正好就是近日点的矢径位置。(2)曲线的分类：由解析几何可知，根据e的不同可将圆锥曲线分为三类(如图3.6)。Q当e<1即E<0时，曲线代表椭圆。Q当e=1即E=0时，曲线代表抛物线。Q当e>1即E>0时，曲线代表双曲线的一支。椭圆轨道：因椭圆轨道是最具有代表性，因此单独讨论它。（1）椭圆的几何参数a、b与动力学参数L、E的关系：椭圆的半长轴a、半短轴b（如图3.7）确定以后，椭圆的几何形状也就可确定下来。又因粒子做椭圆运动时与它的动力学参数L、E有密切关系，所以a、b与L、E之间也因有一定的关系存在，下面我们可推导出它们之间的关系。TOC\o"1-5"\h\z由卜="-C="广5=4 （3.6）_ 是。=ire 1-e将p=生、e=可订+2ESma2代入上式可得：a=— （3.7）ma ' 2E由b=M1-e2nb=.' （3.8）2mE讨论：由（3.7）可知，粒子的E只与a有关系，与椭圆的形状或者说与b、c无关。只要

粒子的椭圆运动轨迹的a一样，那么这些粒子的能量均一样，这一点在原子物理中有应用。（2）运动周期T与能量E的关系：TOC\o"1-5"\h\z由mr2^~=Ln\Tdt=J2"^^-d^nT=m2nab，其中用到j2兀LrzdO=椭圆面积=nab，dt 0 0L L o2将（3.8）代入上式消去b可得：T=m'm=2兀：ma3 （3.9）\2E3 \a讨论：上式说明周期T的平方和能量E绝对值的三次方成反比，或者说与半长轴的三次方成正比，这正是开普勒的第三定律的内容，也是牛顿发现万有引力的依据。三：粒子的运动方程：以上讨论的是轨道方程，较为简明。而粒子的运动方程则较复杂，只能用参数式表达。利用（3.4）、（3.6）两式可将（2.7）表示为：

rdrt=mardrt=maja :a2e2—(r—a)2ma3，令r—a=一aecos&可得t=j ar=a(1—ecos&)(3.10)(3.11)r=a(1—e)时t=0，则有、(3.10)(3.11)七以 y!a2e2—(r—a)2利用极坐标与直角坐标的转换关系x=rcos0,y=rsin0可得|x=a(cos&—e)y=a,1—e2sin&以上两式分别为椭圆轨迹在极坐标、直角坐标中的参数表达式，也就是粒子在与距离成反比的中心势场中做椭圆运动时的运动参数方程。双曲线的参数表达式可用类似的方法得到，此处从略。a四：排斥势V(r)=_(a>0)中粒子运动的一般规律。r- a 2a当V(r)=—(a>0)时，有V(r)=^一-+一,由上式(1)可见r—8时V(r)—0；r—0时V(r)—s。(2)由"七"=—土—七<0eff eff dr mr3r可知V(r)为r的单调减函数且V(r)>0。(3)由E=^mr2+V(r)nE>V(r)>0。eff eff 2 eff effa综合(1)(2)(3)可得：当粒子处在排斥势V(r)=-(a>0)中时，其能量E>0。E=Cr直线与Vfff(r)曲线只有一个交点，即只有一个近日点，无论粒子开始向哪个方向运动，它最终将飞向无穷远处，不可能成为束缚态。同理对于V(r)=a(a>0)，引入p、e后可得其轨道方程为r= ~P (3.16)r 1—ecos0由解析几何可知其为双曲线的一支。a五：本节重点：掌握吸引势V(r)=-a(a>0)中粒子的运动规律及(3.5)式，并可由E的r值来判定运动曲线的类型。了解排斥势V(r)=a(a>0)中粒子的运动规律。r§3.4中心势场中粒子运动轨道的稳定性我们在研究粒子在中心势场中的运动时，最希望能求出尸仃灯(〃或r(e)的表达式，但大多数情况下并不能求出，此时可利用来定性地分析粒子的运动规律。另外我们还关心一种轨迹的稳定性问题，下面将详细讨论。一：轨道的稳定性轨道稳定性与轨道闭合的关系：轨道的稳定性与闭合是两个不同的概念，二者之间没有必然的联系。简单地说，就是闭合的轨道不一定是稳定的。如§3.2中V一土，当牛。做圆周运动时，轨道虽然闭合却并不稳定。相反不闭合的轨道也可能是稳定的，如行星绕太阳、电子绕原子核运动，实际上都不是闭合轨道，但却非常稳定。稳定性定义：设在一定的初始条件下，粒子在中心势场 V(r)中运动的轨道方程为r=r(e)。若粒子受到一个扰动后偏离原来的运动轨道r而成为r，如果r能保持在r附0 0 0 0近做微振动，则我们说轨道是稳定的；反之，若r偏离r0越来越大，则轨道不稳定。二：轨道稳定性的条件：当粒子在中心势场V(r)中运动时，为了分析稳定性条件，我们先求出粒子轨道的微分方程一一比耐方程。TOC\o"1-5"\h\z1.比耐方程：u2(d"+u)=一竺,F(u)，u=— (4.1)dt2 L r首先令u=—，由mr^e=Ln。=^—=—u2 Qr mr2mdrdrdu dr1 Ldu O另由r=瓦=打'结合ku可得r=一m厨 Q由。两边对时间t求导可得：r=-L-u2d^ Qm2de2将QQ代入牛顿第二定律m(r•-re2)=F(r)消去章化简后可得比耐方程(4.1)式。2.稳定性条件：扰动方程:设粒子的初始运动轨道为u=uo（0；，受到某扰动后轨道变为"=uo+6，其中8为一小量。如果8随时间的推移逐渐变大，则轨道不稳定；如果8随时间的推移维持在一个小范围内振动，则轨道稳定。将u=uo+8代入比耐方程（4.1）式可得:（4.3）(U+2u8+82)(—o+———+u+8)=— F(u+8)（4.3）oo d02d02o' L2 0 '将F（uo+8）按泰勒级数展开后略去二阶以上无穷小量并考虑uo+2uo8牝uo,方程可化简为（4.5）票+A8=o， (4.4) 其中A=3+2du+m_dL（4.5）d02 ud02 uLduuo（4.4）式为关于8的二阶线形齐次方程，A取不同值时方程有不同类型的解，由这些解可判定轨道是否稳定。（2）稳定性条件：Q当A=0时，方程解为8=C^+C0，代入初始条件0=o时8=o，可得C=o，方程解变为8=C0，8为0（或时间t）的增函数，所以轨道也不稳定。2Q当A<0时，方程解为8=Ce80+Ce-8o0，代入初始条件0=o时8=o，可得C=-C=C，1 2 1 2方程解变为8=2Csh80，8为0（或时间t）的增函数，所以轨道也不稳定。0Q当A>0时，方程解为8=Ccos（①0+©），代入初始条件0=o时8=o，可得©=兀/2，方程解变为8=Ccos（①0），8为0（或时间t）的周期函数，所以轨道稳定。综上所述，当粒子处在某势场中时，只有满足A>0的条件时，粒子的运动轨道才稳定。3.V（r）的稳定性分析.首先将祟=-岛F(uo)-u°代入A，则稳定性条件变为：0TOC\o"1-5"\h\zA=1—2^r3F(r)——r4dF>o (4.6)L L2 drdV 2mdVmd2V或由F=— 将上式化间为A=1+——r3 +r4 >o (4.7)dr L2 drL dr2（1） 当V=±—时，将四= ,d'=±女代入（4.7）式可得A=1>0,轨道稳定。TOC\o"1-5"\h\zr dr r2 dr2 r3（2） 当V=-—时，求出dV，d-V后代入（4.7）式可得A=1-3二。r3 dr dr2 r由A=1-3二>1可推断只有当r>r时才有A>0。（3） 当V=kr2时，求出四■，空^后代入（4.7）式可得A=1+'m*r4>0,轨道稳定。drdr2 L圆周轨道的稳定性分析.当运动轨道为圆周时，稳定性条件可直接由也£=0、d2Veff（r）>0即有效势能在dr dr2Lr=二处是极小值来推断轨道的稳定性。将V"）=去+V（r）代入上两式，化简后可得圆周轨道的稳定性条件为：3竺堕）+,空也2>0（4.8）或-3F-匹>0 （4.9）dr dr2 dr三.本节重点：正确理解稳定性的概念，掌握比耐方程，能够判定在几种常见势场中粒子运动的轨道是否稳定。§3.5弹性碰撞一：弹性碰撞的定义和主要问题定义及特点定义：如果两粒子在碰撞前后的内部状态不发生改变，那么这种碰撞为弹性碰撞，或称为弹性散射。由于碰撞过程的时间短且内力的作用远大于外场的作用，所以动量守恒。另外由于粒子内部状态未发生改变，所以内能不变，机械能守恒。考虑到碰撞前后粒子间的作用势能不变，所以动能守恒，这样就可以得到弹性碰撞的另一种定义：动能、动量同时守恒的碰撞为弹性碰撞。特点：动能、动量同时守恒。主要力学问题：（1）不考虑碰撞的细节，根据守恒定律的要求，求出碰撞前后粒子运动所满足的条件，此为碰撞的运动学问题。

（2）已知相互作用，由碰撞前粒子状态推断碰撞后粒子的状态；或者已知粒子碰撞后状态，反推出粒子碰撞前的状态；还有根据碰撞前后粒子运动状态来推断两粒子间相互作用的具体形式V（r），此为碰撞的动力学问题，或称为散射问题。二：碰撞问题的理论计算：这个问题可分为在质心系和惯性系两种情况讨论。（1）理论推导：设—（1）理论推导：设—,—和V盘'分别表示质心系中两粒子碰撞前后的速度，2 1 2后粒子间的相对速度。V，同理可得V（5.1）V= m2 V—、1 m1+m2m1 后粒子间的相对速度。V，同理可得V（5.1）V= m2 V—、1 m1+m2m1 Vm1+m2(5.2)由动量守恒和以上表达式可得:mv=mv'+mV'=022 11 22（5.5）一_LZxU1-^.L——TAt=t 1 —— 1 —— 1 ——f 1 —由动能守怛可得：一mV2+—mV2=一mV+—mV勺211 222 211 222（5.6）联立以上两式可得：V=VV,V=VV1 1 2 2（5.8）式可得：v=v'（2）结论：A：且—应方向相反，所以V=V+V；同理可得寸=V2 1 2+V。结合（5.8）1 2在质心系中，两粒子的弹性碰撞只改变各粒子的运动方向，不改变各粒子速度的大小，并且因碰撞不改变相对速度的大小。因此以后统一用v表示相对速度的大小。B：如果用e代表碰撞后粒子1的速度方向即V：的方向，—=Ve，_,m—V= 2—Ve1m+mm— 1——Vem+m（5.9）V=V=V+V结合(5.9)02 0c 2（5.10）惯性系:（1）理论推导：以V0表示粒子在惯性系中的速度，由V01TOC\o"1-5"\h\z—— ——mv+mvm——m—v=―^-91 ^-02+ 2——ve=v+ 2——ve01m+mm+m0cm+mmV+mvm——m—v=—^-04 ^-02一 1——ve=v+ 2——ve02m+mm+m0cm+m12 12 12

(2)结论：(5.10)式即为粒子在惯性系中的碰撞后速度7、7与v、v及馆的关系，01 02 01 02在该式中的e需根据粒子间相互作用V(r)的具体形式来计算确定。如果已知k(r)的具体形式，那么可由碰撞前的速度求出碰撞后的速度，反之也成立。三.图示法：我们可借助于图形来形象地求出上述结果，同样也分为在质心系和惯性系两种情况讨论。碰撞的动量描述法：在讨论之前，我们先把对粒子状态的速度描述法换成动量描述法。首先由e1”件2首先由e1”件2vnmv=mvm.+m11r同理可得mv=-me，em,ve=mveeemv=-mve。e

mv+mvv=e

mv+mvv=—W1 ^-02-01m+memve1+m2vev=―W4 ^-0202m+m12me 2——vem+m1m2e 1——vem+m12eemv+mv

=m—w1 ^-021m+mmve1+m2vemv=m—w1 ^-02-mve202 2m+m r12—，mv101e+mver(5.13)ee emv=ee emv=mv+mve01 10cree emv=mv一mve02 20c r—e —eImv=mv+mvn4 101 10c rImv=mv一mv"202 20c r酩9(a)即粒子碰撞后的动量等于随质心运动的动量和相对于质心运动的动量之和，或者可理解为粒子碰撞后的动量等于随质心运动的牵连动量和相对于质心运动的相对动量之和。即有:ee—mv+mvemv=m—^-01 ^-02+mve01 1m+m re mve1+m2ve emv=m—^01 ^-02-mve02 2m+mr显然这个结论也适合于粒子碰撞前动量的表示，即eeemv+mvemv=m—^04 ^-02+mvTOC\o"1-5"\h\z101 1 m+m rem2v02=m:m1C+mem2v02=m2 m1+m2 r2.质心系：以O为圆心，以mv为半径做圆，取AO=mv=mv，r 11r则BO=mv=一mv(见图3.9a)。在圆上取一点C使OC与v—、e22r 1的同向，那么oc,ob的夹角e就代表e和e的夹角，则1 1eeeeOC=mv=mve，OD=mv=-mve。由石图可看出，动量寸怛11r 22 r(5.5)式在图中表示为aO+BO=oC+OD=0。当aO,bo确定

以后，C点的位置由。决定，而。最终由粒子间相互作用的具体形式决定。惯性系：（1）图示的一般结果：取圆的半径为mv，AB=mV+mV图3.Mb)TOC\o"1-5"\h\zr 101 202图3.Mb)为惯性系中两粒子的总动量P，AO=—%——AB=mv，为sm+m 10cmi对以V0C运动所具有的动量或称为m1的牵连动量，同理有OB=—m一AB=mV，为m对以v运动所具有的动量献m+m 20c2 0C或称为m的牵连动量。另取OC=mv'=mve，为碰撞后m在2质心系中的动量或称为m的相对动量，同理-OC=mvr=-mve，为碰撞后m在质心系22 2 2中的动量或称为m的相对动量。2（2）碰撞后粒子的绝对动量碰撞后m1在惯性系中的动量或称为m1的绝对动量可表示为:VVVmv+mvVVVmv=AC=AO+OC=mn ^-02+mve=mv+mve。同理碰撞后m的绝对动量101 1m+m r 10c rVVmv+mv V V V可表示为：mv^=CB=OB一OC=m—1—01 ^-02一mve=mv一可表示为：mv^2m+mr20cr以上两式正是（5.13以上两式正是（5.13）的结果，也就是（5.13）的图示表示法。同理可在圆周上找到另一点m1的相对动量，（3）碰撞前粒子的绝对动量同理可在圆周上找到另一点m1的相对动量，TOC\o"1-5"\h\zC，用OC=mV=mV代表碰撞前

0 0 11-OC=mv=-mV代表碰撞前m2的相对动量。因此可得:VV- mv+mv- -mv=AC=AO+OC=mn ^-02+mv=mv+mv，代表碰撞前m的绝对动量;101 0 0 1m+m r1 10c r 1VVV mv+mvVVVmv=CB=OB-OC=mn ^-02-mv=mv-mv，代表碰撞前m的绝对动量。202 0 0 2m+m r 20c r 2（4）碰撞前后粒子叫的在质心系中的偏转角

在(图3.9b)中代表v和讨夹角的。为OC,OC的夹角，即Q=ZCOC。1 1 0 0惯性系中的主要问题：从以上分析可看出，给出两粒子的初始速度后，要确定粒子碰撞后的状态。是一个关键的物理量，而一般情况下。很难求出。但当V02=0时此时可简单地求出。和m「m2在惯性系中地偏转角。「气，这也是碰撞的主要问题。(1)C与B重合：当V=0即m静止时，AB=mv=AC，所以C与B重合，B点在0 02 2 101 0 0圆周上，或由v=v-v=v，OB=m2AB=mV=mV也可得上述结论。01 02 01 m+m r01r'1'‘2SI10(a)'1'‘2SI10(a)S3,10(b)(2)A点位置。由AO=mv=———1——AB=———1—v，OB=mV可得=―^，可见当10cm+mm+m rOBmm.〉mA点在圆外；m.<mA点在圆内。QRRQ仆主V却二，佥备而vvvvmv+m-0 mnrivv一方二(3)v:因v代表v和v夹角而v=v—v=v—^-at2—= 2—v，即v,v,AB—三11 1010C01m,+m m,+m01 101者同向看出，所以ZBOC=V。。，0与V的关系：在惯性系中，我们比较关心m,m在碰撞后与v的夹角，也就是1 2 1 2 01m1,m2的偏转角。由图3.10可知01,02分别为AC,CB与AB的夹角。结合图3.11可知:AB=m2 AB=m2 m2m+m01m+m1 2 1 2(5.14)tg&1=ao_OD'代入CD=OCsin。=mrvsin。，AO=OD=OCcos。=mvcos。，可得tg0=—”1如。r 1m+mcosV

(5.15)(5.16)因OC=OB，所以0=1（兀—(5.15)(5.16)接下来利用余弦定理还可将/,/求出，得:01 02, (m2+m2+2mmcos0 , 2m .001 m+m 01 02m+m201（5）特例:Q当碰撞后如果两粒子在同一直线上运动，此时C与AB在同一直线上，即。=n。当m1<m2时，AC,CB反向；当m1>m2时，AC,CB同向。将0=n代入（5.16）式可得：v'="m2v,v'=刊v。因sin-<1，因此这时m得01m+m0102m+m01 2 2到的v02为最大值，同样m2这时得到的动能E；也为最大值，所以这种碰撞可使m2获得最大的能量。另外，当m1<m2时，0<0]<n;而当m1>m2时，01有最大值，它的最大位置为AC与圆周相切的位置，sin0 =约。1Maxm1Q0 1八. 0.0.一如果m=m^可得0=—,0=—（兀一0）,v=vcos—,v=sinv。由于AC±CB，1 2， 1222 01 01 2 02 201因此两粒子碰撞后速度的方向相互垂直。特别是当0=兀时，v'=0,v'=v，两粒子交换01 02 01速度。四：本节重点：重点掌握（5.9）、（5.10）式，了解图示法的原理和结论。§3.6散射截面一：粒子在中心势场中的偏转角上一节已经指出，为了求出粒子m1,m2的偏转角01,0/必须求出m1在质心系中的偏转角。。而要求出。必须给出一定的初始条件如能量E、角动量L和相互作用的势能V（r）。根据这些条件就可借助于单粒子在中心势场中的轨迹方程或mr在中心势场中的轨道方程

求出。。图3.131.。与60的关系：如图3.13，设粒子2固定于O点，粒子1由无穷远处飞向粒子2,偏转。后飞向无穷远处。设OA=rmin，^0为rmin图3.13由