待定系数法课件人教必修

名师课堂·一点通第二章函数N0.1课堂强化

2.2.3待定系数法课前预习·巧设计创新演练·大冲关N0.2课下检测读教材·填要点小问题·大思维考点一考点二考点三2.2一次函数和二次函数[读教材·填要点]1．待定系数法的概念在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为

，其中系数待定，然后再根据

求出这些系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫待定系数法．一般形式题设条件2．二次函数解析式的几种表达式(1)一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，这是二次函数的标准形式；(2)顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶点；(3)双根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根，即抛物线与x轴两交点的横坐标．不管是选用顶点式，还是双根式求二次函数解析式，最后的结果通常化为一般式．[小问题·大思维][悟一法][悟一法]用待定系数法解题的基本步骤：(1)设出含有待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出含待定系数的方程式或方程组；(3)解方程式或方程组求出待定系数，从而使问题得到解决．[通一类]1．(1)f(x)为一次函数，3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，试求出f(x)的解析式．(2)已知二次函数y＝f(x)的图象过A(0，－5)、B(5,0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的解析式．[悟一法][例2]

如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．所以左侧射线对应的函数解析式为y＝－x＋2(x≤1)，同理可求x≥3时，函数的解析式为y＝x－2(x≥3)，当1≤x≤3时，抛物线对应的函数为二次函数．法一：设其方程为y＝a(x－2)2＋2(1<x<3，a<0)，由点(1,1)在抛物线上可知a＋2＝1，所以a＝－1，所以抛物线对应的函数解析式为：y＝－x2＋4x－2(1<x<3)．[悟一法]由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后就在不同区间上的每一类函数，利用待定系数法求出相应解析式．2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，求该函数的解析式，并求出该函数的值域．解：设二次函数解析式为y＝a(x－1)2－1，(a>0)．又函数过点(0,0)，故a＝1，所以所求函数的解析式为y＝(x－1)2－1(0≤x<3)．由图可知该函数的取值满足－1＝f(1)≤f(x)<f(3)＝3，即该函数的值域为[－1,3).[例3]有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9m，AB＝10m，BC＝2.4m．现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4m，宽为2m的装有集装箱的汽车要通过此隧道．如果不考虑其它因素，那么汽车的右侧离开隧道右壁多少米才不至于碰到隧道的顶部(抛物线部分为隧道顶部，AO，BC为壁)?[精解详析]由已知条件分析，以OC所在直线为x轴，以AO所在直线为y轴建立直角坐标系(如图所示)，得知抛物线的顶点坐标为(5,2.5)，C点的坐标为(10,0)，所以设抛物线的解析式为y＝a(x－5)2＋2.5，把(10,0)代入解析式，即(x－5)2＝9，解得x1＝8，x2＝2.显然，x2＝2不符合题意，舍去．所以x＝8，则OC－x＝10－8＝2m.故汽车应离开隧道右壁至少2m才不至于碰到隧道的顶部．[悟一法]待定系数法不仅在求函数解析式时有广泛地应用，在其它方面也有相当多的应用，如运用待定系数法解决实际问题．注意在解题过程中，要善于把已知问题中的语言转化为数学语言．[通一类]3．如图所示，有一座抛物线拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为1