等比数列前n项和教案

教育实习教案学院数学与计算机科学学院专业数学与应用数学实习生林彩虹学号本校指导教师柯跃海 实习学校指导教师陈丹原任课教师陈丹2014年」Q月一日(星期)第一节课(本人本次实习第1个教案)课题：§2.5等比数列的前几项和 |课时安排：第一课时(共两课时)课标要求：(1)探索并掌握等比数列的前几项和公式.知识与技能：(1)引导学生探究进而导出等比数列的前n项和公式；(2)引领学生合理而又准确地运用等比数列的前n项和公式求解一些简单的相关问题,过程与方法：(1)在等比数列前n项和公式的导出过程中，引领学生体会“类比”、“转化”、“分三维类与整合”以及“特殊与一般”等数学思维方式和思想方法.目标情感、态度与价值观：(1)引导学生在等比数列前n项和公式的导出过程中，体验知识的“横”“纵”关联,进而形成认识世界、认识事物所必须的科学世界观；(2)引导学生在公式的应用过程中，体验“观察”、“比较”、“抽象”、“概括”等逻辑方式的价值，进而产生学习数学、运用数学所必须的积极情感和态度，正确地认识数学知识与数学学习的价值所在.教学重点：(1)理解等比数列前n项和公式的导出；(2)掌握等比数列前n项和公式的初步应用.教学难点:等比数列前n项和公式的导出.教学辅助手段:多媒体辅助教学工具教学过程：一、温故知新首先回忆一下前两节课所学主要内容：.等比数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(qW0)，即：aa a a—=t=—= =-n-=q,(q丰0)aa a a.等比数列的通项公式：a=a.•qn-1,(a1•q丰0)，a-a-qm-n,(a1•q丰0).性质：若m+n=p+q,a-a=a-a处理方式：个别提问，教师完善并板演.二、引入新课国际象棋起源于古代印度。相传国王要奖赏国际象棋的发明者。问他想要什么。发明者说：“请在棋牌的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒。依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。请给我足够的麦粒以实现上述要求。”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了。那么这位发明者到底需要多少颗麦粒那么，同学们，你们知道发明者要的是多少粒小麦吗处理方式：教师朗读题干的同时，强调需要注意的要点，将情景抽象化帮助学生理解，引导学生写出麦粒总数1+2+22+23+…+263.并板书要求解的等式(1+2+22+…+263=?).师生互动，探究问题1，2,22,23,…,263是什么数列呢有什么特征求1+2+22+23+…+263应归结问什么数学问题呢探讨1：设S=1+2+22+23+…+263,记为(1)式，注意观察每一项的特征，有何联系64(引导学生发现后一项都是前一项的2倍)探讨2：如果我们把每一项都乘以 2,就变成了后一项，(1)式两边同乘以2,则有2S64=2+22+23+…+263+264，记为(2)式.比较(1)(2)式，你有什么发现留出时间给学生做充分的比较，经过比较、研究，引导学生发现把两式相减，相同的项就消去了，得到(1—2)S=1—264.64教师指出，这就是“错位相减法”，并要求学生纵观全过程，反思：为什么(I)式两边要乘以2呢三、问题解决思考1：对于一般的等比数列，我们可不可以像等差数列一样求出等比数列的前n项和设等比数列｛〃/，首项4,公比q，如何求前n项和Sn类比特殊的1+2+22+23+…+263的求解过程。这里让学生自主完成，对个别学生进行指导，最后教师规范证明过程：a=aqn-i；n1如果记Sn=a+a+a+…+a,根据等比数列的通项公式，得S=a+aq+aq2+…+aqn-1TOC\o"1-5"\h\z那么qS=aq+aq2+…+aqn-1+aqn.n1 1 1 1两式相减就可以得到：(1-q)S=a(1-qn)n1\o"CurrentDocument"a(1-qn) _,, ,思考2：由(1-q)S=a(1-qn)直接得S=t 对不对这里q能不能取1等比数列中n1 n1—q的公比能不能为1如果q=1，该数列变成什么数列a(1-qn) r如果q中1，则有S=+ .如果q=1，那么S=a+a+…+a=na.n1—q n1 1 1 1'na,q=1

1即S=]a(1-qn)nI"1思考3：根据等比数列的通项公式an=a1qn-1(q丰0),在q丰1的情况下，其前n项和公式又可

改写为S=al~anq，所以整理等比数列的前n项和公式得n1-q二1S=ja(1-qn)7a-aq 4n1：q或九一二,q丰111-q 1-q处理方式：通过通项公式的导入，形成等比数列的前n项和公式的另一种形式.对比公比q。1的情形的等比数列前n项和公式，我们会发现两个公式分别适用于不同的已知条件下，如ca(1-qn)S=t 适用于a，q，n已知的情况下；n 1-q 1S=a1-aq适用于a，a，q已知的情况下.以后求等比数列的前n项和就用公式法来求.n 1—q 1n教师引导学生对比等差数列的前n项和公式，并结合等比数列的通项公式，从方程角度认识等比数列的前n项和公式，以便正确灵活地运用它.在等比数列的通项公式及前n和公式中共有。£,n,q,S”五个量，只要知道其中任意三个量，都可以通过建立方程(组)等手段，求出其余两个量.问题1【课本例题1】求下列等比数列前8项和:（2）a=27,a9TOC\o"1-5"\h\z1 1解：（1）因为a=-,q=-,所以当n=8时,12 21 1255256255256；S:2——n11——21（2）由4=27,a9=^^^,可得

又由q<0,可得1q=―3于是当n=8时,又由q<0,可得1q=―3于是当n=8时,27[1—(―|)8]S= 138 1-(-331640

~sF需要注意的是，公比q可以是正数也可以是负数.问题2等比数列｛〃｝的公比为q=2，首项则Sn等于（)■n2+nn2—nC.2n+1—2D.2n—1%=2，根据等比数列前n项和公式,2(1—2n)1—2=2n+1—2■故选C.问题3在等比数列｛an｝中，a1=3,q=2,n=6，求其前n项和Sn.解：由于q=3,q=2，所以当n=6时,注二189.处理方式：简单板书题干，带着学生分析已知条件解决问题.TOC\o"1-5"\h\z1 1问题4在等比数列｛a｝中，a=-2.7,q=--,a=，求其前n项和S.n1 3n90 n「 ， v 1 1 一解：由a1=-2.7,q=-3,丫90，可得

-2.7-—xS= 90Tn 1-(」39145教师引导学生对比等差数列的前n9145比数列的前n项和公式，以便正确灵活地运用它.在等比数列的通项公式及前 n和公式中共有a,a,n,q,S五个量，只要知道其中任意三个量，都可以通过建立方程(组)等手段，求出其余两个量;解：已知S,q及a，于是选择采用公式S=一，求得

1-q问题5在等比数列｛an｝中，已知Sn=189,解：已知S,q及a，于是选择采用公式S=一，求得

1-qa=(1-q)S+aq再根据等比数列的通项公式丫a1qn-1,求得n=6■问题6问题6已知等比数列｛an｝中，a1=2,S=6，求a和q■法一：错解：由等比数列的前n项和公式，得(1-q3)2(1-q3)故a=aq2=2x(-2)2=8■3 1错因分析：在上面的求解过程中，没有讨论公比q是否为1,就直接使用了等比数列的前n项a(1-qn) ..和公式Sn=个，从而有可能出现漏解情况.解：当公比q=1解：当公比q=1时,符合上述条件，且a3=2；当公比q丰1时,由等比数列的前n项和公式，得a(1-q3)2(1-q3)$解得q=-2.故a=aq2-2x(-2)2=8.3 1法二：S=a+a+a-a+aq+aq2=2+2q+2q2-6,3 12 3 11 1则q2+q-2=0,则(q+2)(q-1)=0，得q=-2或q=1(备选题)问题7求数列1,3a,5a2,7a3…(2n-1)an-1,的前n项和。(a中0)解：当a-1，s=1+3+5+7+…+2n-1=n2n当a牛1，s=1+3a+5a2+...+(2n-1)an-1as-a+3a2+5a3+...+(2n一3)an-1+(2n一1)an(1一a)s=1+2a+2a2+2a3+...+2an-1一(2n一1)an=1+2(a+a2+...+an-1)-(2n-1)an=1+2a-a•a-1-(2n-1)an

1-a。_1-(2n-1)an aa-an..S—— 十2n1-a (1-a)2处理方式：引导学生分类讨论，提示学生通过错位相减法求解，若时间充裕则讲解完成，若时间不充裕则提示完后留给课后作业，第二课时讲解。四、课堂小结'na,q=1(1)回顾等比数列的前n项和公式S=\a(1-qn)_