浅谈数学教学中的发散思维与集中思维

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前言

古希腊时期，柏拉图在他的的雅典学园门楣上铭下这样一句话——“不懂数学者，莫入此门〞，说明哲学家将数学能力视做个人思维能力的基础与综合表现。《圣哲言行录》亦记载了柏拉图曾成功地引导从未系统学习几何的小孩自己推导出勾股定理，这可能是人类历史上最早的数学教学记载，而柏拉图则想以此证明两件事，一是数学是一种先天存在于人类大脑中的知识，二是有效的思维训练能直接有效地帮助个人开发自己的数学能力与数学潜力。对于即将成年大脑发育接近成熟的高中生来说，对发散思维与集中思维的有意识训练将在数学教学过程中将起到更为积极有效的作用。

一、数学训练就是思维训练

观测一个孩子从小学到高中的变化总能发现这样的规律，小学时学生读两三遍就能记录下来的文章到了高中却要花更长的时间，而低年级时绞尽脑汁才能明白的数学难题到了高年级似乎极其明白易懂。学生在语文学习中的记忆能力（不使用任何理解性技巧）随着年龄增长而减弱这是脑发育的规律，而且人们普遍认可幼年时期是记忆的黄金时期。但对于后一种现象，好多老师认为这是学生数学知识积累的结果，其实不全然如此，与记忆能力的衰退一样，规律思维、数学思维能力的提高在更大程度上是学生

脑发育的表现。这意味着好多在低年级学生脑发育尚不完全时期需要“教〞才能“学〞会的数学知识，到了高中时期完全可以通过有效的引导自己领悟，因此高中数学教育具有其建立在思维能力养成基础之上的特有规律。

高中学生的数学思维的形成建立在对高中数学基本概念、定理、公式理解的基础之上，而发展高中学生数学思维最有效的方法是通过解决问题来实现的。然而，在学习高中数学过程中，我们经常听到学生反映上课听老师讲课，听得很“明白〞，但到自己解题时，总感到困难重重，无从入手，这种现象其根源在很大程度上在于老师或学生在教与学的过程中忽视了对思维能力本身的培养，将题海战术作为一种经验性的积累而非规律性的摸索。例如在代数几何的教学中，学生可能通过大量分析同类题型来累积解题经验，但假使老师未能引导学生在此过程中形成自主摸索意识，那么当学生面对新题时往往仍旧感到似曾相识而又无从下手，由于学生在面对新问题时很简单去回想“过去那幅类似的图〞，而实际上一个点一条线的微妙变化可能使两道题的解法存在本质区别。因此高中数学不能停留在对定理对题型的经验性把握，数学不是一种知识而是一种建立在思维规律基础上能力。二、发散与集中思维在数学教学中的应用

思维是人脑对客观事物本质属性和内在联系的概括和间接反映，可分为发散思维与集中思维，发散思维（DivergentThinking）又称辐射思维或求异思维，是指大脑在思维时浮现的

一种扩散状态的思维模式，它表现为思维视野广阔，思维浮现出多维发散状，如“一题多解〞，不少心理学家认为，发散思维是创造性思维的最主要的特点。集中思维，是与发散思维相对而言的，又称为求同思维或聚敛思维，就是从已知的种种信息中产生一个结论，从现成的众多材料中寻觅一个答案，因此集中思维就是鉴别、选择、加工的思维。所以数学解题思维活动实际上是发散思维和集中思维有机结合而构成的思维活动。1、善用发散思维勉励一题多解

发散思维代表了一个人思维能力的广度与灵活度，良好的数学能力首先建立在优秀的发散思维基础之上。数学题的答案只有一个，但获取答案的路径却有好多，数学教学不是告诉学生答案，也不仅仅是为其指明一条路径，而更应勉励、培养学生自主摸索的能力。因此让学生盲目地陷入题海，不如勉励学生用多种方法来求解经典题目，倡导一题多解、一题多变、一题多思，一旦养成良好的发散思维能力，即便学生面对陌生、繁杂的题目也能尽快发现多种解题路径。

在教学过程中引导学生自主修改题目条件的教学方式是培养发散思维的有效手段，在一题多解的基础上，学生通过修改题目建立新题不仅是对题目本身更深层次的理解，更是一种问与答的角色转换。让学生站在出题者、提问者的角度来对待问题，更有助于他们发现数学定理万变不离其宗的灵活运用。2、培养集中思维做到一题巧解

发散思维有助于学生一题多解，但精准、缜密的集中思维能将其提升为一题巧解。特别在几何推导题中，不少学生都能发现两种以上的解题思路，但这并不意味着他们能找到最快捷的解题方法，而假使恰恰选择了繁杂的解题思路，还是很简单在推导过程中犯错并花费更多的时间。与发散思维相比集中思维具有更高的抽象度，要求学生对数学基础拥有更全面更深入的理解。解题过程中的集中思维具体表达为对多种思路的鉴别与筛选，仍以几何推导为例，在推理过程中巧用定理、推论往往能极大地简化解题步骤，而这必需建立在学生对公理、定理与推论之间关系拥有深层次理解的基础之上。

培养集中思维的最有效方式莫过于让学生总结在解题过程中所用到的公理、定理，一题多解能让学生发现解答同一题所用到的多种定理、推论，而对定理的再反思则有助于学生总结如何筛选、发现最简易快捷的解题路径，做到这一步时数学往往已成为学生的乐趣。

3、运用素质教育培养思维能力

优秀的数学教学其实是思维训练，而良好的思维训练往往离不开素质教育，发散思维与集中思维的灵活转换运用建立在学生良好的综合素养之上，因此优秀的数学老师必需通过良好的素质教育让学生爱上数学，养成主动思考、积极思考的思维习惯。数学课堂上的素质教育往往表现为趣味数学与趣味规律，并且最好能将时事与生活融入数学之中，让学生亲身体会数学与生活的紧

密关系，让学生认识到爱数学就是对思考对知识对创造的热爱。三、结语

当前好多学者包括教育界内人事诟病我国初高中数学教育过于拔高，甚至说“买菜用不着cos，何必学那么繁杂〞，这源于人们认为数学就是解题的狭隘单一映像，而事实上数学训练与思维训练是互有助益、相辅相成的，对好多人来说在生活中直接运