初二数学-四边形知识点总结教案

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知识点总结：

1．四边形的内角和与外角和定理：

A

（1）四边形的内角和等于360°；D

（2）四边形的外角和等于360°.

2．多边形的内角和与外角和定理：BC

A4

（1）n边形的内角和等于(n-2)180°；D

（2）任意多边形的外角和等于360°.3

3．平行四边形的性质：12

BC

（1）两组对边分别平行；

DC

（2）两组对边分别相等；

因为ABCD是平行四边形（3）两组对角分别相等；O

（4）对角线互相平分；

AB

（5）邻角互补.

4.平行四边形的判定：

（1）两组对边分别平行

DC

（2）两组对边分别相等

（3）两组对角分别相等ABCD是平行四边形.O

（4）一组对边平行且相等

AB

（5）对角线互相平分

5.矩形的性质：

DC

（1）具有平行四边形的所有通性;

O

因为ABCD是矩形（2）四个角都是直角;

AB

（3）对角线相等.DC

AB

6.矩形的判定：

（1）平行四边形一个直角DC

（2）三个角都是直角四边形ABCD是矩形.

O

（3）对角线相等的平行四边形

AB

DC

7．菱形的性质：

AB

因为ABCD是菱形D

（1）具有平行四边形的所有通性；

（2）四个边都相等；O

AC

（3）对角线垂直且平分对角.

B

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8．菱形的判定：D

（1）平行四边形一组邻边等

（2）四个边都相等四边形四边形ABCD是菱形.O

AC

（3）对角线垂直的平行四边形

9．正方形的性质：B

因为ABCD是正方形

（1）具有平行四边形的所有通性；

（2）四个边都相等，四个角都是直角；

（3）对角线相等垂直且平分对角.

DCDC

O

AB（1）AB（2）（3）

10．正方形的判定：

（1）平行四边形一组邻边等一个直角

（2）菱形一个直角四边形ABCD是正方形.

（3）矩形一组邻边等

DC

(3)∵ABCD是矩形

又∵AD=AB

∴四边形ABCD是正方形

AB

例题

例1：如图1，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.求证：

∠BAE=∠DCF.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，A

D

∴∠ABE=∠CDF，AB=CD.F

又∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB=∠CFD=90°，E

BC

∴△ABE≌△CDF.（图1）

∴∠BAE=∠DCF.

例2：如图2，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD

AD

于F.EF

求证：BE=CF.

O

证明：∵四边形ABCD是矩形，

BC

∴OB=OC.（图2）

又∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴∠BEO=∠CFO=90º.

∵∠BOE=∠COF.

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∴△BOE≌△COF.∴BE=CF.

评注：本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定.

例3如图6，E、F分别是ABCD的AD、BC边上的点，且AE=AED

CF.N

（1）求证：△ABE≌△CDF；M

（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四BFC

边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论.(图3)

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，∠A=∠C.

∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF.

（2）解析：四边形MFNE是平行四边形.

∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB=∠CFD，BE=DF.

又∵M、N分别是BE、DF的中点，∴ME=FN.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB=∠FBE.

∴∠CFD=∠FBE.∴EB∥DF，即ME∥FN.

∴四边形MFNE是平行四边形.

评注：本题是一道猜想型问题.先猜想结论，再证明其结论.

例4如图4，ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分

E

别相交于点E，F.AD

求证：四边形AFCE是菱形.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O

BC

∴AD∥BC.∴∠EAC=∠FCA.F

∵EF是AC的垂直平分线，图4

∴OA=OC，∠EOA=∠FOC，EA=EC.

∴△EOA≌△FOC.∴AE=CE.

∴四边形AFCE是平行四边形.DC

又∵EA=EC，

EF

∴四边形AFCE是菱形.

A

B

图5

例5如图5，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点.

（1）如果，则△DEC≌△BFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件）；

（2）证明你的结论.

解析：本题是一道条件开放型问题，答案不唯一.

（1）①AE=CF；②OE=OF；③DE⊥AC，BF⊥AC；④DE∥BF等.

（2）①证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AB∥CD.∴∠DCE=∠BAF.

∵AE=CF，∴AC－AE=AC－CF，即AF=CE.

∴△DEC≌△BFA.

例6如图6，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC和BD相交于点

O，E是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC

交BD于点C.

（1）求证：四边形EFOG的周长等于2OB；

（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC”改为另一种四边形，

AD

OF

G

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其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG的周长等于BC2OB”

E

仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、图6不必证

明.

解析：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，

∴梯形ABCD是等腰梯形.∴∠ABC=∠DCB.

又∵BC=CB，AB=DC，

∴△ABC≌△DCB.∴∠ACB=∠DBC.

又∵EG∥AC，∠ACB=∠GEB.

∴∠DBC=∠GEB.∴EG=BG.

∵EG∥OC，EF∥OG，

∴四边形EGOF是平行四边形.

∴OE=OF，EF=OG.

∴四边形EGOF的周长=2（OG＋GE）=2（OG＋GB）=2OB.

（）如图，已知在矩形中，对角线和相交于点，

27ABCDACBDOEAD

是边上一个动点（点不与、两点重合），∥交于点，∥

BCEBCEFBDACFEGACO

交BD于点C.GF

求证：四边形EFOG的周长等于2OB

BC

注意：若将矩形改为正方形，原结论成立吗？E

图7

课堂练习：

（一）精心选一选

1.下列命题正确的是（）

一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形

对角线相等的四边形一定是矩形

两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形

两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形

2.已知平行四边形ABCD的周长32,5AB=3BC,则AC的取值范围为()

A.6<AC<10；B.6<AC<16；C.10<AC<16；D.4<AC<16

3.两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（）

（A）1（B）2（C）3（D）4

4．延长平形四边形ABCD的一边AB到E，使BE＝BD，连结DE交BC于F，若∠

DAB＝120°，∠CFE＝135°，AB＝1，则AC的长为（）

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3

（A）1（B）1.2（C）（D）1.5

2

5．若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE＝1cm，则BD的长是（）

（A）1cm（B）2cm（C）3cm（D）

4cm

6.若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么

这个四边形的对角线()

（A）互相垂直（B）相等（C）互相平分（D）互相垂直且相等

7.如图，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF∥AB，AB=5

那么四边形AFDE的周长是（）

（A）5（B）10（C）15（D）20

8.如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC

边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是

（）．

（A）3cm（B）4cm（C）5cm（D）6cm

9.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AC将梯形分成两个三角

形，其中△ACD是周长为18cm的等边三角形，则该梯形的中位线的长是()．

(A)9cm(B)12cm(c)9cm(D)18cm

2

10.如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BDE

AD

相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（）

O

(A)4cm(B)6cm(C)8cmBC

(D)10cm

二．细心填一填

1.如果四边形四个内角之比1：2：3：4，则这四边形为＿＿＿＿形。

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2.若正方形的对角线长为2cm，则正方形的面积为＿＿＿。

3.若矩形一个内角的平分线，把另一边分为4cm,5cm两部分，则这个矩形周长

是＿＿＿

4.已知：平行四边形ABCD的周长是30cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周

长比△BOC的周长长5cm，则这个平行四边形的各边长为＿＿＿＿＿。

5.已知：平行四边形ABCD中，AE⊥BC交CB的延长线于点E，AF⊥CD交CD

3

的延长线于点F，AB＋BC＋CD＋DA＝32cm，BC＝AB，∠EAF＝2∠C，则BE

5

长为＿＿＿，则∠C＿＿＿.

6.在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，

C(1，－1)，在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D

的坐标是．

7.已知：如图8，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F分别是边AB、

BC上的点，若AE＝4cm，DF＝3cm，且OE⊥OF，则EF的长为。

AB

O

E

CD

F