精选海淀区高三期末数学试题及参考答案(理科)2023-1

海淀区高三期末数学试题及参考答案(理科)2023-1高三数学试题〔理科〕第1页〔共5页〕海淀区高三年级第一学期期末练习数学〔理科〕2023．01选择题〔共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．复数A．B．C．D．2．如图，正方形中，点是的中点，点是的一个三等分点．那么A．B．C．D．3．假设数列满足：=，，那么数列的前项和数值最大时，的值是A．B．C．D．4．平面，，直线，假设，=，那么A．垂直于平面的平面一定平行于平面B．垂直于直线的直线一定垂直于平面C．垂直于平面的平面一定平行于直线D．垂直于直线的平面一定与平面,都垂直5．函数=的局部图象如以以下图，那么==A．B．C．D．开始i=1,s=0开始i=1,s=0s=s+2i-1is≤100i=i+1输出i结束是否A．B．C．D．7．函数，那么以下命题中假命题是A．既不是奇函数也不是偶函数B．在上恰有一个零点C．是周期函数D．在上是增函数8．点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．直线二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分，把答案填在题中横线上．9．的展开式中的系数是．〔用数字作答〕10．假设实数满足那么=的最大值为．11．抛物线过点，那么点到此抛物线的焦点的距离为．12．甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温〔单位〕用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是________，气温波动较大的城市是_______．甲城市乙城市90877312472204713．圆，过点的直线将圆分成弧长之比为的两段圆弧，那么直线的方程为．14．正三棱柱的正〔主〕视图和侧〔左〕视图如以以下图．设△△的中心分别是，现将此三棱柱绕直线旋转，射线旋转所成的角为弧度〔可以取到任意一个实数〕，对应的俯视图的面积为，那么函数的最大值为；最小正周期为．说明：“三棱柱绕直线旋转〞包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，旋转所成的角为负角．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值13分〕在中，角所对的边分别为．〔Ⅰ〕求及的值；〔Ⅱ〕假设，求的面积．16．〔本小题总分值13分〕为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛．〔Ⅰ〕求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；〔Ⅱ〕假设决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为，求的分布列和数学期望．17．〔本小题总分值14分〕在四棱锥中，底面是直角梯形，∥，，，平面平面．〔Ⅰ〕求证：平面；〔Ⅱ〕求平面和平面所成二面角〔小于〕的大小；〔Ⅲ〕在棱上是否存在点使得∥平面？假设存在，求的值；假设不存在，请说明理由．18．〔本小题总分值13分〕函数，其中是常数．〔Ⅰ〕当时，求曲线在点处的切线方程；〔Ⅱ〕假设存在实数，使得关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围．19．〔本小题总分值13分〕焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为，为椭圆的左顶点．〔Ⅰ〕求椭圆的标准方程；〔Ⅱ〕过点的直线与椭圆交于，两点．假设直线垂直于轴，求的大小；假设直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？假设存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．20．〔本小题总分值14分〕集合=，假设集合=，且对任意的存在，使得=〔其中〕，那么称集合为集合的一个元基底．〔Ⅰ〕分别判断以下集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；①=，=；②=，=．〔Ⅱ〕假设集合是集合的一个元基底，证明：；〔Ⅲ〕假设集合为集合=的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底．PAGE数学参考答案第1页，共8页海淀区高三年级第一学期期末练习数学〔理科〕参考答案及评分标准2023．01选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.题号〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕答案ADBDCABD二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.〔9〕〔10〕〔11〕〔12〕乙，乙〔13〕或〔14〕；注：〔13〕题正确答出一种情况给3分，全对给5分；〔12〕、〔14〕题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.〔15〕〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕因为，所以.………2分因为，所以.………3分由题意可知，.所以.………5分因为.………6分所以.………8分〔Ⅱ〕因为，，………10分所以.所以.………11分所以.………13分(16)〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位〞为事件，那么.………4分所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为.………5分〔Ⅱ〕随机变量的可能取值为.………6分，，，.………10分随机变量的分布列为：因为，所以随机变量的数学期望为.………13分(17)〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕证明：因为，所以.………1分因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.………3分〔Ⅱ〕解：取的中点，连接.因为，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.………4分如图，以为原点，所在的直线为轴，在平面内过垂直于的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系．不妨设.由直角梯形中可得，，.所以，.设平面的法向量.因为所以即令，那么.所以.………7分取平面的一个法向量n.所以.所以平面和平面所成的二面角〔小于〕的大小为.………9分〔Ⅲ〕解：在棱上存在点使得∥平面，此时.理由如下：………10分取的中点，连接，，.那么∥，.因为，所以.因为∥，所以四边形是平行四边形.所以∥.因为，所以平面∥平面.………13分因为平面，所以∥平面.………14分(18)〔本小题总分值13分〕解：(Ⅰ)由可得.………2分当时,,.………4分所以曲线在点处的切线方程为，即.………5分〔Ⅱ〕令，解得或.………6分当，即时，在区间上，，所以是上的增函数.所以方程在上不可能有两个不相等的实数根.………8分当，即时，随的变化情况如下表↘↗由上表可知函数在上的最小值为.………10分因为函数是上的减函数，是上的增函数，且当时，有.………11分所以要使方程在上有两个不相等的实数根，的取值范围必须是.……13分(19)〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕设椭圆的标准方程为，且.由题意可知：，.………2分所以.所以，椭圆的标准方程为.……3分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得.设.〔ⅰ〕当直线垂直于轴时，直线的方程为.由解得：或即〔不妨设点在轴上方〕.………5分那么直线的斜率，直线的斜率.因为，所以.所以.………6分〔ⅱ〕当直线与轴不垂直时，由题意可设直线的方程为.由消去得：.因为点在椭圆的内部，显然.………8分因为，，，所以.所以.所以为直角三角形.………11分假设存在直线使得为等腰三角形，那么.取的中点，连接，那么.记点为.另一方面，点的横坐标，所以点的纵坐标.所以.所以与不垂直，矛盾.所以当直线与轴不垂直时，不存在直线使得为等腰三角形.………13分(20)〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕①不是的一个二元基底.理由是；②是的一个二元基底.理由是，.………3分〔Ⅱ〕不妨设，那么形如的正整数共有个；形如的正整数共有个；形如的正整数至多有个；形如的正整数至多有个.又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底.故，即.………8分〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕可知，所以.当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个.*假设为的一个4元基底，不妨设，那么.当时，有，这时或.如果，那么由，与结论*矛盾.如果，那么或.易知和