量子力学复习提纲

本文格式为Word版，下载可任意编辑——量子力学复习提纲

量子力学复习提纲

一、简答题

1、什么是黑体？

答：在任何温度下，对入射的任何波长的辐射全部吸收的物体。

2、简述光的波粒二象性。

答：吸收、发射以微粒形式，传播c。描述波动性的力学量?,?与描述粒子的力学量E,p之间的联系为E?h?，p?h?。

3、试简述Bohr的量子理论。答：（1）定态假设：电子只能在一组特别的轨道上运动，在这组轨道上电子处

于稳定状态，简称定态。

（2）频率条件：当电子从一个定态跃迁到另一个定态时，吸收或发射的辐射

频率满足：Em?En?h?。（3）量子化条件：电子在轨道上运动时，其角动量必需是h的整数倍。

4、简述德布罗意假设。答：具有能量

E?h??PE和动量h的自由粒子与一个频率为?、波长为?的平面波相联系。

，p??。

5、粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度长或短?

答：由基本假设??h，波长仅取决于粒子的动量而与粒子本身线度无必然联系。

p

?2答：??r,t?6、波函数模的平方??r,t?的物理意义是什么？

?2?表示在t时刻r点附近单位体积中粒子出现的概率，即概率密度。

7、依照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件。答：波函数应满足的条件是：连续，有限，单值。

8、简述态叠加原理。

答：若?1,?2,?,?n是体系的可能状态，则??C1?1?C2?2???Cn?n也是体系的可能状态。这一结论称为态叠加原理。

9．何谓定态？

???答：能量具有确定值的状态称为定态。它用定态波函数??r,t????r?eiEt?描写。

10、简述定态的特性。答：定态的特性有：

①能量具有确定值。

②几率密度及几率流密度不随t变化。③任何力学量（不含t）的平均值不随t变化。④任何力学量（不含t）取各种可能测量值的几率分布不随t变化。

11、简要解释一维线性谐振子的零点能。答：一维线性谐振子的零点能为E0?12??，它是谐振子基态的能量，是一种量

子效应，是测不准关系所要求的最小能量，是粒子具有波粒二象性的具体表达，谐振子永远不会静止。

12、一维定态解包括几个量子数？量子数数目取决于什么？

答：一维定态解只是有一个能量量子数。一般说来，量子态的量子数数目等于体系的自由度数目，也即等于描述体系状态的力学量完全集中所包含的力学量数目。

13、量子力学定态解在什么条件下过渡到经典解？

答：量子力学的定态解在量子数n??时，即过渡到经典解，此即玻尔对应原理。

14、什么是束缚态？它有何特性？

答：当粒子被外力（势场）约束于特定的空间区域内，即在无穷远处波函数等于零的态叫束缚态。束缚态的能级是离散的。

15、是否当入射粒子由低势能区射向高势能区时会在交界面发生反射，而由高势能区射向低势能区时不会发生反射？

答：无论粒子由低势能区射向高势能区，或由高势能区射向低势能区，都会发生反射。

16、何谓势垒贯穿？答：微观粒子在能量E小于势垒高度U0时仍能贯穿势垒的现象，称为势垒贯穿。

17、为什么表示力学量的算符必需要求是线性厄米算符？

答：表示力学量的算符必需是线性算符。这是由态叠加原理所要求的。真实力学量的任何测量值当然必需是实数，这就决定了力学量必需由厄米算符来表达。

18、什么是算符的本征值方程、本征值和本征函数？

?????称为算符F?的方程F?的本征值方程，?答：含有算符F而?n则称为算符Fnnn的本征值，函数?n则称为属于本征值?n的本征函数。

19、厄米算符有那些特性？答：厄米算符有如下性质：

（1）厄米算符的本征值是实数；

（2）厄米算符在任何态的平均值也为实数；

（3）厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交；（4）描写力学量的厄米算符的本征函数是完全系。

20、简述算符与力学量的关系。

答：量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组成完全系。

?的本征态?时，测量力学量F的数值是确定的，恒等于?；当体系处于算符Fnn当体系处于波函数???Cnn?n所描写的状态时，测量力学量F所得的数值，必

2?的本征值之一，测得?的概率是C。定是算符Fnn

21、试述力学量完全集的概念。

答：能够完全描述体系状态的、彼此相互对易的一组力学量称为力学量完全集。它的特点是：（1）力学量完全集的共同本征函数系构成一个希尔伯特空间；（2）力学量完全集所包含力学量的数目等于量子数组（n1,n2,?）所包含的量子数数目，即体系的自由度数；（3）力学量完全集中所有力学量是可以同时测量的。

22、试给出不确定关系（测不准关系）的数学表达式。

?)??]?ik，则：(?F?)?(?G?,G答：若[F22k24，称为不确定关系（测不准关系）。

23、如何用矩阵表示量子态与力学量，并说明理由。

答:矩阵表示一般用于本征值为分立谱的表象（相应希尔伯特空间的维数是可数的）。具体说，假使力学量A的本征函数为?1,?2,??n，相应本征值为A1,A2,?An。任意态矢?可展开为

???a?nnn

态矢?在A表象的表示为展开系数?an?组成的一列矩阵

?a1????a2?????

????a??n?其意义是：在?态中，力学量A取值An的几率为an，与坐标表象波函数的意义相类似。

力学量用厄密矩阵表示

???A?????A11A21?An1A12A22?An2????A1n??A2n?Aij?(?i,A?j)???Ann??2可见列矩阵与方阵维数与希尔伯特空间维数一致。

用矩阵表示力学量，理由如下：

（1）可以反映力学量作用一个量子态而得到另一个量子态的事实。设

?(x)?A?(x)，则

?b1??A11????b2??A21??????????b??A?n??n1A12A22?An2????A1n??A2n????Ann???a1??a2????a?n????简记为b?Aa；???（2）矩阵乘法一般不满足交换律，这恰好能满足两个力学量一般不对易的要求；

（3）厄密矩阵的性质能表达力学量算符的厄密性。

24、算符（力学量）在其自身表象中如何表示？其本征矢是什么?

答：力学量本征值是分立谱时，它在其自身表象中的表示是对角化的，对角元素就是它的本征值。

???A?????A10?00A2?0????0??0????An??本征矢为单一元素列矩阵。

?0??1??????0??1??1????2???………

???????0??0?????

25、狄拉克符号中，引入了右矢

相加吗？

答：在量子力学中，态空间是具有内积的矢量空间，类似于希尔伯特空间波函

数?和?的内积(?,?)???*?d?，|??和|??的内积记为??|??，??|是对应于|??的左矢，属于伴随空间的一个矢量。由于左矢和右矢是分属于不同空间的矢量，它们不能相加。

?，为什么又引入左矢?，右矢和左矢能够

26．简述定态微扰论的基本思想。

答：量子力学体系的哈密顿算符H不是时间的显函数时，通过求解定态薛定谔方程，探讨定态波函数。除少数特例外，定态薛定谔方程一般很难严格求解。求解定态薛定谔方程H??E?时，若可以把不显函时间的H分为大、小两部分H?HH?(0)?????(0)?H?|H??(0)|??|H?|，其中H??(0)?n(0)?En?(0)(0)n，即

的本征值En(0)和本征函数?n(0)是可以确切求解的，或已有确定的结果。

?满足上述条件的基础上，常引入一个很小参数?（0???1），将微扰写成?H?，以逐步近似的精神求解薛定谔方程。将能级和波函数以?的幂级数展开

(0)(1)2(2)?En?En??En??En???(0)(1)2(2)???????????nnn?n?(0)E(0)n与?(0)n称为零级近似能量和零级近似波函数，是未受微扰时H的本征能量

和本征函数，也是我们求解微扰问题的必备基本条件，后面各项按?的幂次称为一级修正、二级修正、?。

27．非简并定态微扰论的适用条件是什么？

(0)(0)?|??|En?Em|，一是要求微扰本答：非简并定态微扰论的适用条件为|Hmn(0)|较大。身应很小，二是要求能级间隔|En(0)?Em

28．简并态微扰与非简并态微扰的主要区别是什么？什么条件下，简并能级状况

可用非简并态微扰处理？

答：简并态微扰与非简并态微扰的主要区别是零级近似能量