有限冲激响应数字滤波器的设计

有限冲激响应数字滤波器的设计第1页，共51页，2023年，2月20日，星期五8.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点8.1.1线性相位条件FIR数字滤波器的频率响应为式中，H(ω)称为幅度特性，θ(ω)为相位特性。注意，这里

为ω的实函数，可能取负值,不同于|H(ejω)|总是正值。当信号通过滤波器时，其幅度和相位都会发生变化，输出信号比输入信号时间上滞后，也即是相位有了延时。为了讨论线性相位条件，我们引入两种延时概念：相延时和群延时。2第2页，共51页，2023年，2月20日，星期五相延时：群延时：如果τp(ω)或τg(ω)是不随变化的常量，那么滤波器就为恒延时滤波器，这时滤波器具有线性相位。3第3页，共51页，2023年，2月20日，星期五1.恒相延时和恒群延时同时成立这说明，当系统冲激响应

关于中心轴

偶对称时，滤波器是恒相延时和恒群延时的线性相位滤波器。当

为奇数时对称中心轴位于整数样点上，当

为偶数时对称中心轴位于非整数样点上，如图8-1所示。下面分成N为奇数和N为偶数两种情况来讨论线性相位FIR滤波器的频率响应特性。4第4页，共51页，2023年，2月20日，星期五5第5页，共51页，2023年，2月20日，星期五（2）h(n)偶对称、N奇数时的频率响应6第6页，共51页，2023年，2月20日，星期五由此可见，当h(n)偶对称、N为奇数时，滤波器的相位函数是ω的线性函数，滤波器具有线性相位特性，这就证明了h(n)偶对称是滤波器线性相位的充分条件。另外，由于COS(nω)对于ω=0、π和2π均为偶对称，因此滤波器的幅度函数H(ω)对于ω=0、π和2π也是偶对称的。7第7页，共51页，2023年，2月20日，星期五（3）h(n)偶对称、N偶数时的频率响应8第8页，共51页，2023年，2月20日，星期五由此可见，当h(n)偶对称、N为偶数时，滤波器的相位函数

是ω的线性函数，滤波器具有线性相位特性，这就证明了h(n)偶对称是滤波器线性相位的充分条件。另外，对于幅度函数可得出：在ω＝π处，H(ω)=0，这说明传输函数在z=-1处必有一个零点，因此，它不能用于高通或带阻滤波器的设计，因为高通或带阻滤波器在ω＝π处不为0；由于cos[(n-1/2)ω]以ω＝π为奇对称，因此滤波器的幅度函数H(ω)也以ω＝π偶对称。综合（2）与（3）两种情况可知，FIR滤波器同时满足恒定相延时与群延时的条件是：冲激响应h(n)以(N-1)/2为对称中心，此时，无论N为奇数还是偶数，滤波器均具有严格的线性相位：θ(ω)=-(N-1)/2ω。信号通过此类滤波器时仅产生(N-1)/2个采样时间点的延迟。9第9页，共51页，2023年，2月20日，星期五2.恒群延时单独成立（1）成立的条件在实际应用中，我们只考虑k=0、θ0=π/2这种情况，因为幅度函数

是可正可负的实数，且具有周期性，因此

取其他值时的情况都包含在k=0的情况中。10第10页，共51页，2023年，2月20日，星期五这说明，当系统冲激响应h(n)关于中心轴(N-1)/2奇对称时，滤波器是恒群延时的线性相位滤波器，并包含有θ0=π/2的固定相移。因此信号通过此类滤波器时既产生(N-1)/2个采样点的延迟，还将产生90°的相移，通常这类滤波器又称为90°移相器。11第11页，共51页，2023年，2月20日，星期五（2）h(n)奇对称、N奇数时的频率响应12第12页，共51页，2023年，2月20日，星期五由此可见，当h(n)奇对称、N为奇数时，滤波器的相位函数

是ω的线性函数，滤波器具有线性相位特性，这就证明了h(n)奇对称是滤波器线性相位的充分条件。另外，由于SIN(nω)在ω=0、π、2π处，均为奇对称，因此滤波器的幅度函数

在ω=0、π、2π处也是呈奇对称；又由于SIN(nω)在ω=0、π、2π处的值为0，使得H(ω)=0，这说明传输函数

在Z=±1有零点。因此这种类型的滤波器不适用于设计低通滤波器和高通滤波器；因为ejπ/2=j，这说明jH(ω)是纯虚数，因此，这类滤波器适用于理想数字希尔伯特变换和微分器。13第13页，共51页，2023年，2月20日，星期五（3）h(n)奇对称、N偶数时的频率响应14第14页，共51页，2023年，2月20日，星期五由此可见，当h(n)奇对称、N为偶数时，滤波器的相位函数是ω的线性函数，滤波器具有线性相位特性，这就证明了h(n)偶对称是滤波器线性相位的充分条件。15第15页，共51页，2023年，2月20日，星期五16第16页，共51页，2023年，2月20日，星期五8.2利用窗函数法设计FIR滤波器8.2.1设计思想线性相位滤波器FIR的基本设计思路为（1）根据要求的Hd(ejω)求出hd(n)（2）加窗截取hd(n)为有限长，求出hN(n)（3）将hN(n)移位(N-1)/2-τ，使其成为因果序列h(n)

17第17页，共51页，2023年，2月20日，星期五8.2.2窗函数性能分析18第18页，共51页，2023年，2月20日，星期五加窗对频率响应的影响表现在以下几个方面：（1）使理想特性的不连续边沿加宽，在截止频率

附近形成一个过渡带。过渡带指正负肩峰之间的频带，其宽度等同于窗函数的主瓣宽度。不同的窗函数所对应的窗谱的主瓣不同。矩形窗函数

的主瓣宽度（2）在过渡带两旁产生了肩峰和余振。余振是由窗函数的旁瓣引起的。窗函数

的旁瓣越多，

的余振越多，

的旁瓣的相对值越大，

的肩峰值越大。余振的幅度强弱完全取决于窗函数的类型，而与窗的宽度

无关。19第19页，共51页，2023年，2月20日，星期五（3）改变

的值只会影响

坐标的比例、窗谱的主瓣宽度及窗函数的绝对值大小，而不会改变肩峰的相对值。增加窗函数的长度

，只能减小窗函数

的主瓣宽度和各旁瓣宽度，但不能改变主瓣和旁瓣的相对比值，从而使

的通带和阻带内波动起伏变密，但

的相对振荡幅度不减小，这种现象称为吉布斯（Gibbs）效应。例如，对于矩形窗函数，当增加窗宽度

时，过渡带宽度

将随之减小，振荡起伏变密，但最大肩峰却总是8.95％，阻带最小衰减为

，这在工程上往往满足不了要求，改善阻带衰减特性只能是改变窗函数。20第20页，共51页，2023年，2月20日，星期五8.2.3常用窗函数对窗函数一般有两个方面的要求：（1）主瓣尽可能窄，以使设计出的滤波器具有较陡的过渡带；（2）旁瓣尽可能少，即应使其能量尽可能集中在主瓣内，使设计出的滤波器肩峰和余振较小，阻带衰减较大。对任一具体窗函数来说，这两项要求相互矛盾，无法同时满足，只能根据具体的设计指标选择较为合适的窗函数。以下介绍的窗函数均为偶对称函数，都具有线性相位特性。设窗的宽度为N，N可为奇数或偶数，且窗函数的对称中心点在(N-1)/2处。因此，均为因果函数。21第21页，共51页，2023年，2月20日，星期五1.矩形窗长度为N的矩形窗定义为22第22页，共51页，2023年，2月20日，星期五2.三角窗（或巴特利特(Bartlett)窗）23第23页，共51页，2023年，2月20日，星期五3.升余弦窗式中A,B,C为常数。升余弦窗的频率特性比矩形窗有很大改善。根据A,B,C的不同取值，将得到汉宁窗、汉明窗和布莱克曼窗三种不同的升余弦窗。24第24页，共51页，2023年，2月20日，星期五（1）汉宁（Hanning）窗—升余弦窗此种情况下A=0.5，B=0.5，C=0。汉宁窗的定义为25第25页，共51页，2023年，2月20日，星期五（2）汉明（Hamming）窗—改进的升余弦窗此种情况下A=0.54，B=0.46，C=0。汉明窗的定义为26第26页，共51页，2023年，2月20日，星期五（3）布莱克曼（Blackman）窗—二阶升余弦窗此种情况下A=0.42，B=0.5，C=0.08。长度为N的布莱克曼窗定义为27第27页，共51页，2023年，2月20日，星期五4.凯塞（Kaiser）窗上面几种窗函数都是以牺牲主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制，主瓣宽度与旁瓣衰减无法协调兼顾。而凯塞窗则能全面反映窗函谱主瓣宽度与旁瓣衰减之间的互换关系，从而实现以同一种窗类型来满足不同性能需求的目的。凯塞窗能够在同等性能下，实现最陡峭的过渡带。

凯塞窗是一组参数可调的由零阶贝塞尔函数构成的窗函数，定义如下:28第28页，共51页，2023年，2月20日，星期五29第29页，共51页，2023年，2月20日，星期五由于贝塞尔函数的复杂性，为了方便设计，凯塞提出了经验公式。30第30页，共51页，2023年，2月20日，星期五表8-2凯塞窗参数对滤波器的性能影响31第31页，共51页，2023年，2月20日，星期五表8-3常用的六种窗函数的比较窗函数旁瓣峰值衰减主瓣宽度加窗后过渡带宽阻带最小衰减矩形窗-134/N1.8/N21三角窗-258/N4.2/N-25汉宁（升余弦窗）-318/N6.2/N-44汉明（改进升余弦窗）-418/N6.6/N-53布莱克曼（二阶升余弦窗）-5712/N11/N-74凯塞窗β=7.865-5710/N-8032第32页，共51页，2023年，2月20日，星期五33图8-8常用窗函数的幅度特性第33页，共51页，2023年，2月20日，星期五34图8-9理想低通加窗后的幅度特性第34页，共51页，2023年，2月20日，星期五8.2.4窗函数法设计步骤（1）根据给出的频率响应函数Hd(ejω)，经过傅里叶反变换得到hd(n)，如果要求的滤波器的频率响应Hd(ejω)存在过渡带，则设计中所使用的截止频率ωc由通带频率ωp和阻带频率ωs按下式求出ωc=(ωp+ωs)/2（2）选择窗函数，根据所允许的过渡带宽

，按表8-3估计序列

的长度N。（3）计算数字滤波器单位冲激响应35第35页，共51页，2023年，2月20日，星期五（4）用选择的窗函数对h(n)进行加窗(5)计算滤波器的频率响应检验其是否符合要求，如不符合要求修改有关参数，重复上述步骤直到满意为止。36第36页，共51页，2023年，2月20日，星期五1.数字低通滤波器的设计例8-1设计一个FIR低通滤波器，所希望的频率响应为如果取N=21，观察加窗后对滤波器幅频特性的影响。37第37页，共51页，2023年，2月20日，星期五38图8-11用矩形窗和汉明窗设计的FIR低通滤波器第38页，共51页，2023年，2月20日，星期五2.数字高通、带通和带阻滤波器的设计例8-4设计一个FIR高通滤波器，所希望的频率响应为取N=21，试用矩形窗和汉明窗设计FIR。39第39页，共51页，2023年，2月20日，星期五40图8-17例8-4用矩形窗和汉明窗设计的FIR高通滤波器第40页，共51页，2023年，2月20日，星期五8.3利用频率采样法设计FIR滤波器前面讨论的窗函数设计法是在时域内，用有限长冲激响应去逼近所要求的理想冲激响应，然后用窗函数对加以修正，得到频率响应逼近理想的频率响应。本节所讨论的频率采样法则是在频域内，以有限个频率响应采样，去近似所要求的理想频率响应的方法。41第41页，共51页，2023年，2月20日，星期五8.3.1设计思路设计指标通常是在频域给出理想的频率响应Hd(ejω)和允许的误差。由一个长度为N的序列可以用N个频率采样值唯一确定，所以可以直接从频域出发，对理想频响采样。42第42页，共51页，2023年，2月20日，星期五h(n)为偶对称、长度N为奇数时H(n)满足偶对称、N为偶数时所受到的约束条件为：43第43页，共51页，2023年，2月20日，星期五h(n)满足奇对称、N为奇数时所受到的约束条件为：h(n)满足奇对称、N为偶数时所受到的约束条件为：44第44页，共51页，2023年，2月20日，星期五例8-5利用频率采样法，设计一个低通数字滤波器，其理想频率特性为采样点数为奇数N=33，要求滤波器具有线性相位45第45页，共51页，2023年，2月20日，星期五46图8-18例8-5频率采样法设计的FIR低通滤波器第46页，共51页，2023年，2月20日，星期五8.3.1滤波器性能的改善1.增加过渡带采样点与窗函数设计法一样，加大过渡带宽，即在不连续点的边缘增加过渡采样点来缓和矩形特性的突然变化。它可以大大减少振荡，阻带衰减也可以得到进一步改善。一般一点到二点的过渡带采样即可得到满意的结果。2.增加采样点密度过渡带的宽度与采样点数N成反比。如果希望在加大阻带衰减的同时，不使过渡带加宽，可以加大N。但N值意味着

或

长度的增加，滤波器运算量必然增大，这就是为改善过渡带特性而付出的代价。频率采样设计法特别适用于设计窄带选频滤波器，因为这时只有少数几个非零值的

，因而设计计算量比较小。47第47页，共51页，2023年，2月20日，星期五8.4IIR和FIR数字滤波器的比较1.性能比较从性能上来说，IIR滤波器传输函数的极点可位于单位圆内的任何地方，因此可用较低的阶数获得高的选择性，所用的存贮单元少，所以经济而效率高。但是这个高效率是以相位的非线性为代价的。选择性越好（如椭圆滤波器）相位特性越差。FIRDF可以得到严格的线性相位，但要获得一定的选择性，就要用较多的存储器和较长的运算，成本较高，信号延时也较大。不过这些缺点是相对非线性相位的IIRDF而言，如果具有相同的选择性和线性相位的要求，IIRDF必须加全通网络进行相位校正，同样要大大增加IIRDF的阶数和复杂性。所以若相位要求严格一点，FIRDF不仅在性能且在经济上都优于IIRDF。48第48页，共51页，2023年，2月20日，星期五2.结构比较从结构上看，IIR滤波器必须采用递归结构，极点位置必须在单位圆内，否则系统将不稳定。FIRDF采用的是非递归型，无论从理论上和实际的有限精度运算中都不存在稳定性问题。FIRDF还有FFT等快速算法，在