人教版初二数学复习资料2

目录

第一讲全等三角形提高.............................-2-

第二讲全等三角形强化及角平分线..................-9-

第三讲等腰三角形...............................-14-

第四讲勾股定理..................................-21-

第五讲平行四边形...............................-26-

第六讲特殊的平行四边形（一）....................-32-

第七讲特殊的平行四边形（二）....................-37-

第八讲梯形......................................-42-

第九讲梯形中的辅助线及中位线定理................-47-

第十讲一次函数..................................-52-

第十一讲反比例函数...............................-58-

第十二讲分式方程..................................-64-

初二复习教材

第一讲全等三角形提高

【中考考情】

1、全等三角形在中考中考察很灵活，各种题型都有可能出现

2、找出儿何图形中的全等三角形，然后在利用全等三角形的性质是压轴题的常

考方式

【知识要点】

1、全等形：能够重合的两个图形叫做全等形。两个三角形是全等形，就说它们

是全等三角形，两个全等三角形，经过运动后一定重合，互相重合的顶点叫做对

应顶点；互相重合的边叫做对应边；互相重合的角叫做对应角。

2、两个三角形全等的性质：

（1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。

（2）全等三角形的对应边上的高对应相等。

（3）全等三角形的对应角平分线相等。

（4）全等三角形的对应中线相等。

（5）全等三角形面积相等。

（6）全等三角形周长相等。

（以上可以简称：全等三角形的对应元素相等）

3、两个三角形全等的判定：

（1）三组对应边分别相等的两个三角形全等（简称SSS或“边边边”），这一

条也说明了三角形具有稳定性的原因。

（2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS或“边角边”）0

（3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA或“角边角”）o

（4）有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS或“角角边”）

（5）直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全

等（HL或“斜边，直角边”）

SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。

注意：为什么SSA不能判断两个三角形全等，并且能够画出反例的图形。

【例题解析】

考点1、全等形的概念

例1：几何中，我们把上述所例举的“一模一样”的图形叫做“全等形”，以下是描述全等形的

三种不同的说法，你认为哪种说法是恰当的？

（1）形状相同的两个图形叫全等形；

（2）大小相等的两个图形叫全等形；

（3）能够完全重合的两个图形叫全等形.

变式1：如图中有6个条形方格图，图中有哪些实线围成的图形是全等的？

变式2:全等三角形又叫合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同

三角形.假设AABC和△ABG是全等（合同）三角形，且点A与4对应，点B与氏对应,

点C与G对应，当沿周界A-B-C-A及A-Bi-G-Ai环绕时，若运动方向相同，则称它

们是真正合同三角形（如图）：若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形，如图:

A,

两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角

形要重合，则必须将其中的一个翻转180°,在下图中的各组合三角形中，是镜面合同三角

形的是（）

考点2、两个三角形全等的性质

例2：图中所示的是两个全等的五边形，指出它们的对应顶点、对应边与对应角并说出图

中标的a、b、c、d、e、。、£各字母所表示的值.

A5E

D

b

12

CH

初二复习教材

变式1:如图所示的是三个全等的四边形，请指出它们的对应顶点、对应边与对应角，并写

出图中标的a,b,c,d,a,B,y各字母所表示的值.

变式2：如图，△OAB绕点。逆时针旋转80°到△0C。的位置，已知NAOB=45°,则

NA。。等于（）

A.55°B.45°C.40°D.35°

变式3：如图，\ABC^\ADE,BC的延长线交DA于F,交DE于G,

ZACB=ZAED=\Q5\NCA。=10°,/8=/。=25°,求NObB、NOG8的度数.

C

AB

考点3、两个三角形全等的判定

证题的思路:

'找夹角(SAS)

已知两边找直角

找第三边(SSS)

'若边为角的对边，则找任意角(AAS)

..人［找已知角的另一边(SAS)

已知—JZJ——角2

边为角的邻边找已知边的对角(AAS)

找夹已知边的另一角(ASA)

-I

找两角的夹边(ASA)

已知两角

找任意一边(A4S)

例1：如图，在△48C与尸中，给出以下六个条件中(1)AB=DE(2)BC=EF(3)

AC=DF(4)ZA=ZD(5)NB=NE(6)ZC=ZF,以其中三个作为已知条件，不熊

判断△ABC与△£)£1尸全等的是()

A.(1)(5)(2)；B.(1)(2)(3)；

C.(4)(6)(1)；D.(2)(3)(4)

变式1：如图，四边形ABCD中，AC垂直平分8。于点。.

(1)图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；(2)任选(1)中的一对全等三

角形说明理由.

初二复习教材

变式2：已知，如图，AB=CD,DF_LAC于F,BEJ_AC于E,DF=BE„求证：AF=CE„

变式3：已知，如图，AB、CD相交于点0,AACO^ABDO,CE〃DF。求证：CE=DF,

变式4：如图，正方形ABCD的边长为1,G为CD边上一动点（点G与C、D不重合），以

CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于H。

求证：①ZXBCG也Z\DCE

②BH±DE

小结：在以上例题变式练习中，可以归纳概括出目前常用的证明三角形全等时寻找非已知条

件的途径

缺边时：①图中隐含公共边；②中点概念；③等量公理④其它.

缺角时：①图中隐含公共角；②图中隐含对顶角；③三角形内角和及推论④角平分线定

义；⑤平行线的性质；⑥同（等）角的补（余）角相等；⑦等量公理；⑧其它.

【课后作业】

1、已知，如图，AB±AC,AB=AC,AD1AE,AD=AE。求证：BE=CD。

2、已知，如图，四边形ABCD是正方形，4ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF,G是CD与

EF的交点，求证：Z\BCF义ZXDCE

3、如图，在AABC中，D在AB上，且△CAD和ACBE都是等边三角形，说明：(1)DE=AB,

(2)ZEDB=60°

初二复习教材

4、如图，正方形ABCD中点P是边AB上的一个动点,且CQ=AP,PQ与CD相交于点E,当P

在边AB上运动时，

试判断△PDQ的形状并证明。

第二讲全等三角形强化及角平分线

［中考考情］

1、在尺规作图中，常考作一个叫的角平分线，要求保留作图痕迹。

2、很少单独考角平分线的性质，一般都是与儿何题结合起来一起考察

【知识要点】

1、角平分、或的性质定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.

2、角平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上

【例题解析】

全等三角形解题方法：

-一般来说考试中线段和角相等需要证明全等，因此我们可以来采取逆思维的

方式，来想要证全等，则需要什么条件，另一种则要根据题目中给出的已知条件,

求出有关信息，然后把所得的等式运用(AAS/ASA/SAS/SSS/HL)证明三角形全

等。

例1：将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC,BD为折痕,求NC8O的度数

变式1：如图所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC,NB=/C.求证：AD=AE

D,E

BC

初二复习教材

变式2：沿矩形ABCD的对角线BD翻折AABD得4ABD,AD交BC于F,如图所示,ABDF是何

种三角形？请说明理由.

例2：如图，已知在aABC中，NC=2/B,/1=N2,求证：AB=AC+CD。

变式1：如图20所示,已知AB=DC,AE=DF,CE=FB,求证:AF=DE.

CEFB

(20)

变式2：如图所示，已知△ACB、ZXFCD都是等腰直角三角形，且C在AD上,AF的延长线与BD

交于E,请你在图中找出一对全等三角形,并写出证明它们全等的过程.

一般在判定三角形全等时，我们可以用到以下解题技巧：

(1)综合法：由已知条件出发，根据正确的定义、定理逐步说理得出结论的方法(思维：

顺向而行)

(2)分析法：从结论出发，利用已学过的定理，定义或法则为依据，逐步逆推，朝已知条件

靠拢，直至达到己知条件。(思维：逆向思维)

(3)分析综合法：在数学学习中，要灵活把握综合法和分析法两种思维方法

用分析法探索思路寻求解法

用综合法进行有条理的表述

(先分析后综合；边分析边综合)

考点2、角平分线性质定理

例3：如图，E是NAOB的平分线上一点，ECJ_OA,EDJ_OB,垂足分别是C,D.

试证明OC=OD.

变式1：如图，在AABC中，ZC=90°,AC=BC,AD平分/CAB,交BC于点D,DEIAB

于点E,若ABDE的周长是4cm,求AB的长.

变式2：已知：如图，AABC中，ZACD=90°,AD平分NBAC交BC于D,DELAB于E求证:

AD±CE

初二复习教材

变式3：已知：A46C中，N6和NC的平分线相交于〃，过〃作欧的平行线交力瓦4c于2

产求证：EF=BE+CF

考点3、角平分线判定定理

例4：如图，BD=CD,BF±AC,CE1AB。求证：点D在NA4C的平分线上。

变式1：如图，ZB=ZC=90°,M是BC的中点，0M平分N4CC,求证：AM平分/D4B.

【课后作业】

1、(1)如图1,N如庐60°,CD1OA于D,CE1OB于E,且。＞龙，则N〃宓=

⑵如图，在△相C中，/小90°,4〃是角平分线，DE1AB于E,且游3cm,BD=5cm,则

2、如图所示，Z1=Z2,AE_LOB于E,BDJ_0A于D,交点为C,则图中全等三角形共有()

A.2对B.3对C.4对D.5对

3、如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD是AABC的角平分线，DE1AB,DF1AC,垂足分别是

E,F,则下列四个结论：①AD上任意一点到C,B的距离相等；②AD上任意一点到AB,AC

的距离相等；③BD=CD,AD1BC；@ZBDE=ZCDF,其中正确的个数是().

A.1个B.2个C.3个D.4个

4、在也4BC中，乙4=2NB,CD是N/C3的平分线，求证：BC=AD+AC

5、已知如上右图，6是您的中点，AD-BC,AB-UC.DE交AB于F同

^iiE：(1)AD//BC(2)AF=BF.

初二复习教材

第三讲等腰三角形

【中考考情】

1、等腰三角形的性质可以单独考察，也可以综合考察，一般出现在7分题和9

分题中O

2、等腰三角形中最常用的辅助线（三线合一）是解题的关键，腰和底的分情况

讨论是易错点。

【知识要点】

1、等腰三角形的性质

定理：等腰三角形有两边相等。

定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等

腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形

是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形。

2、等腰三角形的判定

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写

成“等角对等边”。）

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等

于斜边的一半。

3、等边三角形

定义：三条边都相等的三角形

性质：三边相等，三角相等且都为60度，加等腰三角形性质。

判定：

（1）有三条边相等的三角形叫做等边三角形；

（2）有三个角相等的三角形叫做等边三角形；

（3）有两个内角都等于60°的三角形叫做等边三角形；

（4）有一个内角等于60°的等腰三角形叫做等边三角形。

【例题解析】

考点1、等腰三角形的性质

例1：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,-腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15

和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长。

【分析】要分AB+AD=15,CD+BC=6和AB+AD=6,CD+BC=15两种情况讨论。

变式1：如图，已知：AABC中，AB=AC,1）是BC上一点，且AD=DB,DC=CA,

求NBAC的度数。

变式2：已知：如图，AABC中，AB=AC,CDJ.AB于1）。求证：NBAC=2NDCB。

初二复习教材

变式3：如图，在中，/比2NC,AD1BC于D,求证：CD=AB^BD.请思考:

（1）若在切上截取D^DB,连结AE,

如何证明.

（2）若延长或到E,使BE-AB,连结

AE,是否可以证出结论.

说明：

1.作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。

因此添加底边的高是一条常用的辅助线；

2.对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，

对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。

变式4:（1）等腰三角形中，两条边的长分别为4和9,则它的周长是.

（2）等腰三角形的顶角是40°,则它的底角度数是.

（3）等腰三角形顶角的外角是130°,它的一个底角是.

（4）等腰三角形中，和顶角相邻的外角的平分线和底边的位置关系是.

（5）若一个等腰三角形有一个角为100°,则另两个角为.

（6）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角为.

考点2、等腰三角形的判定

例2：如图所示，AD^AE,BD^CE,B、D、E、C在同一线上，试判断的形状，说明理

由.（用两种不同的方法证明）

BDEC

变式1：如图，AABC中BA=BC,点D是AB延长线上一点，DF_LAC于F交BC于E,

求证：4DBE是等腰三角形.

变式2：如图，AABC中，AB=AC,ZA=36°,BD、CE分别为NABC与/ACB的角平分线,

且相交于点F,则图中的等腰三角形有（）

A.6个B.7个C.8个D.9个

变式3：如图，在△ABC中，点E在A8上，点。在上，BD=BE,NBAD=/BCE,

4。与CE相交于点尸，试判断△AFC的形状，并说明理由.

B

DC

初二复习教材

考点3：等边三角形

例3：已知：如图，4ABC为正三角形，D是BC延长线上一点，连结AD,以AD为边作等边

三角形ADE,连结CE,用你学过的知识探索AC、CD、CE三条线段的长度有何关系?试写出

探求过程.

变式1：如图，已知点B、C、D在同一条直线上，^ABC和4CDE都是等边三角形.BE

交AC于EAD交CE于H,求证：(1)ABCE^AACD.(2)ABCF^AACH

变式2：如图，在等边△ABC中，点O,E分别在边8C,A8上，且BO=AE,AO与CE

交于点F.

(1)求证：AO=CE；

(2)求NOFC的度数.

BC

D

变式3：如图，在AABC中，D在AB上，且△CAD和△CBE都是等边三角形，说明：（1）DE=AB,

（2）ZEDB=60°

本节知识可以归纳为:

等边对等角

性质＜

三线合一

腰与底边不等的等腰三角形＜

等角对等边

判定

定义

‘三边相等

等腰三角形•性质■

三角都相等

有一个角等于。的等腰

等边三角形460

三角形

判定，

三边都相等（或三角都相等）的

三角形

初二复习教材

【课后作业】

1、下列说法中，正确的有()

①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与

底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2、如果aABC的/A,NB的外角平分线分别平行于BC,AC,则△ABC是()

A.等边三角形D.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

3、在平面直角坐标系xOy中，已知A(2,-2),在y轴确定点P,使aAOP为等腰三角形，

则符合条件的点有()

A.2个D.3个C.4个D.5个

4、如图，在下列三角形中，若AB=AC,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是()

A.(1)(2)(3)B.(1)(2)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(3)(4)

5、已知等腰三角形的两边长是1cm和2cm,则这个等腰三角形的周长为cm.

6、三角形三内角的度数之比为1：2：3,最大边的长是8cm,则最小边的长是cm.

7、如图，ZA=15°,AB=BC=CD=DE=EF,则ZGEF=_.

(第7题)

8、等腰三角形的底边长为6cm,一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分

之差是3cm,那么这个等腰三角形的腰长是.

9、如图，ZABD=ZACD=60",ZADB=90°-l/2ZBDC,求证：AABC是等腰三角形。

A

BD

C

第四讲勾股定理

【中考考情】

1、勾股定理解直角三角形一般出现在6分题或者是7分题中，而且以常见直角

三角形为主。

2、考察知识点主要以解三角形，判定直角三角形为主。

【知识要点】

1、勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.

表达形式：在HAABC中，NC=9(T,NA,N8,NC的对

边分别为。也J则有：①,2=〃2+匕②/=c2-匕③/=02-/.

2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长为a,4c,满足1+b2=02,那么,

这个三角形是直角三角形。

勾股数：

(1)满足/+。2=02的三个正整数，称为勾股数.

(2)勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、

10也是勾股数。

(3)常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③88、15、17；④7、24、25；

⑤10、24、26；⑥9、40、41.

【例题解析】

考点1、勾股定理

例1：已知直角三角形ABC中，ZC=900,AB=10,BC=6,求AB边上的高。

变式1：直角三角形的两直角边为6、8,则斜边上的高等于

变式2：直角三角形的两边长为5、12,则另一边的长为。

初二复习教材

变式3：如图，已知4ABC中，AD、AE分别是BC边上的高和中线，AB=9Cm,AC=7。机，BC=8C"?,

求DE的长。

变式4：如图折叠长方形的一边BC,使点B落在AD边的F处，已知：AB=3,BC=5,

求折痕EF的长.

变式5：如图，铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄，DA垂直AB于A,CB垂直AB

于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C、D两

村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？

D

考点2、勾股定理的逆定理(直角三角形的判别条件)

例2：判断以下各组线段为边能否组成/直角三角形。111

(1)9、41、40；(2)5、5、5返(3)3、4、5.

(4)3)4\52(5)6、G、逐

变式1：如图所示，已知aDEF中，DE=17cm,EF=30cm,EF边上中线DG=8cm。

求证：4DEF是等腰三角形。

变式2：如图所示，在AABC中，D是BC上一点，AB=10,BD=6,AD=8,AC=17,

求aABC的面积。

变式3：如图，A40c和MCE都是等边三角形，N4BC=30°,试说明：

BD2=AB2+BC2

D

C

E

初二复习教材

变式4：在等腰直角三角形中，AB=AC,点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB、AC边上

的点，且DELDF。

(1)证明：ADEF是直角三角形；

(2)若BE=12,CF=5,试求ADEf的面积。

归纳总结：利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤:

①先找出最大边(如c)

②计算c?与/+〃，并验证是否相等。

若。2=1+/，则△ABC是直角三角形。

若02*/+/,则^ABC不是直角三角形。

【课后作业】

1、如图，在边长为C的正方形中，有四个斜边为C的全等直角三角形，已知其直角边长为

a,b.利用这个图试说明勾股定理？

第1题图

2、如图，四边形ABCD,已知NA=90°,AB=3,BC=13,CD=12,DA=4«求四边形的面积。

3、已知，如图，折叠长方形的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm,BC=10

cm,求EC的长

4、如图，长方形ABCD中，AB=8,BC=4,将长方形沿AC折叠，点D落在D/处，则重叠

部分4AFC的面积是多少？

D,

初二复习教材

第五讲平行四边形

【中考考情】

1、四边形这章内容是中考中的重点内容，常与函数结合起来出现在压轴题当中。

2、学好本节的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，这为解9分题做准备。

【知识要点】

1、多边形：(1)多边形的内角和：多边形内角和等于6—2)180°

(2)多边形的外角和：多边形外角和等于360°

(3)常用结论：过n边形的一个顶点共有(n—3)条对角线，n边

n(n-3)

形共有2条对角线；过n边形的一个顶点将n边形分成(n—2)个三角形。

2、平行四边形性质：

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

平行四边形的定义要抓住两点，即"四边形''和"两组对边分别平行”

平行四边形性质：(1)边的性质：对边平行且相等；

(2)角的性质：对角相等，邻角互补；

(3)对角线的性质：两条对角线互相平分；

(4)对称性：不是轴对称图形，是中心对称图形。

3、平行四边形的判定：

(1)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(定义)；

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：

(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形；

(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

【例题解析】

考点1、多边形

例1：一个多边形每一个外角都是30°,则这个多边形是()边形.

变式1：如果从一个凸多边形的一个顶点出发，一共有17条对角线，则这个多边形内角和

为()

(A)1800°(B)2400°(C)3240°(D)4206°

变式2：(1)六边形共有()条对角线.

(2)•个多边形内角和为540。，则其边数为().

(3)任意多边形的外角和为()度.

(4)一个凸多边形内角和900。，则这个多边形边数为()条.

考点2、平行四边形的性质

例2：已知：O.ABCD的对角线AC、BD相交于点0,EF过点0与AB、CD分别相交于点E、

F.求证:0E=0F,AE=CF,BE=DF.

变式1：已知四边形ABCD是平行四边形，AB=10cm,AD=8cm,AC1BC,求BC、CD、AC、0A

的长以及O.ABCD的面积.

变式2：如图12T,平行四边形ABCD中,AE1BC于E,AF1CD于F,AE=4,AF=6,周长等于24.

求:平行四边形ABCD的边长.

变式3：如图12T1,在平行四边形ABCD中,D在AB的垂直平分线DE上，若四边形ABCD的

周长为38cm,AABD的周长比四边形的周长少10cm.

求:平行四边形ABCD各边的长.

初二复习教材

变式4：如图，在ABCD中，E为BC边上•点、,且AB=AE.

(1)求证：△45C丝△EA0.

(2)若4E平分/D48,ZEAC=25°,求NAEO的度数.

考点3、平行四边形判定

例3：已知，如图，O.ABCD的对角线AC、BD交于点0,E、F是AC上的两点，并且AE=CF.求

证：四边形BFDE是平行四边形.

变式1：已知：如图，A'B'〃BA,B'C'〃CB,CA'〃AC.

求证：NABC=/B',NCAB=/A',NBCA=/C'；

变式2：如图，已知/DAB,ZEAC,/FBC都是等边三角形，求证：四边形DECF为平行四边

形。

AB

变式3：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC±,AE=CF,AF与BE交于点G,CE

与DF交于点H,求证：EF与GH互相平分。

归纳总结：

1.学过本节内容后，应掌握平行四边形的性质和判定方法，可从三方面记忆：

（1）从边看；（2）从对角线看；（3）从角看。

2.了解平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问

题.例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行

四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形

的性质去解决某些问题.

3.平行四边形的概念、性质、判定都是非常重要的基础知识，这些知识是本章的重点内容。

小结：

边

丰

富4

情

平

境

行

匚

四

边

形

初二复习教材

【课后作业】

一、选择题

1.如图1,在平行四边形4BC。中，下列各式不一定正确的是（）

A.Zl+Z2=180°B.Z2+Z3=180°

c.Z3+Z4=180°D.Z2+Z4=180°

2.如图2,在O.ABCD中，EF//AB,GH//AD,EF与GH交于点0,则该图中的平行四边

形的个数共有（）

A.7个B.8个C.9个D.11个

二、填空题

1、在平行四边形ABCD中，若/A-/B=70。，则NA=,ZB=,

NC=,ND=・

2、在O.ABCD中，AC±BD,相交于0,AC=6,BD=8,贝ijAB=,BC=.

3、如图9,O.ABCD中，DB=DC,ZC=70°,AE_LBD于E,则NDAE=度。

三、解答题

1.如图11,在O.ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点0/A0B的周长为25,AB=12,

求对角线AC与BD的和。

图11

2.已知如图12,在O.ABC。中，延长48到E,延长C£＞到F,使BE=DF,则线段4c与

EF是否互相平分？说明理由。

3.如图13,O.ABCD中，BD±AB,AB=12cm,AC=26cm,求AD、BD的长.

AD

图13

初二复习教材

第六讲特殊的平行四边形(一)

［中考考情］

1、特殊平行四边形是中考的必考题，常出现在7分题和9分题当中，以特殊的

四边形为框架来开综合考察儿何代数知识。

2、特殊四边形的性质比较多，难点在于选择有用的条件。

【知识要点】

特殊平行四边形的性质：

1、菱形

菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质：

(1)边的性质：对边平行，四条边都相等。

(2)角的性质：对角相等，邻角互补。

(3)对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平

分一组对角。

(4)对称性：是轴对称图形，有两条对称轴.也是中心对称图形。

2、矩形

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形的性质：

(1)边的性质：对边平行且相等。

(2)角的性质：四个角都是直角。

(3)对角线的性质：两条对角线互相平分且相等。

(4)对称性：是轴对称图形，有四条对称轴.也是中心对称图形称。

3、正方形

正方形性质：

(1)边的性质：对边平行，四条边都相等。

(2)角的性质：四个角都是直角。

(3)对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平

分一组对角。

(4)对称性：是轴对称图形，有四条对称轴。

【例题解析】

考点1、菱形的性质

例1：已知，如图，菱形ABCD中NB=60°；E,F在边BC,CD上，且NEAF=60°；

求证：AE=AF.

BEC

变式1：如图，在菱形ABCD中，ZB=ZEAF=60°,ZBAE=20°,求NCEF的度数。

考点2、矩形的性质

例2：如图，已知矩形ABCD的纸片沿对角线BD折叠，使C落在C'处，BC边交AD于E,

AD=4,CD=2

(1)求AE的长(2)4BED的面积

C

变式1：如图，矩形ABCD中，AD=9,AB=3,将其折叠，使其点D与点B重合，折痕为EF

求DE和EF的长。

C'

初二复习教材

变式2：已知：在矩形ABCD中，AE平分/BAD,ZA0D=120°,求：ZBOE.

考点3、正方形的性质

例3：如图1,两个正方形的边长均为1,其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心,

则两个正方形重合部分的面积为。

变式1：如图，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转30°,至正方形

AB'C'D',则旋转前后正方形重叠部分的面积是.

变式2：已知，如图，在正方形ABCD中，AC.BD相交于点0,E.F分别在OB.0C±,且

0E=0F.求证：AE±BF.

BC

变式3：如图，在正方形4夕切中，〃在■上，EFUH交AB于点E,交〃C于点E若4?=3,

BH=\,求"的长。

初二复习教材

【课后作业】

1、下列四边形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形，而且有四条对称轴的是（）.

A.平行四边形；B.矩形；C.菱形；D.正方形.

2、如图，矩形ABCD中，DE_LAC于E,且NADE：ZEDC=3：2,则NBDE的度数为（）.

A.36°；B.18°；C.27°；D.9°.

3、如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，AE=AB,则NEBC=

4、如图，正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E,使CE=AC,AE与CD交于点F,

贝叱AFC=.

第6题图第7题图第8题图

5、已知：如图，正方形ABCD,AE+CF=EF。求证：NEDF=45°。

6、已知：如图，矩形ABCD中，AE=CD,AB=2AD,求：NEBC的度数。

D,-------------E_C

AB

第七讲特殊的平行四边形(二)

［中考考情］

1、特殊平行四边形的判定在中考中考察比较灵活，各种题型和层次都有可能。

2、当特殊四边形的判定出现在9分题中时，要根据已知条件灵活选用判定方法。

【知识要点】

1、矩形

矩形的判定：

(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.

(2)对角线相等的平行四边形是矩形.

(3)有三个角是直角的四边形是矩形.

2、菱形

菱形的判定：

(1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

(2)一组邻边相等的平行四边形是菱形。

(3)四条边都相等的四边形是菱形。

3、正方形

正方形的判定：

(1)有一个角是直角的菱形是正方形。

(2)有一组邻边相等的矩形是正方形。

(3)对角线相等的菱形是正方形。

(4)对角线互相垂直的矩形是正方形。

平行四边形与特殊平行四边形的关系：

【例题解析】

考点1、矩形的判定

例1：己知点E为£7ABCD外一点，AE1EC,BE1DE,求证：L7ABCD是矩形.

BC

初二复习教材

变式1：已知，如图，等腰梯形ABCD中，AB=CD,AD〃BC,点E、F、G分别在边AB、BC、CD

上，AE=GF=GC。

(1)求证：四边形AEFG是平行四边行。

(2)当NFGC=2NEfB时，求证：四边形AEFG是矩形

考点2、菱形的判定

例2：已知：，如图，AD是aABC的角分线，DE/7AC,DF〃AB交AC于F

求证：AD1EF

变式1：己知，如图，EF是矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线，EF与对角线AC及边AD、

BC分别交于点0、E、F»

(1)求证：四边形AFCE是菱形。

(2)如果FE=2ED,求AE：ED的值。

变式2：已知，如图，在四边形165中，E为A8上一点,△?!龙和△以方都是等边三角形,

AB、BC,CD、加的中点分别为只Q、M、N,试判断四边形图㈱为怎样的四边形，并证明你

的结论.

考点3、正方形的判定

例3：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是边AB、CD的中点，AF与DE交于点H,BF

与CE交于点Go

(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；

(2)试问：当平行四边形ABCD的边满足何条件时，四边形EGFH是正方形？

变式1：已知：如图，已知平行四边形AB。。中，对角线ACBD交于点0,E是BD延

长线上的点，且△ACE是等边三角形.

(1)求证：四边形AB。。是菱形；

(2)若=求证：四边形A8CD是正

BC

图

初二复习教材

方法总结：（1）矩形和菱形的判定方法分两类：从四边形来判定和从平行四边形来判定。如

果是从一般的四边形出发来判断，可先判断是平行四边形，进而在判断为矩形或是菱形。常

用的判定方法有三种：定义和两个判定定理.遇到具体题目，可根据条件灵活选用恰当的方

法.（2）判断一个四边形是正方形，需要先判断为菱形或是矩形，然后在分别个有两种方法

判断为正方形，这需要根据题干条件来选择最优的方法.

【课后作业】

1、下列命题中正确的是（）.

A.对角线相等的四边形是矩形：

B.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；

C.对角线垂直的四边形是矩形；

D.对角线相等且垂直的四边形是矩形.

2、平行四边形ABCD的对角线AC.BD相交于点0,下列条件中，不能判定它为菱形的是（）.

A.AB=AD；B.AC1BD；

C.ZA=ZD；I）.CA平分/BCD.

3、下列命题中，真命题是（）.

A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形：

B.有一条对角线平分对角的四边形是菱形；

C.菱形是对角线互相垂直平分的四边形；

D.菱形的对角线相等.

4、如图，以aABC的边AB.AC为边的等边三角ABD和等边三角形ACE,四边形ADFE是平行

四边形.

（1）当NBAC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形？

（2）当NBAC满足什么条件时，平行四边形ADFE不存在？

（3）当△ABC分别满足什么条件时:平行四边形ADFE是菱形，正方形？

5、已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E,使CE=CG,连接BG并

延长交DE于F.将4DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE，,判断四边形E'BGD是什么

四边形？并说明理由.

课后把一下表格完成

1.平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质

边角对角线

平行四

边形

矩形

菱形

正方形

2.平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定

平行四边形

矩形

菱形

正方形

初二复习教材

第八讲梯形

【中考考情】

1、中考中一般会考一道与梯形有关的题型，一般是7分题，难度中等的几何题。

2、经常考察等腰梯形及直角梯形为背景，来进行线段长度及角度的计算或者是

证明题。

【知识要点】

1、梯形

（1）梯形定义：一组对边平行，另一组对进不平行的四边形叫梯形。

特殊的梯形：有一个角是直角的梯形叫直角梯形。两腰相等的梯形叫等腰梯

形。

（2）证明一个四边形是梯形的方法：

①证明它的一组对边平行,并且另一组对边不平行；

②证明它的一组对边平行并且不相等。

2、等腰梯形

（1）等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形

（2）等腰梯形的判定：

①先证明它是梯形,再证明一组对边不相等；

②先证明它是梯形,再证明同一底上的两个角不相等；

③先证明它是梯形,再证明两条对角线不相等。

（3）等腰梯形的性质：

①等腰梯形在同底上的两个角相等

②等腰梯形的两条对角线相等

③等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的条直线

3、直角梯形

直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。

【例题解析】

考点1、梯形

例1：如图：，已知在梯形ABCD中，AB〃CD,DE〃BC,点E在AB上且BE=4,4AED的周长是

18,求梯形ABCD的周长.

AB

变式1：如图：梯形ABCD中，对角线AC,BD相交点0,那么aAOB和的面积相等吗？

变式2：如图，已知梯形ABCD中，AD/7BC,AB=CD,NBOC=120°,AD=4,BC=8,求:

梯形面积

变式3：如图，在梯形48co中，AD//BC,CA平分NBCD,DE//AC,交的

延长线