课题：向量数量积的定义及运算率

数学学科必修4模块第二单元教学设计方案第七学时～第八学时:第一方案课题：向量数量积的定义及运算率教学目标1、知识与技能①理解平面向量数量积物理意义及其几何意义。②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。③掌握平面向量数量积的性质、运算律和几何意义。2、过程与方法通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力3、情感态度价值观利用向量具有丰富的现实背景和物理背景使学生体会数学与现实生活以及其他学科的联系，从中感受数学的应用价值。教学重点本节教学的重点是平面向量数量积的定义及性质和向量数量积的运算律教学难点对平面向量数量积的定义、性质、运算律的理解和应用教学关键利用物理背景启发学生探究向量数量积的定义，运用几何直观引导学生理解定义实质，揭示定义的几何意义教学方法将数学知识的发生发展过程和学生的数学学习过程有机结合起来，使用讲授式教学与活动式教学相结合，接受式学习和发现式学习相结合，不断引导学生的概括活动实现的。教学环节教学内容师生互动设计意图时间反思引言教师介绍数学发展历程。注意情感教育，教师引言：对问题的深入研究来源于人类对知识的永不满足，正如过去学过的实数，人们不仅认识实数的分类，还研究实数的运算，并且进一步想弄清楚运算有无规律可循，当然，幸运的是，我们有了“交换率、结合率、分配率”等等，当向量进入我们的视野时，我们与生俱来的好奇心又起作用，“向量是数吗？”“能算吗？”调动学生参与课堂学习活动的兴趣和积极性1复习提问承前启后回顾已学习的向量运算由前面的学习，我们已经知道，向量的运算要比实数的运算复杂的多，不仅有大小还要考虑方向，已经定义了向量的什么运算？这些运算的结果是什么？以加法为例说明我们是按照怎样的顺序研究这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用还可能定义什么运算？期望学生回答：向量相乘复习向量有关运算2引入新课以物理背景引入实际上，在物理课上，我们已经多多少少知道了一些：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，（1）力F所做的功W=。（2）请同学们分析这个公式的特点：W（功）是量，F（力）是量，S（位移）是量，α是。我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的；问题1：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？期望学生思考后回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。教师要让学生明白：本节课所要研究的数量积与向量的加法、减法及数乘一样，都是向量的运算，但与向量的线性运算相比，数量积运算又有其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化，运算结果是实数。学生事实上已经得到数量积概念的文字表述了，在此基础上，自然引进数量积的定义回答后归纳夹角特征：两个向量同起点，若不同起点平移至同起点。回答问题1后定义夹角：P107设计意图在于使学生了解数量积的数学背景，概念。4定义给出数量积的定义定义:已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·=︱︱·︱︱cos在此可以强调“请同学们用一句话来概括功的数学本质：显然功是力与位移的数量积”学生应用公式完成例1已知：|a|=5，|b|=4，〈a，b〉=1200，求ab注意：①=0·=0②“·”并非实数运算中的乘号，既不能写成“”也不能省略在强调记法和“规定”后，为了让学生进一步认识这一概念，提出问题问题2：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？完成下表：角的范围0°≤<90°=90°0°<≤180°·的符号不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，“补充”通过前后呼应达到强化理解、加深认识的目的。通过此环节为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫。对角的范围做好分类讨论的准备5数量积的性质探究数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量1ea=ae=|a|cos〈a，e〉2abab=0且ab=0a3aa=|a|即4cos〈a，b〉=5|ab|≤|a||b|学生分组探究，两个向量的数量积的性质，教师指导探究活动，体现特殊化的思想，数形结合思想，基本运算能力培养问题3：简要叙述性质的特征和功能1单位向量的特征？2为什么ab=0可以用于判断a、b垂直？3aa=|a|2，即的主要功能是什么？4如何求夹角？练习：P109/练习A：1（3）2（1）培养学生自主探究，引导学生动手动脑解决问题5数量积的几何意义向量在轴上的正射影定义：已知向量和轴l，作=，过点O、A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1、A1，则向量叫做向量在轴l上的正射影（简称射影），该射影在轴l上的坐标称作向量在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量由此我们知道了向量的数量积的代数定义，总感到意犹未尽，有没有几何特征呢？由上述定义我们已经得知：两个向量的数量积是一个实数，可以是正数、负数、零，其几何含义见P108/图2-50=在轴l上的正射影的坐标记作：al，向量的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数余弦定义可知：al=cosθ5应用体会公式，应用练习P108/例1：了解：向量在轴l上的正射影（向量）的坐标在轴l上的数量2向量数量积的运算律向量数量积的运算律交换律ab=ba分配律（a+b）c=ac+bcλ（ab）=（λa）b=a（λb）从数学的角度考虑，我们希望向量的数量积运算，也能像数量乘法那样满足某些运算律，从向量数量积的定义和几何意义出发，回答下列问题，课下分组探究运算律，问题3：向量问题解决思路问题4：单位向量的功能创设情境，引发思考3应用举例例3、求证：①（+）2=2+.+2②（+）•（-）=2_2例4、求证：菱形的两条对角线互相垂直（用向量解决几何问题）教师引导：考虑运用向量的数量积的性质和运算律，板书例3、求证：①（+）2=2+.+2学生证明②（提示：结论可直接应用）例4（线形运算已涉及）要求学生画出图形，已知条件转化为符号语言，并在图像上找到对应哪条有向线段？步骤：用向量表示几何关系进行向量运算还原为几何结论教师通过板书证明：针对学生比较陌生的内容，说明每部依据7随堂练习测验1、P109/练习A：1（1）2、P109/练习B：1（2）3、P111/练习A：1题号内容难度成绩自评总评1236归纳小结要点：1、体会数学知识多来源于实际需要2、区分几种运算，数量积结果是实数，联系向量与实数3、运算律不同于实数运算，不能套用，课后思考：结合律适用吗？教师引导学生回顾小结向量数量积的概念、几何意义及其运算律，总结用向量解题可以分为三步：用向量表示几何关系进行向量运算还原为几何结论帮助学生总结知识方法，便于学生系统掌握3布置作业P109/练习A：1（4）2P109/练习B：1，2P111/练习A：2，3P111/练习B：1，2学生课后独立完成分组探究（自选）：课后思考1、证明两个向量的数量积的性质？课后思考2、分组探究运算律并进行证明？课后思考3、结合律适用吗？进一步巩固本节所学知识、方法1教学