第三单元三角形课堂本13特殊

知识清单第13课 特殊三角形课前小测经典回顾中考冲刺

等腰三角形、等边三角形和直角三角形问题一直都是初中数学重点内容和难点内容，内容丰富，题型多样。广东省近5年试题规律：有关等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识点通常渗透到作图题、解答题中综合考查，题目可易可难，非常灵活，还能与图形变换结合在一起，作为较难的压轴题。知识点一 等腰三角形与等边三角形知识清单等腰三角形概念有两条边相等的三角形是等腰三角形.性质(1)等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴；(2)性质1：等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”)；(3)性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合(简写成“三线合一”).判定等角对等边.等边三角形概念有三条边相等的三角形叫做等边三角形.性质(1)具有一般等腰三角形的所有性质；(2)等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；(3)等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.判定(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.知识点二 直角三角形概念有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.性质(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；(4)勾股定理：在直角三角形中，两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.判定(1)有一个角是直角或两个锐角互余的三角形是直角三角形；(2)如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为直角三角形；(3)勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.1．（2015•荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A．8或10 B．8 C．10 D．6或122．（2015•南宁）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A．35° B．40° C．45° D．50°课前小测CA3．（2015•黄冈）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为（）A．6 B．6 C．9 D．3C4．（2015•德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（）A．60° B．45° C．30° D．75°5．（2015•广西）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，，CD经典回顾例1（2016•宁夏）在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．考点一 等腰三角形、等边三角形解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∴△EDC是等边三角形，∴DE=DC=2，在RT△DEC中，∵∠DEC=90°，DE=2，∴DF=2DE=4，∴EF===2．【变式1】（2016•贺州）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）A．12 B．16 C．20 D．16或20【变式2】（2016•龙岩）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC=

．C2例2（2016•广东）如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的长．考点二 直角三角形与勾股定理解：在Rt△ACB中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠A=90°﹣30°=60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=30°，在Rt△ACD中，AC=a，∴AD=a，由勾股定理得：CD==，同理得：FC=，CH=，在Rt△HCI中，∠I=30°，∴HI=2HC=，由勾股定理得：CI=，【变式3】（2016•百色）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（）A．6 B．6 C．6 D．123【变式4】（2016•烟台）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为

．一、选择题中考冲刺1．（2016•怀化）等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（）A．16cm B．17cm C．20cm D．16cm或20cm2．（2016•湘西州）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对CC3．（2016•赤峰）等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（）A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70°4．（2016•雅安）如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2 B．2+ C．4 D．3BA

5．（2016•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°6．（2016•泰安）如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44° B．66° C．88° D．92°DD7．（2016•内江）已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（）A． B． C． D．不能确定

B8．（2016•新疆）轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）海里．A．25 B．25 C．50 D．25D二、填空题9．（2016•徐州）若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2cm，则它的底边长为

cm．10．（2016•昆明）如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE=DF，∠F=20°，则∠B的度数为

．40°11．（2016•淮安）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是

．12．（2016•泰州）如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠β等于

．

1020°13．（2016•安顺）如图，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1=

度．

14．（2014•珠海）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA6的长度为

．

458三、解答题15．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于E．求证：∠CBE=∠BAD．证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，∴∠CBE=∠BAD．16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=60°，DE∥AB．求证：（1）DE=DC；（2）△DEC是等边三角形．证明：（1）∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，∵AB=DC，∴DE=DC．（2）∵AD∥BC，AB=DC，∠B=60°，∴∠C=∠B=60°．又∵DE=DC，∴△DEC是等边三角形．17．在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=100°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，点E是AB的中点，连接DE．（1）求∠BAD的度数；（2）求∠B的度数；（3）求线段DE的长．解：（1）∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAC=100°，∴∠BAD=50°；（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=；（3）∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD是等腰△ABC底边BC上的高，即∠ADB=90°在直角三角形ABD中，点E是AB的中点，∴DE为斜边AB边上的中线，∴DE=．18．如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．解：（1）不变．理