数理统计课后习题答案第二章

第早

1.

2e…，x>0

f（X）=

0,x<0

r+co.

E(x)=[00f(x)-xdx=2xe-xdx

J—00Jo

d(4x)

从而有

2.

l).E(x)=Zk(l-p)2P=p£k(l-p)i

X=lX=1

11

令3P=x

所以有P=T

n>%-n

〃P)=ITI—0)'"p=p"(i—P)T

2).其似然函数为泊

lnL(P)=«lnp+(^X,.-n)ln(l-p)

/=i

dinLn1/、八

—；-----=-------------('Xv,-n)=0

dpP1-Pi=\

An1

P=-----=彳

解之得&，、'

3.

解：因为总体X服从U(a,b)所以

E(x)=aD(X)=(a-b)2”!

2_12r!("-r)!

令E(X)=JTD(X)=S)

s2=-Z(x,-x)2

,n工

2

(a—b)2

--------------=32

12

a=X-V3S

b=X+x/35

4.解：(1)设“1'"2，・"”及为样本观察值则似然函数为：

L(6»)=6»"([7<x,<l,z=1,2,…,n

i=I

InL(9)=nIn0+(，-1)ZInxy

i=i

JInLn

一+XInX,.=0

d001=1

n

0n

Zin

i=i

0n

ZInX,

解之得:i=I

(2)母体X的期望

p+8flH

E(x)=[xf(x)dx=[Oxn3dx=-------

j-ooJoe+]

而样本均值为:

1«

令E(x)=又得

AV

0=—=

l-x

5.o

解：其似然函数为:

〃1-同1

s)q万e=------e

(2W

1〃令

In3)=-nln(2b)--Z|x,|=0

b,=i

A1〃

得:b=—丑闻

bi=l

(2)由于

+ocX

P+00X———广+8X___一_—r+8—

E=-----eadx=2----eadx=-xe。+eadx=(T

J—2(yJo2bJo

0

A|"1"1

E(cr)=E(一工|x/)=3W=T•n(7

nf=I所

A1"

b=-力

以“引为。的无偏估计量。

6.

解：其似然函数为：

n

)〃n巧(％—l)e一夕干

z=l

nn

InL{/3)=nkIn^+()l-l)ln(ZX,)—，ZX,

i=1i=1

d\nL(J3)=nk丫_()

dB二『Ji一

解得

。=>=小~x)=%,a工xw/3,

/=1

7.解：由题意知：均匀分布的母体平均数〃=铝=§,

方差总正<上

1212

用极大似然估计法求夕得极大似然估计量

似然函数：M/?)=fl^

0<minxi<max七<(3

/•=16(i)[^i<n

A

选取△使L达到最大取/?=maxx

国攵i

由以上结论当抽得容量为6的子样数值1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,时

「ccEin八月一2"2.2X2.2八,八“

尸=2.2即〃=匕=1.1,b=匚=-------«0.4033

21212

8.

解:取子样值为（再,%2,…尤,），（匕2。）

则似然函数为：L（，）=fje-""Xi>0

/=1

InL(^)=一2(匕一。)=+n0

(=1i=\

要使似然函数最大，则需夕取min®,/，…，£）

即0=min(x1,乙，…尤“)

9.

解：取子样值区,工2,…，％〃）（巧>。）

n-A7Xi

则其似然函数L（2）=fl&-祸=九26

lnLU)=nlnA-2^x,.七Z：=--n=—1

i=idAXj=]3X

i=l

由题中数据可知

-1

x=——(365X5+245X15+150X25+100X35+70X45+45X55+25X65)=20

1000

则A=—=0.05

20

10.设正态母体分布X的分布为N3/),试在下列情况下用子样极差估计

a：

(1)取得子样值1.5,6.2,2,3.3,2.7；

(2)取得容量为20的子样，其数值见表2-2,等分成两组，前10个和后

10个数据各为一组。

解：(1)由题中子样值及题意知：

极差/?=62-1.5=4.7

查表2-1得-!-=0.4299

“5

故2=0.4299x4.7=2.0205

(2)平均极差元=0.115,查表知工=0.3249

"10

2=0.3249x0.115=0.0455

解：设2为其母体平均数的无偏估计，则应有2=嚏

XISx=—(8x1+40x3+10x6+2x26)=4

60

即知2=4

12.

解：：X~N(〃,l)

,A12

E(X,)=A,。区)=1，(/=1,2)则E(从)=§EX1=〃

A13

既〃2)=严1+严2=〃

AJ1

+-£X=〃

Eg、EXi2

所以三个估计量小,均为〃的无偏估计

A9141415

0(〃)=D{-XX+-X2)=-DX^-DX2=-+-=-

同理可得O(Z)=：，D&)=；

o2

可知23的方差最小也亦z最有效。

13解：VX-P(2)E(X)=2,D(X)=2

*21£—、21g7—2

E(S*-)=E[--^(X;-X)]=-7b£(X,)-〃E(X)]

〃-1i=in-\日

1nQ1

=—[y(2+22)-n(-+/l2)](n2-2)=2

〃一1Mnn-1

即5*2是丸的无偏估计

又因为成文)=成[£乂,)=24力乂,)=，才用,=/1

n/=!n/=!n/=1

即又也是2的无偏估计。

又Vae[O,1JE{aX+(1-a)S*2)=aE(X)+(l-a)E(S*?)=a2+(l-2)2=2

因此a5+(l-MS*?也是4的无偏估计

14.解：由题意：X~N(〃Q2)

人”-1

因为EM)2=C£E(X,M—X,)2=C£[0(XR-X,)+(E(X,*]—XJ2]

/=1

,一[,一]

2

=C^[D(X,.+1)+D(X,)+O]=CZ2不=2C(n-l)A

i=li=l

2112

要使E。)=万只需c=――所以当c=—―时比为万的无偏估计。

2(〃+1)2(71-1)

15.证明：•.•参数。的无偏估计量为1,依赖于子样容量〃

则V£〉0,由切比雪夫不等式

vlimZ>6=0故有limp<0-0<8

n->oo«->oo

即证)为。的相合估计量。

16证明：设X服从B(N,p),则分布律为P(X=k)=c\p£(l_py

(k=l,2”..N)

这时E(X)=NPD(X)=NPQ-P)EX2=DX+(EX)2=NP(l-P)+N2P2

例4中p=工所以E(P)-g工==P(无偏)

NNN

DXNP(1—P)P(1-P)

DP=——=--------------=-------------

N2N2nN〃

罗一克拉美下界满足

；="£咛L〃CKFQ-P用『C：pK(1-P)j

/Rk=0OP

No

=汇焉(L〃CN+KLnP+(N-P)L〃(1—P))『P，(1-P)N-K

K=0OP

=唔4-守]七产(1-尸产

222

rEX2NEX-2EXN-2NEX+EX\

=n[-5----------------------------+-------------------5---------]

P-P(l-P)(1-P)2

「NP(1-P)+N2P2%2尸一NP(1—尸)一N2P2N?-2N?P+NPQ-P)+N2P2

n[--------------；--------------2------------------------；-------------+-----------------------------；------------------

P2(1—尸)(1-P)2

nN[-+-^~]

P\-P

nN

P(l-P)

所以〃=丁=蜡即.为优效估计

17.解：设总体X的密度函数

/（X）

y[27rcr

£(七-〃)2

ni(3〃)2Wr=l

似然函数为L(/)=「[上)五二(2〃/)?e2。-

I=IV2TT<T

£区-〃)2...£(々-4

2

L/?L(<T2)=--Ln2^-—Lna----------：---------典=_Jn______=0

222a2da22cr22cr4

i«

…2

(Xi))121

因为匚(陪)/x)"x=口]——e202dx

2cr42cr2V^rcr

1

[E(X-^4-E(X-^22(72+(y4]=二

4cr82b

故的罗一克拉美下界

,一24

IR=—b

n

A21«1n

又因"居”"丁吟区-⑼…

且o(/)=odt(x,「〃)2)=2/

〃r=l

22222

所以b是<7的无偏估计量且/R=D(cr)故cr是cr的优效

估计

18.

解：由题意：n=100,可以认为此为大子样,

所以U=V近似服从N(O,1)

沏

呻5}=~

2

得置信区间为(X-“a：x+ua

2VM2

已知1-a=0.95s=40x=1000查表知“0=1.96代入计算得

所求置信区间为(992.161007.84)

19.解:(1)已知b=0.01cn则由U=与幺~%(0,1)

睑

P[\U\<ua}=l-a

~2

解之得置信区间(5-g?文+(冬)

将n=16X=2.125ua-w005=1.645a=0.01

2

代入计算得置信区间(2.12092.1291)

(2)b未知丁=。£~«〃一1)

沏

P^r\<ta]=\-a

2

解得置信区间为京-白匕

2

将n=16%(15)=小5(15)=1.75352=0.00029代入计算得

2

置信区间为(2.11752.1325)。

20.o

解：用T估计法丁=口~"1)

7^

P{\T\<t^n-\)}=l-a

2

解之得置信区间(又-卷匕—s*

2

将歹=6720S*=220n=10查表/25⑼=2.2622

代入得置信区间为(6562.6186877.382)。

21.解：因n=60属于大样本且是来自(0—1)分布的总体，故由中心极限

定理知勺=”一即近似服从N(0,l)即

JnpQ-p)J印(1-p)

n(X-P)

p{

y/np(\-p)\<ua}=[-a

解得置信区间为汉-ax+

~22

本题中将力代替上式中的厅由题设条件知乙=0.25

nn

0.055查表知q=U0.o=196

n22s

代入计算的所求置信区间为(0.14040.3596)

22.

解:/未知故。=与幺~刈0,1)

岫

由P{|U|<〃a}<l-a解得

2

置信区间为汉-3〃.X+与U区)

~27n2

区间长度为学“a于是学<L

J〃22

计算得心”uJ即为所求

23.解：4未知，用力估计法

(y

P{力2a("-1)<72(〃-1)</；(〃-1)}=1—。

1---

22

解得b的置信区间为(|出二手(〃一1"2)

Xa7吟

(1)当n=10,S*=5.1时查表%嬴⑼=23.59/.995⑼=L73

代入计算得。的置信区间为(3.15011.616)

(2)当n=46,S*=14时查表7^(45)=73.166力法(45)24.311

代入计算可得b的置信区间为(10.97919.047)

24.解：(1)先求〃的置信区间由于b未知

呻|<%}=1-a

2

得置信区间为(歹-1^x+-^=ta)

Vn22

经计算X=5.12查表to025a9)=2.093n=20

S=0.2203

代入计算得置信区间为(5.10695.3131)

(2)〃未知用统计量/=生婆

b

P[X2<Z2<Z«}=l-«

1---a-——

22

得。的置信区间为(忸平反叵)

查表Z0.025(19)=32.85/975(19)=8.91

代入计算得。的置信区间为(0.16750.3217)

25.解：因x.”与X|,乂2,…x”相互独立，所以x“+i与无相互独立，故

—1,

X"+「X~N(0,(l+-)/)

n

又因£~/(〃」)且与X向-歹相互独立，有T分布的定义知

(7

—X

~t(n-1)

nSn+1

(n-l)cr2

26.

解：因X,~N(四,1)z=l,2,...mYj~NJ=

所以a(又一外)~N(0,艾匚)，伙歹一〃2)~N(0,左二)

mn

由于k与t相互独立，则

a(M-4)+伙歹一外)~^[0,(—+4)]

mn

即吟上丝二@~N(0,l)又因注~/(〃一1)

、可°°°

Vmn

22

则生+二~/。”+“—2)

(J(7

a(X-〃])+/()一4)a(X"+1(y〃2)

构造t分布〜t(m+n-2)

27.

证明：因抽取n>45为大子样

2(〃一I)二2

Z=----2-----------Z(«-1)

(T

由/分布的性质3知

U=*「(”<近似服从正态分布N(0,l)

,2(〃-1)

所以P{|t/|<Mf)=l-a

(n-1)52

一("

Z2-(H-D1)

得<Mf或<z/f

J2(n-1)

可得，的置信区间为

22

SS

28.

解：因未知，故用了统计量

［一〃2),0、

T=----------1-------t(n+m-2)

S产

Vnm

其中S：,=("一1汨+(加一1应而a=0.05n+m-2

n+m-2

查表fo必⑷=2.144

计算X=81.625F=76.125

s；=145.695,s}=101.554,sj=123.625代入得

X-Y±t^(n+m-2)su,J-+—=5.5±11.9237

vnm

故得置信区间(-6.4237,17.4237)

29

解：因cr；=cr；=cr?故用T统计量

T=乂八一匕上^々!〜”_2)其中SJ=(〃-1)S0+(…s?2

/11n十m—2

一十一

Vnm

P<|T|<ta>=l-a

计算得置信区间为

A

(X-XB-Swta(n+，”-2)J—d—XA-XB+Swta(n+m-2)J—H—)

2Vnmjvnm

把S『=0.000006571%⑺=2364

代入可得所求置信区间为(-0.0020160.008616)。

30.解：由题意用U统计量

U='|二，2二(勺-必)~N(0』)

不

Vnm

P{\u\}<«J=l-a计算得置信区间为

2

把外=1-71工=1.67=0.0352^2=00382〃=加=10()

"a="0025=196代入计算得置信区间(-0.0299,0.0501)

31.解：由题意，小,吃未知，则

q*22q*2

Hn-

经计算得尸卜a(n2-1,,-1)-4-<—T<~^\-I)

IS；以IS；J

2(《*2S*2、

解得翌•的置信区间为F&(〃2-1,勺-1)—^，/乂〃,-1)」7

%=6“2=9S「=0.245S；=0357a=0.05

查表：F0025(5,8)=4.82稣97565)==士=0.207

△o.O25。，3)

2

带入计算得飞的置信区间为：(0.142,4.639)。

%

32.

解：/未知，则T=£^~/(〃一1)即：P[T<ta(n-l)}=l-a

/G

有：尸[〃>又-〃(〃-1)4=]=1-。则单侧置信下限为：K-心("-1)4=

Jyjn

将兄=6720S*=220〃=10/5⑼=1§33带入计算得6592.471

即钢索所能承受平均张力在概率为95%的置信度下的置信下限为

6592.471o

33.解：总体服从(0,1)分布且样本容量n=100为大子样。

令文为样本均值，由中心极限定理

〜N(0,l)又因为^=S2所以

则相应的单侧置信区间为(-8,X+.&J

Vn

2

将又=0.065=-(1-—)=0.6x0.94%="005=1645

nn

代入计算得所求置信上限为0.0991

即为这批货物次品率在置信概率为95%情况下置信上限为0.0991。

2

22

34.解：由题意:X=——半---/2(H-1)P{X>Z2i-a(n-l))=1-a

(J~

解得b的单侧置信上限为J("DS*2

其中n=10,S'=45,查表/("-1)=%；95(9)=3.325

代入计算得。的单侧置信上限为74.035o

第五章

第五章

1.通过原点的一元回归的线性模型为工=Ax,.+与，i=1,2,…,”其中各与相互独立，并

且都服从正态分布N（0,b2）。试由〃组观测值（七,yj,i=l,2,，用最小二乘法估计

B，并用矩法估计

解：

对一元回归的线性模型为Yi=px,+与i=1,2,…,n

离差平方和为

。=£（兀一£七『

1=1

对。求一的偏导数，并令其为0,即

£（y一网）七=°

1=1

1"[〃

变换得*看3夕卒

解此方程得/=星

X2

22

因为<y=Ds=Es0=y-/3xi

所以

1(AA2

=一2片一2,外必+/X；

〃/=1I

2

=y2-20xy+Px2

其中

2.在考察硝酸钠的可溶性程度时,对一系列不同温度观察它在100m/的水中溶解的硝酸钠的

重量，获得观察结果如下：

温度

0410152129365168

Xi

重量

66.771.076.380.685.792.999.4113.6125.1

y

从经验和理论知匕和可之间有下述关系式匕=a+£菁+与，i=1,2,…,9

其中各与相互独立，并且都服从正态分布N(0,C2)。试用最小二乘法估计参数a,夕，并

用矩法估计。2

解：

将最=267=90.14药=2736.511欣=451.11m；=342.665

代入得

nxy-xy2736.511—26x90.14

=0.8706

451.11

a=y-/7x=90.14-0.8706x26=67.5088

A八2

(y2=m；-pzn；=342.665-0.87062x451.11=0.7487

3.为了得到一元线性回归分析的简化计算法，作变换％=土二=上二包,i=l,2,,

4do

且4=0,470。若原经验回归直线方程为;=A+2x变换后经验回归直线方程为

丫=&+/〃试证2=，/,&="0&+(?0-，2《，并且

••、2

n(AAA2M(AA

Xy,—a—=d；Zv,.-a-p%

1=]\J;=1\7

证明:

d()uv-uv

,7-«2

力厂祖…)

■t^-u)2

i=l

d。人XLTH")

42

U]i=l

斗，-加T

'i(x,-x)2

i=l

A

=B

d°a+0-与。G

=%丫-)u+c--j-/

4/0晨\

—A，—Q、

=dv+c-dP"+一

()0nI4

/

=—y-，d£八x一

4

=丫_一A八_

A

=a

n(A1人,y

v.-a-p«,.

i=l\7

、2

=E〃匕一4。一分〃叫

i=lI

/

nA'A'（七一。）［

=Z6

/=1_4.

,•\2

=XyUo屋与3%+请2。

=£(%工_/七)

4.为了研究纱的品质指标与支数之间的数量关系,进行有关试验，得20对数据如下:

支数再19.8320.2421.1023.8524.4725.0828.47

品质指标

2466250123902450235023962331

y

支数占35.2035.7439.7741.3042.2045.8747.83

品质指标

2203215921372092208220602025

X-

支数千29.2829.7633.9349.1356.4657.55

品质指标

229722852238204018651857

y

画出点图。从经验知匕与西之间有关系式匕=a+£菁+q,i=1,2,…,20其中各与相互独

立，而且都服从分布%（0,。2）。试用最小二乘法估计a、0，并求a?的无偏估计量的值。

2600-1

2500-■

■■

2400-.■

■.

品2300-、

质■

指2200-■

震.-.

2100-■.

■■

2000-B

1900-

■■

1800-1-.—।­.~~।­.~।―--।~~--।~~--।―■—।――1~~•—)―•

15202530354045505560

支数

解：

将x=35.3531=2211.2xy=76061.676m；=132.130咸=34527.46

代入

孙一xy76061.676-35.353x2211.2

B=-15.98

132.130

a=y_尸x=2211.2+15.98x35.353=2776.14

八人2

6=i仁一。咸=34527.46-(-15.98)-xl32.13O=786.69

为O-的无偏估计量

n'20

a2----a2=—786.69=874.10

〃一218

5.某医院用光电比色计检验尿汞时•，得尿汞含量(mg//)与消光系数读数的结果如下:

尿汞含量七246810

消光系数X64138205285360

已知它们之间有关系式匕=a+/?x,.+与,i=l,2,…，〃其中弓7V(O,cr2),且各与相互独

立，试求a,尸的最小二乘法估计，并在显著水平0.05下检验夕是否为38。

解:

将x=6y=210.4五=1558咸=8咸=10929.84

代入得

xy-xy_1558-6x210.4

36.95

欣8

a=y一£x=210.4—36.95x6=—11.3

|(10929.84-36.952X8)=12.37

n-2

『=3.517

假设”0：尸=38H\：/3#38

用T检验法拒绝域为

2

i~x，2(〃-2)

查表得-0=3.1824

将上血的数据代入得

M=1.89<f0025(3)

所以接受4°即认为尸为38

6.下表列出在不同质量下6根弹簧的长度:

质量X51015202530

长度y7.258.128.959.9010.911.8

（1）试将这六对观测值用点画在坐标纸上，直观上能否认为长度对于质量的回归是线性的;

（2）写出经验回归直线方程；

（3）试在x=16时作出y的95%预测区间。

解：

（1）山散点图看，x的回归函数具有线性函数形式，认为长度对于质量的回归是线性的。

12-

11-

10-

赵.

坐C

9-

8-

7-

51015202530

质量

(2)将嚏=17.5y=9.49盯=179.37底=72.92咸=2.45

n_xy-xy179.37-17.5x9.49八

代入得P—2-0.]X2

72.92

2=3—/嚏=9.49-0.182x17.5=6.305

y=a+/3x-6.305+0.182x

(3)当x=16时y0=a+16b+s0

由T分布定义

4-a-fix。

<ho25(〃-2)>=0.95

所以外的预测区间为

AA

,=+/%+^0.025

。+/7X。—10025(〃—2)(7(n-2)cr

查表得ho25(4)=2.776

将(2)的数据代入得

</2=-^<T2(2.45-0.1822x72.92)=0.0075

。*=0.0866

计算得E的预测区间为(8.9521,9.4721)

7.具有重复试验的一元线性回归表述如下：对变量x,y作〃次试验，自变量x取不同值

Xt,X2,---,Xr;在每一个X=X］上对y作/次试验观察，它的观测值为为，必2,…加，而

£叫=n。一元回归的线性模型为/=&+，£+£,厂/=1,2,…i=l,2,…/试求a,

1=1

£的最小二乘估计。

8.对于自变量和因变量都分组的情形，经验回归直线的配置方法如下：对x和y作〃次试验

得“对试验值，把自变量的试验值分成r组，组中值记为菁,马,…,天，各组以组中值为代

表；把因变量的试验值分为s组，组中值记为,，为，…,乂，同样地各组以组中值为代表。

_s

如果(x,y)取有吗对，i=l,2,…,r,j=l,2,…,s；而〃。用最小二

/=1j=\

乘法配直线y=c+，x,试求a,,的估计量。

9.对变量X、丫作试验得到50对观察值，列表如下:

2.57.512.517.522.527.532.537.5

A\

7.512.517.522.527.532.537.542.5

9011021

1101303