选修一《空间向量及其运算》复习与同步训练（含答案解析）

《1.1空间向量及其运算》考点复习

【思维导图】

空间向量在空间中具有大小和方向的量

模或长度空间向量的大小

小写字母加箭头

空间向量的表示

两个大写字母加箭头

基

本零向量长度为0的向量

概

念单位向量模长为1的向量

相反向量长度相等且方向相反的向量

空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合

共线向量(平行向量)J--------------------------------------------------------

-----------------零向量与任意向量平行

相等向量方向相同且模相等的向量

空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量不一定共面

如果两个向量[，不共线，那么向麻与向量£6共面的

充要条件是存在唯一的有序实数对(x.y)使p=xa+y，

若点尸在平面4弘i内，。是平面胸外的任意一点，则丽=x6i+y而+z左且x+3+z=l

三种思路

舄于基间三点P,A,B可通过证明下列结论来证明三点共线.

(1)存在实数入，使=人成立.

(2)对空间任一点0,有=+1;(1;^[0.

(3)对空间任一点0,有=*+丫(x+y=l).

已知两个非零向量a,b,JB知N»[cos<4»>叫/a,。的数量积，记作aS,即a・b=|a"|cos<40>

数运算律1(2a)d=2(ab)

量

积运箕律2(交换律)a-b-ba

运

算

运算律3(分配律)a(b+c)=ab+ac

若。,。是3图向量,则alftoa6=0

【常见考法】

考点一概念的辨析

［例1］下列命题中，假命题是（）

A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

C.只有零向量的模等于0

D.共线的单位向量都相等

【一隅三反】

1.（在下列命题中：

①若向量25共线，则万,5所在的直线平行；

②若向量优B所在的直线是异面直线，则万,5一定不共面；

③若三个向量反尻不两两共面，则瓦A5三个向量一定也共面；

④己知三个向量瓦c,则空间任意一个向量力总可以唯一表示为"=》万++z（5.

其中正确命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

2.在下列命题中：

①若7、B共线，则Z、B所在的直线平行；

②若［、B所在的直线是异面直线，则3、B一定不共面；

③若3、B、2三向量两两共面，则7、B、之三向量一定也共面；

④已知三向量£、h'c＞则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=xa+yB+zc.

其中正确命题的个数为（)

考点二空间向量的线性运算

【例2】在四面体ABCO中，点尸在4)上，且A尸=2ED，E为BC中点,则石尸等于

()

TT1-2T-*1f1f2f

A.EF=AC+-AB——ADB,,EF=——AC——AB+-AD

23223

T11->2T->1T1T2-

C.EF=-AC——AB+-ADD,,EF=——AC+-AB——AD

223223

A

B工-----匕--------分D

c

【一隅三反】

1.如图，空间四边形。43C中，OA=a,OB=b,OC=c,且BN=NC,

则MN=（）

2-2-1-1-11-2-11-

A.-a-^—b+—cB.—a+一。r——cC.——a+—r。+—cI).-a--b+-c

332222322232

2.在平行六面体ABCO-AgCQi中，M为AQ与BQ的交点，若而=£,而=尻

瓯="，则与两相等的向量是（）

A.-a+-bcB.--a--b+cC.-a--b+cD.--a+-b+c

22+222222

3.如图，在空间四边形ABCD中，设E,F分别是BC,CD的中点，则赤+g（比-而）

等于（）

A-ADB.FAC.AFD.而

考点三空间向量的共面问题

【例3】在下列条件中，使“与A，B,C一定共面的是（）

A.OM=OA-OB-OCB.OM^-OA+-OB+-OC

532

C.MA+MB+MC=OD.OM+OA+OB+OC^O

【一隅三反】

一3一1一一

1.0为空间中任意一点，A,B,C三点不共线，且。尸=一。4+-。8+，。。，若P,A,B,

48

C四点共面，则实数1=.

___一1一1一

2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点0,有0M=xQA+-08+-0C,则x

33

3.空间A、B、C,。四点共面，但任意三点不共线，若尸为该平面外一点且

m=3万一1］一,而，则实数x的值为（）

33

1122

A.-B.—C.-D.---

3333

4.己知平行四边形ABCD从平面AC外一点0引向量.OE=kOA,OF=kOB,

OG=kOC,OH=kOD-求证：四点E,F,G,II共面

考点四空间向量的数量积

【例4】已知平行六面体ABCD-A'B'CD'中，AB=4,AD=3,AA'=5,/BAD=90°,

NBAA'=ZDAA;=60°.

（1）求AC'的长；（如图所示）

（2）求而与衣的夹角的余弦值.

【一隅三反】

1.平行六面体ABCD-ABCD中，向量AB,AD,反正两两的夹角均为60°,且|瓶|=1,|瓦§

1=2"防1=3,则|延|等于（）

A.5B.6C.4D.8

2.四棱柱ABC。—44Goi的底面A3C£＞为矩形，A3=2,AD=4,44,=6,

NA,AB=NA40=60,则4G的长为（）

A.872B.46C.2A/23D.32

3.若空间四边形0U?C的四个面均为等边三角形，则cos（砺，团）的值为（）

A.—B.—C.--D.0

222

4.Bq_L平面ABC,且aABC是NB=90°的等腰直角三角形，可46（：的对角

线都分别相互垂直且相等，若AB=a,求异面直线84与AC所成的角.

U.1空间向量及其运算》考点复习答案解析

考点一概念的辨析

【例1】下列命题中，假命题是（）

A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

C.只有零向量的模等于0

D.共线的单位向量都相等

【答案】D

【解析】A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题.

B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题.

C.零向量：模长为0的向量.真命题.

D.共线的单位向量是相等向量或相反向量.假命题.故选：D.

【一隅三反】

1.在卜列命题中：

①若向量万,5共线，则所在的直线平行；

②若向量万,5所在的直线是异面直线，则万,5一定不共面；

③若三个向量方,尻5两两共面，则万，尻乙三个向量一定也共面；

④已知三个向量万万，c,则空间任意一个向量月总可以唯一表示为万=xG+y6+z3.

其中正确命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】此题考查向量的知识点；对于①：根据两向量共线定义知道，两向量共线有可能两

向量所在的直线重合，所以此命题错误；对于②：两个向量可以平移到一个平面内，所以此

命题错误；对于③：若三个向量25］两两共面，这三个向量有可能不共面，所以此命题

错误；对于④：根据空间向量的基本定理知道，这三个向量要不共面才可以，所以此命题错

误，所以选A

2.在卜列命题中：

①若7、B共线，则3、B所在的直线平行；

②若3、B所在的直线是异面直线，则7、B一定不共面；

③若7、B、Z•三向量两两共面，则7、B、2三向量一定也共面；

④已知三向量£、b'c＞则空间任意一个向量万总可以唯一表示为p=xa+）石+zc.

其中正确命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】①若）、坂共线，则）、坂所在的直线平行或重合；所以①错；

②因为向量是可以自由移动的量，因此即使£、区所在的直线是异面直线，£、坂也可以共

面；所以②错;

③若1、5、2三向量两两共面，因为两平面的关系不确定，因此3、5、2三向量不一定

共面；所以③错；

④若三向量］、b、"共面，若向量p不在该平面内，则向量p不能表示为〃=xa+yb+zc,

所以④错.

故选：A.

考点二空间向量的线性运算

【例2】在四面体4BCD中，点尸在A£＞匕且A尸=2ED，E为BC中点，则石产等于

ff1T2f

A.EF=AC+-AB——ADB.EF=--

2

f1f1f2

C.EF=-AC——AB+-ADD.EF=—

【答案】B

【解析】在四面体ABC。中，点厂在AO上，且AF=2ED，E为中点，所以

EF=EB+BA+AF

]f->2T2f->]->1->2

=-AB-AC\-AB+-AD=--AC一一AB+-AD,即EE=一—AC一一AB+-AD.

2kJ3223223

故选：B.

根据三角形法则与平行四边形法则以及空间向量的加减法进行转化，一定要看最后是谁来表示。

【一隅三反】

1.如图，空间四边形。43C中，OA=a,OB=b,OC=c,且OM=2M4,BN=NC,

则MM=（)

B.^-a+-b--cC.-1a+-b+-cD.^a--b+-c

2322232

【答案】c

【解析】因为丽=丽一加，又因为

丽=|丽=|£,丽=g（而+无）=/+',

----2-1-1-

所以MN=-一〃+—〃+—c.故选：C

322

2.在平行六面体ABC。-44GA中，M为4G与42的交点，若福=£,而=小

1-1r-l-ly-1-17•―

A.—a+—b+cB.——a——b+cC.—a——b+cD.--a-b+c

2222222+2

【答案】D

【解析】根据空间向量的线性运算可知

因为血=£,布=尻A\=c,则A4j+；(—48+AO)=-；a+；B+c即

BM=——a+—b+c，

22

故选:D.

3.如图，在空间四边形ABCD中，设E,F分别是BC,CD的中点，则而+；（BC-BD）

等于（）

A.ADB-FAC.AFD.EF

【答案】C

_.1—.—>1—,—.1

+

【解析】BC-BD=DC<-(BC-BD)=-DC=DF,-'-AD-(BC「Bb)

=AD+DF=AF-

故选C.

考点三空间向量的共面问题

【例3】在下列条件中，使“与A，B,C一定共面的是（）

A.OM=OA-OB-OCB.OM=-OA+-OB+-OC

532

C.MA+MB+MC=QD.OM+OA+OB+OC=0

【答案】C

【解析】对于A选项，由于1_1一l=_lwl，所以不能得出M,A,8,C共面.

对于B选项，由于,+工+，声1,所以不能得出共面.

532

对于C选项，由于必=一荻一就，则冠4,M反碇为共面向量，所以M,AB,C共面.

对于D选项，由南+砺+而+反=。得病=—砺—砺一反，而一1一1一1=一3工1,

所以不能得出",A,氏C共面.故选：C

jM与A,B,C一定共面的充要条件是两=xE+y而+z芯,x+y+z=l,

【一隅三反】

——3一1——

1.0为空间中任意一点，A,B,C三点不共线，且。尸=二。4+—OB+fOC,若P,A,B,

48

C四点共面，则实数t=_^

【答案】|

O

—3—1——311

【解析】P,A,B,C四点共面，且。P=?OA+—OB+fOC,-+-+t=\,解得f=—.

48488

故答案为：!

2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点0,有。面=*砺+工。豆则x

33

【答案】!

3

【解析】已知两=8函+,而+，花且M,A,B,C四点共面，

33

则％+,+'=1,解得x=!

333

3.空间A、B、C、。四点共面，但任意三点不共线，若P为该平面外一点且

刀=Wp月一xR?—!尸力，则实数x的值为（）

33

1122

A.-B.——C.-D.--

3333

【答案】A

【解析】因为空间A、B、C、。四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点P都有

PA=-PB-xPC--PD,所以x—1=1,解得x=L故选A

33333

4.已知平行四边形ABCD从平面AC外一点。引向量.加=k6A,OF^kOB'

OG=kOC,OH=kOD-求证:四点E,F,G,H共面

0

/A

【答案】证明见解析

【解析】

OE=kOA,OF=kOB^

EF//AB,且EF=|k|AB；

同理HG〃DC,且HG=|k|DC,AB=DC；

.-.EF//HG,且EF=HG；

四边形EFGH为平行四边形;

四点E,F,G,H共面.

考点四空间向量的数量积

【例4】已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=4,AD=3,AA'=5,NBAD=90°,

ZBAA*=ZDAAZ=60°.

(1)求AC'的长；(如图所示)

（2）求而与衣的夹角的余弦值.

【答案】（1）底;（2）叵

10

【解析】（1）可得而=*+营=通+通+欣，

|而j=府+而+祈上病+而2+府+2（福.布+彷丽^亚.而）

=42+32+52+2（4X3X0+4X5x-+3x5x1）=85

22

故AC'的长等于=

（2）由（1）可知葡=A»+击+用4；，|前1=每

故而•/=AB+AD+AAy'<AB+AD）

=AB2+2ABAD+AD2+AA1-AB+A^-AD

,,1185

=422X4X3X0+32+5X4X-+5X3X-=—

+222

又依卜《AB+AD)=JAB2+2AB-AD+AD2=V42+0+32=5

___ACAC85而

故而与的夹角的余弦值=_2_-—

孝77=10

求两个向量的夹角有两种方法：

方法一：

⑴结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小

a•b

⑵先求a•仇再利用公式cos（a-b）=不斤讦求cos{a,b）,最后确定〈a,b）

方法二：

!①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量（即直线的方向向量）

!②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题

③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小

【一隅三反】

1.平行六面体ABCD-ABCD中，向量AB,AD,AA］两两的夹角均为60°,且1工豆1=1,

1=2,|瓯|=3,则属'I等于（）

A.5B.6C.4D.8

【答案】A

【解析】在平行六面体ABCD-ABCD中有，AQ=AB+AD+CC^=AB+AD+AA^

所以有|相卜|福+丽+丽|,于是有|画通+而+丽（

国卜

网2+1时+画『+2画J砌•cos60。+2网.研•cos60。+2西.|砌•cos60。

=25

所以|相|=5,答案选A

2.四棱柱ABC。-48cA的底面4BCO为矩形，AB=2,AD=4,AA,=6,

NAAB=NAAO=60,则AC,的长为（）

A.8&B.46C.2723D.32

【答案】C

【解析】由延=恁+①'，瓯,J=衣：^（AC+Cq）2=AC2+2ACCQ+CQ2.

由底面43c。为矩形得；而之=4+16=20,西2=36,另；ZA.AB=ZAlAD=6（Y,

2ACCC,=2（AB+BC）C^>ABGC,=2x6xcos60°=6,BCCC；=12

西（=20+36+36=92,J碉=2后

3.若空间四边形。RC的四个面均为等边三角形，则cos（砺，耳心）的值为（）

151

A.—B.—C.——D.0

222

【答案】D

【解析】依题意空间四边形。43C的四个面均为等边三角形，设棱长均为“.

而86=0（?—。月,

则方•（反一丽）=砺.无一丽.砺=a2.cos&_/.cos生=0

/一一\OA.BCO^\OC-OB

所以3仍,”国届二网忖=0.故选：D

4.切51，平面ABC,且aABC是NB=90°的等腰直角三角形，口八旦人出、口B4gC的对角

线都分别相互垂直且相等，若AB=a,求异面直线B4与AC所成的角.

【答案】60°

【解析】如图所示.

因为瓯=丽+瓯，恁=通+与心

故好/=（丽+瓯）•（通+网=丽•通+丽衣+瓯荏+断而

因为AB_LBC,BB为AB,BB,±BC,

故近•觉=0,瓯•丽=0,瓯灰=0,丽=

故明./=-〃

又既衣=|瓯H同cos（M，码

故C0S（5A，AC）=—7=-^~l=-!.

''V2tzx\j2a2

而（现,恁）«0,句，故可得＜86,恁＞=12（）。，

又♦.•异面直线所成的角是锐角或直角，

.•.异面直线BAi与AC成60°角.

《1.1空间向量及其运算》同步练习

【题组一概念的辨析】

1.在下列结论中：

①若向量£石共线，则向量£出所在的直线平行；

②若向量4,B所在的直线为异面直线，则向量。力一定不共面；

③若三个向量a,瓦c两两共面，则向量a,瓦c共面；

④己知空间的三个向量G,反人则对于空间的任意一个向量万总存在实数x,y,z使得

p-xa+yb+zc-

其中正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

2.下列说法中正确的是（）

A.若同=|可，则£,万的长度相等，方向相同或相反

B.若向量£是向量石的相反向量，则同=|同

C.空间向量的减法满足结合律

D.在四边形ABCO中，一定有通+而=而

3.给出下列命题：

①若空间向量万万满足同=W，则M=

②空间任意两个单位向量必相等；

③对于非零向量c，由M=5•乙，则M=

rrrrrr

④在向量的数量积运算中（a-c=a{z6c）.

其中假命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

4.给出以下结论：

①空间任意两个共起点的向量是共面的；

②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；

③空间向量的加法满足结合律：（1+5）+3=2+（6+忑）；

④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.

请将正确的说法题号填在横线上：

【题组二空间向量的线性运算】

1.如图，在正方体ABCD-中，点M,N分别是面对角线A.B与BD的中点，若方

=a,DC=b,DD.=c,则MN=()

、________fi

0

4k----”

1,、1,、

A.-(zc+b-a)B.-(za+b-c)

1.、1、

C.一(a—c)D.—(zc-ci)

2

2.在四面体ABC。中，点F在A。上,且=E为BC中点,则石尸等于()

A

c

A.EF=-AC+-AB--ADB.EF=--AC--AB+-AD

223223

cD.EF=一一AC+-AB一一AD

-223

3.如图所示，在空间四边形Q43C中，OAF=a,OB=b,OC=c>点M在。4上，且

UULttLIUU1.

OM=2MA,N为BC中热,则MN=()

B

1_21_2_11_

A.—a——br+—cB.——a+—br+—c

232322

1_11-22-1

C.-a-\•一br——cD.——a+—b——c

222332

4.如图，平行六面体ABC。-A用G。中，AC与BO的交点为M，设通=Z，而=万,

羽=6，则下列选项中与向量函相等的是（）

11_

B.—a+—br+c

22

11

D.-a+—br-c

22

5.如图，在空间四边形ABCD中，E,M,N分别是边BC,BD,CD的中点，DE,MN交于F点,

则工通/+丽=（）

22

A-ADB.AFC.MI）.EM

6.平行六面体ABC。—44G2中，AiM=2MC,AM=xAB+yAD+zAA^,则实数

x,y,z的值分别为（）

122212221212

A.一,—,—B.—,一,—C.—,一,—D.一,一,一

333333333323

7.如图，已知空间四边形。46C,其对角线为08,AC,M,N分别是对边08,AC的中

点，点G在线段上，砺=23月，现用基向量），砺，能表示向量砺，设

OG^xOA+yOB+zOC,则x，V，z的值分别是（)

8.在正方体ABCD—ABCD中，已知下列各式：①（而+就）+反“②（丽+耳»）

________________UULM1____________UUUUUUU

+AG；③（而+BBJ+B&；④（A&+44）+4G.其中运算的结果为AC|的有

个.

9.在四面体ABC。中，E、G分别是CO、BE的中点，若记几;=>AD=b'AC'

则公

10.已知正方体ABCD—ABCD中，若点F是侧面Cl%的中心，且AF=AZ>+AHAB-〃A4,

则m,n的值分别为（）

11111

A.——，———B.———，-c£D.—,—

222~2--11222

【题组三空间向量的共面问题】

1.AB,C,D是空间四点，有以下条件:

①团=5X+1而近；@OD=-OA+-OB+-OC；

23234

—■1--1--1—.

(§)OD=-OA+-OB+-OC；④OD=—OA+—OB+—OC,

235236

能使A,B,C,D四点一定共面的条件是

2.设空间任意一点。和不共线三点AB,C,且点P满足向量关系

LIL1LUUUUULIL1UI

OP=xOA+yOB+zOC>若P,AB,C四点共面，则x+y+z=

3.对于空间任意一点。和不共线的三点A，B,C,有如下关系：60P=0A+20B+30C，

贝（）

A.四点。，A，B,C必共面B.四点P,A，B,C必共面

C.四点。，P,B,C必共面D.五点。，P,A，B,C必共面

4.对于空间任意一点0和不共线的三点A,B,C,有如下关系：6OP^OA+2OB+30C>

则（）

A.四点0,A,B,C必共面B.四点P,A,B,C必共面

C.四点0,P,B,C必共面1）.五点0,P,A,B,C必共面

5.。为空间任意一点，三点不共线，若存=,丽+‘丽+,元，则A,8,C,P四

326

点（）

A.一定不共面B.不一定共面

C.一定共面D.无法判断

6.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点。，下列条件中能确定点M与

点A、B、C一定共面的是（）

______________1—.]_.1__.

A.OM^OA+OB+OCB.OM=-OA+-OB+-OC

____—,1_.1_____________

c.OM=OA+-OB+-OCD.OM^WA-OB-OC

——3—1—1__

7.已知。为空间任意一点，若OP=—OA+zOB+gOC,则A8,C,P四点（）

488

A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.无法判断

【题组四空间向量的数量积】

1.如图，平行六面体ABC。—44G2中，A5=AO=A4=1,ZBAD^ZBAA,=120°,

ZDAA,=60°,则AC}=()

DIK—

\M

D'

AB

A.1B.2C.由D.V2

TT

2.如图，平行六面体ABC。一4耳CQi中，AB=5,A£>=3,M=7,ZBAD=-,

7t

N84A=ND4A=-,则AG的长为.

3.如图，M、N分别是四面体0U3C的棱Q4、的中点，P、。是MN的三等分点.(1)

用向量次,0B，反表示而和丽.(2)若四面体。钻C的所有棱长都等于1,求

。户.0。的值.

4..如图，三棱柱ABC-4与£中，底面边长和侧棱长都等于1,ZBA4,=NCA4,=60°.

(1)设羽=G,AB=b，AC=c＞用向量M，5，%表示Bg,并求出BG的长度;

(2)求异面直线A片与8G所成角的余弦值.

5.如图，三棱柱ABC-A4G中，底面边长和侧棱长都相等，ZBA4,=ZCA4,=60°,

则异面直线AB,与BC,所成角的余弦值为

c

6.如图，已知线段AB_L平面a,BCca,CD_LBC,I）卜」平面a,且/DCF=30°,D与A在

a的同侧，若AB=BC=CD=2,求A,D两点间的距离.

《1.1空间向量及其运算》同步练习答案解析

【题组一概念的辨析】

1.在下列结论中：

①若向量£出共线，则向量£出所在的直线平行；

②若向量£,石所在的直线为异面直线，则向量£出一定不共面；

③若三个向量a,瓦c两两共面，则向量a,瓦c共面；

④己知空间的三个向量瓦入则对于空间的任意一个向量万总存在实数x,y,z使得

p—xa+yb+zc-

其中正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错.

两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错，

三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥P-A3C中，丽，丽,无两两共面，

但它们不是共面向量，故③错,根据空间向量基本定理，需不共面，故④错.综上,

选A.

2,下列说法中正确的是（）

A.若同=网，则£,石的长度相等，方向相同或相反

B.若向量£是向量石的相反向量，则同=问

C.空间向量的减法满足结合律

D.在四边形ABC。中，一定有福+而=3。

【答案】B

【解析】对于A,向量的模相等指的是向量的长度相等,方向具有不确定性,因而不一定方向

相同或相反,所以A错误.对于B,相反向量指的是大小相等,方向相反的两个向量.因而相反

向量满足模长相等，所以B正确.

对于&减法结合律指的是£-0-0=伍-4-*因而由运算可得空间向量减法不满足结

合律.所以C错误.对于D满足通+而=前的一定是平行四边形,一般四边形是不满足的，

因而D错误.

综上可知，正确的为B,故选:B

3.给出下列命题：

①若空间向量万万满足同=W，则M=

②空间任意两个单位向量必相等；

③对于非零向量c，由a=5•乙，则M=

rrrrrr

④在向量的数量积运算中『为）-c=a{z6c）.

其中假命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】对于①，空间向量的方向不一定相同，即1=5不一定成立，故①错误；

对于②，单位向量的方向不一定相同，故②错误；

对于③，取3=（0,取0）,B=（l,0,0）,c=（0,1,0）,满足==且2,但

「I*rrrr

是万wb，故③错误；对于④，因为和力；都是常数，所以9乃"和表示两

个向量，若M和^方向不同

则和a•e-c）不相等，故④错误.故选：D.

4.给出以下结论：

①空间任意两个共起点的向量是共面的；

②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；

③空间向量的加法满足结合律：伍+5）+3=2+仅+-）；

④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.

请将正确的说法题号填在横线上：.

【答案】①③④

【解析】①中，两个向量共起点，与两向量终点共有3个点，则3点共面，可知两向量共面，

①正确；

②中，两个相等向量需大小相等，方向相同，②错误；

③中，空间向量加法满足结合律，③正确；

④中，由向量加法的三角形法则可知④正确.

故答案为：①③④

【题组二空间向量的线性运算】

1.如图，在正方体ABC。—A4G。中，点M,N分别是面对角线A,B与BD的中点，若方

=a,DC=b,DR=c,则（）

1，，、

B.—（6Z+b-c）

1、1,、

C.一（az—c）D.—（c-a）

22

【答案】D

【解析】根据向量的线性运算

MN=+AN=（地+[AC[==g（BA+++B]Cj

=L^b+c)+^(b-a)

=g传一G)所以选D

2.在四面体ABC。中，点F在AD上，且AF=2ED，E为8c中点，则瓦'等于()

—1——I?-

A.EF^-AC+-AB——ADB.EF^--AC--AB+-AD

223223

—1—•1—2--

C.EF=-AC--AB+-ADI).EF^--AC+-AB--AD

223223

【答案】B

1Q110

【解析】EF=EB+BA+AF=-(AB-AC)-AB+-AD^--AC--AB+-AD.

故选：B

3.如图所示，在空间四边形OABC中，砺=5,砺=6反=5，点M在。4上，且

UUUUUUI_______

OM=2MA,N为BC中点、,则MN=()

乙一iri-

A.-a--b+-cB.——a+—b+—c

232322

221

C.D.——5+—rb——c

332

【答案】B

___i2.?11

【解析】由向量的力口法和减法运算：MN=ON-OM=-(OB+OC)--OA=一一a+-b+-c.

23322

故选：B

4.如图，平行六面体ABC。—44GA中，AC与3。的交点为M，设通=[,而=5，

丽=不，则下列选项中与向量函相等的是()

1-1『-11-

A.——a——b—cB.-a+-b+c

2222

1-1「-

C.—a——b-cD.—a+—b—c

2222

【答案】B

【解析】如图所示，■.MC^MC+CC,,

MC=^AC,AC=AB+AD，AB=a>AD=b>CC；=c,

:.MCx=-（AB+AD）+CCi=-AB+-AD+CC[=-a+-b+c,

故选：B.

5.如图，在空间四边形ABCD中，E,M,N分别是边BC,BD,CD的中点，DE