高中数学-综合法及其应用教学设计学情分析教材分析课后反思

课题：2.2.1综合法及其应用教学目标：知识与技能：了解直接证明的的证明方法—综合法；了解综合法的思维过程和特点及会用综合法解决数学问题.过程与方法：（1）通过对实例的分析、归纳与总结的过程发展学生的理性思维能力；（2）通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并发展他们的分析问题、解决问题的能力.3情感、态度、价值观：通过本节课的学习，了解综合法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、证明有据的好习惯，发展学生的思维能力，逐步形成理性思维和科学精神.教学重点：综合法的证明方法、步骤教学难点：综合法的思考过程、特点及应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具:多媒体（几何画板、、Powerpoint）教学过程：一.复习回顾（根据学生的知识结构回顾旧知，引入新知，过渡自然）（小组讨论，小组代表回答）二.新课讲解（一）课前探究学习（屏幕展示课标解读及问题导思）知识1综合法【问题导思】阅读下列证明过程，回答问题．已知实数x，y满足x＋y＝1，求证：2x＋2y≥2eq\r(2).证明：因为x＋y＝1，所以2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)＝2eq\r(2x＋y)＝2eq\r(2)，故2x＋2y≥2eq\r(2)成立．1．本题的条件和结论是什么？________________________________________________;2．本题的证明顺序是什么？________________________________________________.（学生分组讨论，探索，小组代表回答）（教师引导学生给出综合法的定义、推证过程及特点）(1)定义：综合法是从 推导到 的思维方法，具体地说，综合法是从 出发，经过逐步的_____，最后达到 ．(2)综合法的推证过程：eq\x(命题的条件)⇒eq\x(结论A)⇒eq\x(结论B)⇒…⇒eq\x(命题的结论)（3）特点:__________;思考：综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？（学生思考并回答）知识2直接证明(1)定义：直接证明是从 或______出发，根据已知的 ______、______、_______，直接推证结论的真实性．(2)直接证明的方法有：______与______．（学生分组讨论，思考，小组代表回答）（二）课堂讲练互动（本环节的处理方法是：1、学生分小组讨论，小组代表板演并讲解，充分展示自己的思维过程；2、同学们各抒己见，发表自己的看法，培养学生的发散思维的能力，体会条条道路通罗马的感觉，从而培养学生学习的兴趣。）类型1用综合法证明不等式问题例1．(2013·新乡高二检测)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(c＋a－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)＞3.变式训练：已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥4.（通过变式进一步巩固类型1，教师引导学生总结解决此类题目的规律方法）（体会用综合法证明不等式时，要注意应用重要不等式和不等式的性质）类型2用综合法证明几何问题例2.例2.变式训练：直三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1＝A1C1，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点．求证：(1)C1M⊥平面AA1B1B.(2)A1B⊥AM.(3)平面AC1M∥平面B1NC.（通过变式进一步巩固类型2，教师引导学生总结解决此类题目的规律方法）（体会用综合法证明几何问题时，要特别注意平行与垂直间的相互转化）类型3用综合法证明数学中的其他问题例3.设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)，其中m为常数，且m≠－3.(1)求证：{an}是等比数列；(2)若数列{an}的公比q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝eq\f(3,2)f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求证：{eq\f(1,bn)}为等差数列．变式训练：在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，证明△ABC为等边三角形．（通过变式进一步巩固类型3，教师引导学生总结解决此类题目的规律方法）（进一步体会综合法的特点，并明确综合法不仅是数学证明中的重要方法之一，也是其他解答题步骤书写的重要方法）（三）.本课小结（问题1.下面请同学们回忆一下，这节课学习的主要内容？）1、综合法的定义、推理过程及特点。2、用综合法解决数学问题。（问题2.用到了哪些数学思想方法）1、数形结合的思想方法。2、转化与化归的思想方法。（四）.当堂达标1．综合法是()A．执果索因的逆推法B．执因导果的顺推法C．因果分别互推的两头凑法D．逆命题的证明方法2．A、B为△ABC的内角，A>B是sinA>sinB的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．设a＝eq\r(2)，b＝eq\r(7)－eq\r(3)，c＝eq\r(6)－eq\r(2)，则a，b，c的大小关系为________．4．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x，x∈R，数列{an}、{bn}满足条件：a1＝1，an＝f(bn)＝g(bn＋1)，n∈N*.求证：数列{bn＋1}为等比数列．（五）.布置作业课本练习A1、2练习B1、22.2.1综合法及其应用学情分析本节课内容主要是面向高二下学期的学生，主要是进行思维的训练。学生在高一的时候已经学过这些数学思维方法，但是对这些知识还没有进行概念化的归纳和专门的训练。学生不知道综合法的时候还是会用一点，以以往的经验，学生一旦学习概念后，反而觉得难度大，概念混淆，因此，这一教学内容的设计是针对学生的这一情况，设计学案，通过学生分小组讨论，小组代表板演并讲解，充分展示自己的思维过程，小组其他成员作补充，其他小组进行点评，教师作总结性点评，学生之间经过自主学习、交流、反复思考后，进一步深化了综合法在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、证明有据的好习惯，不仅发展了学生的思维能力，而且逐步形成了理性思维和科学精神，培养了学生的数学思维能力。2.2.1综合法及其应用效果分析一、调查基本情况本次调查主要是采取随机抽取学生座谈方式进行，调查对象为本节课上课学生。此次调研活动对象是班级中的54名听课学生（抽样），主要从学生课堂表现、学习效果评价和教学环境、设施状况等四个方面展开调查，并就调查结果进行了分析。二、调查结果与分析1、学生课堂表现（1）学生学习态度方面：调查结果来看，绝大多数学生的学习态度端正，但仍存在着不带教材现象。（2）学生的课堂参与度和听课的专注程度方面：从调查结果来看，近十分之一的学生未能很好发挥主体能动性，课堂投入不够。2、学习效果评价通过与学生交流，85%的学生认为可以很好的接受并理解教学内容，但仍有少数学生反映听课紧张，影响发挥。3、教学环境、设施运行情况主要是对课室的卫生状况、教学用具的准备情况以及教学设备、设施的运行等方面进行的了解。从统计数据来看，对以上几方面的认可度较高。三、结果分析（一）转变教学观念，落实学生主体地位认真备课，把知识输入设计的具有“启发性”，让学生在自我预习的知识基础上，主动利用已有知识构建新的知识体系。让学生理解教师教学意图，充分利用肢体语言，教师做到少说不说，学生才能多说多练，简化教学模式，高效课堂学习。教师应转变教学观念，充分发挥学生的主体性，在切实提高课堂教学质量的同时培养学生的终身学习能力。（二）对待后进生，要有耐心，持之以恒从课上回答问题可以看出，有个别学生没有掌握好课堂教学内容，这些学生数学基础薄弱，教师要做好课后辅导，促其进步。2.2.1综合法及其应用教材分析综合法及其应用是直接证明中的第一课时，它是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。“综合法及其应用”是在讲完了“合情推理”、“演绎推理”之后，学习的新知识，也是中学推理与证明的重要内容之一，综合法的思考过程、特点及应用是本节的基本知识，所以必须掌握；而掌握好综合法的证明方法、步骤是关键。应用综合法的有关知识解决数学问题是培养学生基本技能和基本能力的必要环节。本节通过对实例的分析、归纳与总结的过程发展学生的理性思维能力；通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并发展他们的分析问题、解决问题的能力；通过本节课的学习，了解综合法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、证明有据的好习惯，发展学生的思维能力，逐步形成理性思维和科学精神。2.2.1综合法及其应用评测练习1．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么()．A．x<eq\f(x＋y,2)<y<2xy B．2xy<x<eq\f(x＋y,2)<yC．x<eq\f(x＋y,2)<2xy<y D．x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y2．已知函数f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)，若f(a)＝b，则f(－a)等于()．A．bB．－bC.eq\f(1,b)D．－eq\f(1,b)3．设e1、e2是两个不共线的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，Ceq\o(B,\s\up6(→))＝e1＋3e2，若A、B、C三点共线，则k＝________.4．若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，则a＋b、2eq\r(ab)，a2＋b2,2ab中最大的是________．5．如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)． 6．已知a＞b＞c，求证：eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(4,a－c).7．在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．参考答案1、解析∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝eq\f(3,4)，x＝eq\f(1,4)，则eq\f(x＋y,2)＝eq\f(1,2)，2xy＝eq\f(3,8)，∴x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y，故选D.答案D2、解析∵f(－x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数，∴f(－a)＝－f(a)＝－b.答案B3、解析A、B、C三点共线，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CB,\s\up6(→))，即2e1＋ke2＝λ(e1＋3e2)．∴λ＝2，k＝6.答案64、解析由0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，得a＋b＞2eq\r(ab)，a2＋b2＞2ab.又a＞a2，b＞b2，知a＋b＞a2＋b2，从而a＋b最大．答案a＋b5、解析本题答案不唯一，要证A1C⊥B1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A1C1即可．答案对角线互相垂直6、证明a＞b＞c⇒a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－c＝a－b＋b－c≥2\r(a－bb－c)＞0,\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)≥2\r(\f(1,a－bb－c))＞0))⇒(a－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))≥2eq\r(a－bb－c)·2eq\r(\f(1,a－bb－c))＝4⇒eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(4,a－c).当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，取“＝”．7、证明由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C. ①因为A、B、C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π. ②由①②，得B＝eq\f(π,3).③由a、b、c成等比数列，有b2＝ac.④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac.再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，因此a＝c，从而有A＝C.⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝eq\f(π,3)，所以△ABC为等边三角形．2.2.1综合法及其应用课后反思学生是普通文科班的学生，基础较差，应以讲练结合的方法为主；通过本节的学习，学生积极参加课堂教学，顺利地完成了教学任务，达到了预期的教学目的。但由于学生的基础较差，在一定程度上影响了教学进度，使课堂上进度比较紧张。所以在以后的教学过程中，要特别注意学生的实际水平，让学生提前预习，以保证课堂教学进度。通过本节的学习，使学生了解直接证明的基本方法----综合法，了解综合法的思考过程、