有限元基本原理与概念

第六章用有限单元法解平面问题

第六章用有限元法解平面问题例题第十一节应用变分原理导出有限单元法的基本方程

第十节计算实例

第九节计算成果的整理

第八节解题的具体步骤单元的划分第七节结构的整体分析结点平衡方程组习题的提示与答案教学参考资料第一页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

第六章用有限单元法解平面问题1.有限元法（FiniteElementMethod）

FEM2.FEM的特点

概述（1）具有通用性和灵活性。

首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。第二页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

简史3.FEM简史

（2）对同一类问题，可以编制出通用程序，应用计算机进行计算。（3）只要适当加密网格，就可以达到工程要求的精度。1943年柯朗第一次提出了FEM的概念。FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展和广泛应用的一种数值解法。第三页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

简史有限单元法的形成与发展在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。1956年M.J.Turner,R.W.Clough,H.C.Martin,L.J.Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。1960年，Clough在他的名为“Thefiniteelementinplanestressanalysis”的论文中首次提出了有限元（finiteelement）这一术语。第四页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

简史数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。在1963年前后，经过J.F.Besseling,R.J.Melosh,R.E.Jones,R.H.Gallaher,T.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。第五页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

导出方法我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）。遗憾的是，从1966年开始的近十年期间，我国的研究工作受到阻碍。有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。第六页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

简史算法与有限元软件从二十世纪60年代中期以来，大量的理论研究不但拓展了有限元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。理论研究的一个重要领域是计算方法的研究，主要有：大型线性方程组的解法，非线性问题的解法，动力问题计算方法。目前应用较多的通用有限元软件如下表所列：软件名称简介MSC/Nastran著名结构分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran动力学分析程序MSC/Marc非线性分析软件ANSYS通用结构分析软件ADINA非线性分析软件ABAQUS非线性分析软件另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例如金属成形分析软件Deform、Autoform，焊接与热处理分析软件SysWeld等。第七页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

简史有限元应用实例有限元法已经成功地应用在以下一些领域：固体力学，包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析；传热学；电磁场；流体力学。转向机构支架的强度分析（用MSC/Nastran完成）第八页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

导出方法有限元应用实例金属成形过程的分析（用Deform软件完成）分析金属成形过程中的各种缺陷。型材挤压成形的分析。型材在挤压成形的初期，容易产生形状扭曲。螺旋齿轮成形过程的分析第九页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

导出方法有限元应用实例结构与焊缝布置焊接残余应力分析（用Sysweld完成）焊接过程的温度分布与轴向残余应力第十页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

导出方法有限元应用实例淬火3.06min时的马氏体分布淬火3.06min时的温度分布第十一页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

§6-1基本量和基本方程的

矩阵表示

本章无特别指明，均表示为平面应力问题的公式。

采用矩阵表示,可使公式统一、简洁，且便于编制程序。第十二页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

基本物理量：

体力:基本物理量位移函数:应变:应力:结点位移列阵:结点力列阵:面力:第十三页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

物理方程:

FEM中应用的方程：

几何方程:应用的方程其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是:第十四页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

--结点虚位移;--对应的虚应变。应用的方程ij虚功方程:其中:在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡微分方程，后者不再列出。第十五页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

3.整体分析。

§6-2有限单元法的概念

FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由度的考察体，是一种在力学模型上进行近似的数值计算方法。

其理论基础是分片插值技术与变分原理。FEM的概念1.将连续体变换为离散化结构；

2.单元分析；

FEM的分析过程：第十六页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

结构力学研究的对象是离散化结构。如桁架，各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联系（图（a））。弹力研究的对象，是连续体（图（b）)。结构离散化1.

结构离散化－－将连续体变换为离散化结构第十七页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

将连续体变换为离散化结构（图（c））：即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构成所谓‘离散化结构’。结构离散化第十八页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

图（c）与图(a）相比，两者都是离散化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而图（c）的单元是三角形块体（注意：三角形单元内部仍是连续体）。结构离散化例如：将深梁划分为许多三角形单元，这些单元仅在角点用铰连接起来。第十九页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

2.单元分析求解方法

每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、各向同性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体，应按弹性力学方法进行分析。

取各结点位移为基本未知量。然后对每个单元,分别求出各物理量,并均用来表示。

第二十页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

（1）应用插值公式,由单元结点位移，求单元的位移函数求解方法这个插值公式称为单元的位移模式，为：

单元分析的主要内容：

第二十一页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

（4）应用虚功方程，由单元的应力，求出单元的结点力，表示为（3）应用物理方程，由单元的应变，求出单元的应力，表示为

（2）应用几何方程，由单元的位移函数d，求出单元的应变，表示为求解方法第二十二页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

－－单元对结点的作用力，与数值相同,方向相反，作用于结点。

--结点对单元的作用力，作用于单元，称为结点力，以正标向为正。求解方法第二十三页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

（5）将每一单元中的各种外荷载，按虚功等效原则移置到结点上，化为结点荷载，表示为

求解方法第二十四页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

为已知值,是用结点位移表示的值。通过求解联立方程，得出各结点位移值，从而求出各单元的应变和应力。

各单位移置到i结点上的结点荷载其中表示对围绕i结点的单元求和；求解方法3.整体分析各单元对i结点的结点力作用于结点i上的力有：第二十五页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

求解方法

3.整体分析

2.对单元进行分析

1.将连续体变换为离散化结构

归纳起来，FEM分析的主要步骤：

（1）单元的位移模式（2）单元的应变列阵（4）单元的结点力列阵（5）单元的等效结点荷载列阵建立结点平衡方程组，求解各结点的位移。（3）单元的应力列阵第二十六页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

思考题

1.桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三角形块体，在三角形内仍是作为连续体来分析的。前者可用结构力学方法求解，后者只能用弹性力学方法求解，为什么？2.在平面问题中，是否也可以考虑其它的单元形状，如四边形单元？第二十七页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

应用插值公式，可由求出位移。

首先必须解决：由单元的结点位移来求出单元的位移函数

FEM是取结点位移为基本未知数的。问题是如何求应变、应力。

这个插值公式表示了单元中位移的分布形式，因此称为位移模式。§6-3单元的位移模式与

解答的收敛性

位移模式第二十八页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

插值公式（a）在结点应等于结点位移值。由此可求出

泰勒级数展开式中，低次幂项是最重要的。所以三角形单元的位移模式，可取为：

三角形单元（a）第二十九页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

将式（a）按未知数归纳为:

其中包含三角形单元或用矩阵表示为:（b）第三十页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

N－－

称为形（态）函数矩阵。三角形单元（c）第三十一页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

A为三角形的面积（图示坐标系中，按逆时针编号），有：其中:三角形单元第三十二页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

三结点三角形单元的位移模式，略去了2次以上的项，因而其误差量级是且其中只包含了的1次项，所以在单元中的分布如图（a）所示，的分布如图（b）、（c）所示。三角形单元(a)(b)(c)1第三十三页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

所以当单元趋于很小时，即时，为了使FEM之解逼近于真解。则为了保证FEM收敛性,位移模式应满足下列条件：

FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式为基础的。

收敛性条件第三十四页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

因为当单元时，单元中的位移和应变都趋近于基本量－－刚体位移和常量位移。（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移。

收敛性条件（2）位移模式必须能反映单元的常量应变。第三十五页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

收敛性条件可见刚体位移项在式（a）中均已反映。与刚体位移相比，将式（a）写成第三十六页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。即应尽可能反映原连续体的位移连续性。在三角形单元内部，位移为连续；在两单元边界ij上，之间均为线性变化，也为连续。对式（a）求应变，得：收敛性条件可见常量应变也已反映。第三十七页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

（1）和（2）是必要条件，而加上（3）就为充分条件。收敛性条件为了保证FEM的收敛性：第三十八页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

§6-4单元的应变列阵和应力列阵位移函数其中，单元中的位移函数用位移模式表示为

第三十九页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

应用几何方程，求出单元的应变列阵：

应变第四十页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

应变S——称为应力转换矩阵，写成分块形式为再应用物理方程，求出单元的应力列阵：B——称为应变矩阵，用分块矩阵表示，

第四十一页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

对于线性位移模式，求导后得到的应变和应力，均成为常量，因此，称为常应变（应力）单元。应变和应力的误差量级是其精度比位移低一阶，且相邻单元的应力是跳跃式的。应力第四十二页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

§6-5单元的结点力列阵与劲度矩阵

现在来考虑其中一个单元：模型

在FEM中，首先将连续体变换为离散化结构的模型。第四十三页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

（2）单元与周围的单元在边界上已没有联系，只在结点互相联系。（1）将作用于单元上的各种外荷载，按静力等效原则移置到结点上去，化为等效结点荷载。故单元内已没有外荷载。第四十四页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

假想将单元与结点i切开，则：

其数值与相同，而方向相反。结点力以沿正坐标向为正。对单元而言，这是作用于单元上的“外力”。

结点作用于单元上的力，称为结点力，单元作用于结点的力，为：第四十五页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

按虚功方程，在虚位移上，外力的虚功等于应力的虚功。结点力而其内部有应力作用，

考察已与结点切开后的单元，则此单元上作用有外力－－结点力，应用虚功方程，求单元的结点力：第四十六页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

假设发生一组结点虚位移则单元内任一点（x,y）的虚位移为单元内任一点（x,y）的虚应变为代入虚功方程：在单元中，外力（结点力）在虚位移（结点虚位移）上的虚功，等于应力在虚应变上的虚功，即：虚功方程第四十七页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

其中与无关，故式(a)成为式(b)是由应力求结点力的一般公式。

因为是独立的任意的虚位移，虚功方程对任意的均应满足，可得出代入

(b)第四十八页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

式（c）是由结点位移求结点力的一般公式，－－称为单元的劲度矩阵K其中：

再将应力公式代入上式，得单元劲度矩阵（c）（d）第四十九页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

对于三角形单元，B矩阵内均为常数，有

代入B，D，得出k如书中（6-37）及（6-38）所示。第五十页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

（1）是6×6的方阵，中每一个元素都表示单元各结点沿坐标方向发生单位位移时所引起的结点力。（2）由反力互等定理，所以是对称矩阵，以对角线为对称轴。单元劲度矩阵k的性质：（3）当单元作刚体平移时，如三角形内不产生应力和应变，结点力也为0。第五十一页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

（4）由（3）可导出行列式。（5）的元素与单元的形状和方位等有关，但与单元的大小和刚体的平动以及作度转动无关。即有：中每一行（或列）的元素之和为零（其中第1、3、5元素之和或2、4、6元素之和也为0）。第五十二页，共93页。

例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵[N]。第五十三页，共93页。

单元刚度矩阵的性质：例题：求下图所示单元的刚度矩阵，设1、求[B]2、求[D]3、求[S]4、求

第五十四页，共93页。

连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，需把弹性体承受的任意分布的载荷都向结点移置(分解)，而成为结点载荷。如果弹性体受承受的载荷全都是集中力，则将所有集中力的作用点取为结点，就不存在移置的问题，集中力就是结点载荷。但实际问题往往受有分布的面力和体力，都不可能只作用在结点上。因此，必须进行载荷移置。如果集中力的作用点未被取为结点，该集中力也要向结点移置。将载荷移置到结点上，必须遵循静力等效的原则。静力等效是指原载荷与结点载荷在任意虚位移上做的虚功相等。在一定的位移模式下，移置结果是唯一的，且总能符合静力等效原则。§6－6荷载向结点移置

单元的结点荷载列阵第五十五页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

在FEM中，须将作用于单元中的外荷载向结点移置，化为等效结点荷载，第五十六页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

（2）变形体静力等效原则－－在任意的虚位移上，使原荷载与移置荷载的虚功相等。

1、等效原则（1）刚体静力等效原则－－使原荷载与移置荷载的主矢量以及对同一点的主矩也相同。

移置原则刚体静力等效原则只从运动效应来考虑，得出移置荷载不是唯一的解；变形体的静力等效原则考虑了变形效应，在一定的位移模式下，其结果是唯一的，且也满足了前者条件的。所以在FEM中，采用变形体的静力等效原则。第五十七页，共93页。6单元载荷移置集中荷载等效节点力假设各节点发生了虚位移：第五十八页，共93页。按照静力等效原则，节点荷载在节点虚位移上的虚功等于原荷载集中力在其作用点的虚位移上的虚功。分布体力的节点荷载移置第五十九页，共93页。分布面力的节点荷载移置第六十页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

3、单元边界上面力的移置公式

应用式，将代之为并在边界上积分，得:对于任意的虚位移，虚功方程都必须满足，得：

面力第六十一页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

应用式，将代之为并对单元域A积分，得

4、单元内体力的移置公式

体力

当位移模式为线性函数时，由虚功方程得出的移置荷载，与按刚体静力等效原则得出的结点荷载相同。第六十二页，共93页。6单元载荷移置

例：总载荷的2/3移置到结点i，1/3移置到结点j，与原载荷同向第六十三页，共93页。6-7整体分析

将各单元组合成结构，进行整体分析。整体分析分4个步骤1、建立整体刚度矩阵；2、根据支承条件修改整体刚度矩阵；3、解方程组，求出结点位移；(消去法与叠加法)4、根据结点位移求出应力。第六十四页，共93页。6-7整体分析1、建立整体刚度矩阵(也叫作结构刚度矩阵)上图中的结构有六个结点，共有12个结点位移分量和12个结点力分量。由结构的结点位移向量求结构的结点力向量时，转换关系为：分块形式为：其中子向量和都是二阶向量，子矩阵是二行二列矩阵。整体刚度矩阵[K]是12*12阶矩阵。第六十五页，共93页。6-7整体刚度矩阵的形式

整体刚度矩阵是单元刚度矩阵的集成。1、刚度集成法的物理概念：刚度矩阵中的元素是刚度系数，即由单位结点位移引起的结点力。由2-8节的例题可见，与结点2和3相关的单元有单元①和③，当结点3发生单位位移时，相关单元①和③同时在结点2引起结点力，将相关单元在结点2的结点力相加，就得出结构在结点2的结点力。由此看出，结构的刚度系数是相关单元的刚度系数的集成，结构刚度矩阵中的子块是相关单元的对应子块的集成。第六十六页，共93页。6-7整体刚度矩阵的形式

2、刚度矩阵的集成规则：先对每个单元求出单元刚度矩阵，然后将其中的每个子块送到结构刚度矩阵中的对应位置上去，进行迭加之后即得出结构刚度矩阵[K]的子块，从而得出结构刚度矩阵[K]。关键是如何找出中的子块在[K]中的对应位置。这需要了解单元中的结点编码与结构中的结点编码之间的对应关系。第六十七页，共93页。6-7整体刚度矩阵的形式2、刚度矩阵的集成规则：结构中的结点编码称为结点的总码，各个单元的三个结点又按逆时针方向编为i,j,m,称为结点的局部码。单元刚度矩阵中的子块是按结点的局部码排列的，而结构刚度矩阵中的子块是按结点的总码排列的。因此，在单元刚度矩阵中，把结点的局部码换成总码，并把其中的子块按照总码次序重新排列。第六十八页，共93页。7整体刚度矩阵的形式以单元②为例，局部码i,j,m对应于总码5,2,4，因此中的子块按照总码重新排列后，得出扩大矩阵为：第六十九页，共93页。整体刚度矩阵的形式用同样的方法可得出其他单元的扩大矩阵将各单元的扩大矩阵迭加，即得出结构刚度矩阵[K]：集成规则包含搬家和迭加两个环节：1、将单元刚度矩阵中的子块搬家，得出单元的扩大刚度矩阵。2、将各单元的扩大刚度矩阵迭加，得出结构刚度矩阵[K]。(例题略)第七十页，共93页。6-7支承条件的处理整体刚度矩阵[K]求出后，结构的结点力{F}可表示为在无支杆的结点处，结点力就等于已知的结点载荷。在有支杆的结点处，则求结点力时，还应把未知的支杆反力考虑在内。如果用{P}表示结点载荷和支杆反力组成的向量，则结点的平衡方程为根据支承条件对平衡方程加以处理。先考虑结点n有水平支杆的情况。与结点n水平方向对应的平衡方程是第2n-1个方程，根据支承情况，上式应换成，即在[K]中，第2n-1行的对角线元素应改为1，该行全部非对角线元素应改为0。在{P}中，第2n-1个元素应改为0。此外，为了保持矩阵[K]的对称性，则第2n-1列全部非对角线元素也改为0。第七十一页，共93页。6-7支承条件的处理同理，如果结点n有竖向支杆，则平衡方程的第2n个方程应改为，为此，在矩阵[K]中，第2n行的对角线元素改为1，该行全部非对角线元素改为0，同时，第2n列全部非对角线元素也改为0。在{P}中，第2n个元素改为0。第七十二页，共93页。6-7支承条件的处理2-8节中的结构，结点1有水平支杆，结点2有两个支杆，结点3有竖向支杆。对支承条件处理后，矩阵修改为：第七十三页，共93页。6-7整体刚度矩阵的特点在有限元法中，整体刚度矩阵的阶数通常是很高的，在解算时常遇到矩阵阶数高和存贮容量有限的矛盾。找到整体刚度矩阵的特性达到节省存贮容量的途径。1、对称性。只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半的存贮容量。2、稀疏性。矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。第七十四页，共93页。6-7整体刚度矩阵的特点2、稀疏性。矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。结点5只与周围的六个结点(2、3、4、6、8、9)用三角形单元相连，它们是5的相关结点。只有当这七个相关结点产生位移时，才使该结点产生结点力，其余结点发生位移时并不在该结点处引起结点力。因此，在矩阵[K]中，第5行的非零子块只有七个(即与相关结点对应的七个子块)。第七十五页，共93页。6-7整体刚度矩阵的特点2、稀疏性。

一般，一个结点的相关结点不会超过九个，如果网格中有200个结点，则一行中非零子块的个数与该行的子块总数相比不大于9/200，即在5%以下，如果网格的结点个数越多，则刚度矩阵的稀疏性就越突出。利用矩阵[K]的稀疏性，可设法只存贮非零元素，从而可大量地节省存贮容量。第七十六页，共93页。6-7整体刚度矩阵的特点3、带形分布规律。上图中，矩阵[K]的非零元素分布在以对角线为中心的带形区域内，称为带形矩阵。在半个带形区域中(包括对角线元素在内)，每行具有的元素个数叫做半带宽，用d表示。半带宽的一般计算公式是：半带宽d=(相邻结点码的最大差值+1)*2上图中相邻结点码的最大差值为4，故d=(4+1)*2=10利用带形矩阵的特点并利用对称性，可只存贮上半带的元素，叫半带存贮。

第七十七页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

有限单元法的具体计算步骤：

§6－8解题的具体步骤

单元的划分1、划分单元网格，对单元和结点编号。

2、选定直角坐标系，按程序要求填写和输入有关信息。单元内的ijm的局部编号应按书中规定的右手规则编号。否则会使三角形的面积出现负号等问题。第七十八页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

3、使用已编好的程序进行上机计算。事先须将有限单元法的公式，计算方法和步骤都编入程序。4、对成果进行整理、分析。

对第1和第4步的工作，也尽可能让计算机执行，以减少人工的工作量。如自动划分网格，整理成果等。第七十九页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

关于单元的划分，注意几点：（8）结构具有凹槽或孔洞等应力集中处等。（1）单元大小问题；（2）单元在不同部位的合理布置问题；（3）三角形三个内角最好较接近；（4）利用对称性和反对称性；（5）厚度突变之处和材料不同之处；（6）载荷作用（集中力或突变分布载荷）处；（7）水利闸坝工程问题；第八十页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

在有限单元法中，位移的精度较高，其误差量级是，即与单元尺度的二次幂成正比。应力的误差量级是，即与单元的大小成正比。

§6－9计算成果的整理第八十一页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

三结点三角形单元的应力的成果，不但应力的精度较低，而且还产生了所谓应力的波动性。对于结点位移的成果，可以直接采用。第八十二页，共93页。第六章用有限单元法解平面问题

应力的波动性在三结点三角形单元中较为显著。