北师大版九年级数学下册3.8圆内接正多边形教案

第页课题8圆内接正多边形授课人教学目标知识技能1.掌握正多边形和圆的关系.2.理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念.3.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题.4.会运用正多边形和圆的有关知识画正多边形．数学思考探究观察中体会知识的转化，学会用类比的思想研究问题．问题解决在探讨正多边形和圆的关系学习中，体会到要善于发现问题、解决问题，培养学生的概括能力和实践能力．情感态度通过学习，体验数学与生活的紧密相连；通过合作交流、探索实践培养学生的主体意识．教学重点掌握正多边形的概念及正多边形和圆的关系，并能进行有关计算．教学难点正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题．授课类型新授课课时教具多媒体课件教学活动教学步骤师生活动设计意图活动一：创设情境导入新课【课堂引入】问题1：什么叫正多边形？问题2：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？问题3：从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？其对称轴有几条？对称中心是哪一点？问题4：圆与正多边形有什么关系呢？处理方式：前3个问题请学生思考后口答，根据已有的学习经验，大部分学生能够顺利完成，个别学生可能感到有难度，对正多边形的知识点有所遗忘，教师给予及时地帮扶，并强调正多边形的定义，一是各角相等，二是各边都相等．两者缺一不可．对于第4个问题的设计，学生就产生了疑问，也就是本节课所要研究的问题．教师顺势板书课题：8圆内接正多边形学生在以前的学习中，曾经探索并认识了正多边形的有关知识．强调正多边形必须满足的两个条件：一是各角都相等，二是各边都相等．两者缺一不可．通过复习鼓励学生回忆并梳理有关结论，然后再展开相应的证明活动.

(续表)活动二：实践探究交流新知【探究1】圆内接正多边形的概念定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆．把一个圆n等分(n≥3)，依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形．如图3－8－9，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径；∠AOB是这个正五边形的中心角；OM⊥BC，垂足为M，OM是这个正五边形的边心距．图3－8－9处理方式：学生自学课本P97例题以上内容，对照多媒体上的图形，说出各部分的名称．教师强调：正多边形的中心指的是其外接圆的圆心，半径指的是其外接圆的半径，中心角指的是其每一边所对的外接圆的圆心角．【探究2】求正多边形的中心角、边长和边心距例如图3－8－10，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．图3－8－10处理方式：引导学生发现正六边形的半径、边长的一半和边心距构成一个直角三角形，利用解直角三角形的知识解决问题．教师多媒体展示解答过程：解：连接OD.∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠COD＝eq\f(360°,6)＝60°.∴△COD为等边三角形．∴CD＝OC＝4.在Rt△COG中，OC＝4，CG＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×4＝2，∴OG＝eq\r(OC2－CG2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，边长为4，边心距为2eq\r(3).教师强调：正多边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角形的构成：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角为中心角的一半.【探究3】1.用尺规作一个已知圆的内接正六边形.2.用尺规作一个已知圆的内接正四边形.3.思考：作正多边形有哪些方法？处理方式：由例题引导学生发现正六边形的边长等于其半径，从而找到六等分圆的方法．让学生了解有关圆内接正多边形的概念，引导学生逐步深入的学习.通过例题的学习，巩固有关圆内接正多边形的概念，能运用解直角三角形的知识解决正多边形的有关计算问题.使学生理解并掌握可用等分圆心角的方法等分圆周，从而用直尺和圆规可以作出一些特殊的正多边形.

(续表)活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1如图3－8－11，把边长为6的正三角形ABC剪去三个三角形得到一个正六边形DFHKGE，求这个正六边形的面积．[答案：8eq\r(3)]例2分别求出半径为6cm的圆内接正三角形的边长和边心距．[答案：边长为6eq\r(3)cm，图3－8－11边心距为3cm]处理方式：学生口述思考过程，并说明理由．两位同学黑板板书做题过程.本组试题主要是巩固正多边形的有关计算，让学生熟练运用解直角三角形的知识解决正多边形的有关问题．【拓展提升】例3如图3－8－12，圆内接正五边形ABCDE中，∠ADB的度数为(B)A.35°B．36°C．40°D．54°例4如图3－8－13，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若点A的坐标为(－1，0)，则点C的坐标为__eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))__.图3－8－12图3－8－13图3－8－14[解析]如图3－8－14，连接OE，由正六边形是轴对称图形知，在Rt△OEG中，∠GOE＝30°，OE＝1，∴GE＝eq\f(1,2)，OG＝eq\f(\r(3),2).∴A(－1，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，D(1，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).故答案为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2))).例5如图3－8－15，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，BC∥QR，则∠AOQ的度数为(D)A.60°B．65°C．72°D．75°图3－8－15拓展提升，有助于巩固所学知识，提高学生思维能力，培养学生综合运用知识的能力，并有助于发散学生思维，让学生的学习积极性和主动性都得到提高.

(续表)活动三：开放训练体现应用例6如图3－8－16①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形A1A2A3，正四边形A1A2A3A4，正五边形A1A2A3A4A5，…，正n边形A1A2A3…An的边A1A2，A2A3上的点，且A2M＝A3N，连接OM，ON.图3－8－16(1)求图①中∠MON的度数；(2)图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．(直接写出答案)[答案：(1)120°(2)90°60°(3)∠MON＝eq\f(360°,n)]活动四：课堂总结反思【当堂训练】1．正三角形的边心距、半径和高的比是(A)A．1∶2∶3B．1∶eq\r(2)∶eq\r(3)C．1∶eq\r(2)∶3D．1∶2∶eq\r(3)2．若正六边形的边长为1，那么其外接圆的半径是__1__，边心距是__eq\f(\r(3),2)__，它的每一个内角是__120__°.3.将一个正五边形绕它的中心旋转，至少要旋转__72__°，才能与原来的图形位置重合.4.求出半径为6cm的圆内接正四边形的边长、边心距和面积.处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错.让学生利用当堂训练检测自己的学习效果，题目既考查基础，给学生学习的信心和成功的体验，又具有一些挑战性，考查学生综合应用知识的能力.【课堂小结】通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家.处理方式：学生畅谈自己的收获！课堂小结是培养学生反思、总结习惯的最好环节，只有学生养成良好的反思、总结习惯，才能不断地取得进步.

(续表)活动四：课堂总结反思【板书设计】提纲挈领，重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]通过复习回顾正多边形的相关知识，强调正多边形必须满足两个条件：一是各角相等，二是各边都相等．结合问题引导学生思考、感受正多边形与圆的关系，进而引入正多边形的外接圆.②[讲授效果反思]通过例题巩固有关正多边形的概念，引导学生学会分析问题，感受知识的转化，同时规范地进行解答和计算．在此基础上通过练习有针对性地进行落实、巩固，有效突破重难点.③[师生互动反