2023年辽宁省大连高考冲刺模拟数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知正方体A5CD-A用的棱长为1,平面。与此正方体相交.对于实数1（0＜八百），如果正方体

的八个顶点中恰好有团个点到平面1的距离等于d,那么下列结论中，一定正确的是

A.m手6B.相。5

C.相。4D.根。3

2.已知向量函=（—3,4）,砺+砺=（—1,5）,则向量方在向量而上的投影是（）

A26H2逐_2D—

5555

3.设“2.71828…为自然对数的底数，函数=6一'一1,若/⑷=1,贝iJ/（—。）=（）

A.-1B.1C.3D.-3

，、111r、

6.已知等差数列｛。“｝的公差不为零，且一，一,—构成新的等差数列，sn为｛a,,｝的前〃项和，若存在〃使得S"=0,

a\。3。4

则〃二()

A.10B.11C.12D.13

7.圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

d0O

<—2—>

正视图侧视图俯视图

A.-JiB.-7CC.2兀D.3%

22

(3\

8.已知函数/(x)=W-加(m>0,且加工1)的图象经过第一、二、四象限，则a="(J5)|,。=/48,c=|/(0)|

\/

的大小关系为()

A.c<b<aB.c<a<b

C.a<b<cD.h<a<c

i9

9.已知正项等比数列｛4｝满足%=24+3/，若存在两项工,,%,使得贝IJ—+一的最小值为().

mn

28

A.16B.—C.5D.4

3

10.正方体ABCD—AgG，，月(i=l,2,…,12)是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面4GB平行的直线

11.已知定义在R上的函数.f(x)的周期为4,当xe[-2,2)时，/(幻=，)一%—4,贝!l/(-log36)+/(log354)=

()

3312

A.—B.--log,2C.--D.—+log32

x-y+\>0

12.已知实数x、满足约束条件,3x—y—3W0,则z=2x+)，的最大值为()

y>0

A.-1B.2C.7D.8

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设/(X)是定义在(0,+8)上的函数，且/(x)>0,对任意4>()乃>(),若经过点(a,7(a)),S，-/(份)的一次函

数与X轴的交点为(c,o),且4、b、。互不相等，则称C为关于函数/(X)的平均数，记为Mf(aS).当

/(x)=(x>0)时，为。力的几何平均数而.(只需写出一个符合要求的函数即可)

14.已知向量a=(—2,1),b=(\,ni),若向量什力与向量。平行，则实数〃?=.

x+y-3W0

15.若函数y=log2》的图像上存在点(％y),满足约束条件2x-y+2N0,则实数机的最大值为.

y>m

22

16.点P在双曲线，—4=1(。>0/>0)的右支上，其左、右焦点分别为月、F2,直线「大与以坐标原点。为圆

心、。为半径的圆相切于点A，线段2耳的垂直平分线恰好过点尸2,则该双曲线的渐近线的斜率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知椭圆氏T+白=l(a>b>0)的左、右焦点分别为耳(—1,0)、7；(1,0),点尸在椭圆E上，

"_L耳法且|尸耳|=3忸用.

(I)求椭圆E的标准方程；

(II)设直线/:%=阳+1(m€/?)与椭圆£相交于A、B两点,与圆f+y2="相交于c、D两点,求

的取值范围.

18.(12分)某保险公司给年龄在20-70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从1(XX)。名参保人员中随机抽

取100名作为样本进行分析，按年龄段[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70]分成了五组，其频率分布直方图如

下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示.据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用

为一百万元.

年龄

[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

（单位：岁）

保费

X2x3x4x5x

（单位：元）

（1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求X精确到整数时的最小值％;

（2）经调查，年龄在［60,70］之间的老人每50人中有1人患该项疾病（以此频率作为概率）.该病的治疗费为12000元，

如果参保，保险公司补贴治疗费100（X）元.某老人年龄66岁，若购买该项保险（x取（1）中的，％）.针对此疾病所支付的费

用为x元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为y元.试比较x和y的期望值大小，并判断该老人购买

此项保险是否划算？

19.（12分）团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式，不少商家同时加入多家团购网.现

恰有三个团购网站在A市开展了团购业务，A市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入

了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示.

所加入的团购

网站数量（单位:个）

（1）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率;

（2）从所调查的50家商家中任取两家，用J表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量J的分

布列和数学期望;

(3)将频率视为概率，现从A市随机抽取3家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为

试求事件“〃22”的概率.

20.(12分)已知AABC满足，且b=R,4=空，求s加C的值及AABC的面积.(从①B=C,②,—石,

34

③。=3正立而这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.)

21.(12分)已知椭圆C的焦点在x轴上，且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长百为且面积为2及的菱形.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设例(-3,0)，过椭圆C右焦点下的直线/交于A、3两点，若对满足条件的任意直线I,不等式MAMB<A(AeR)

恒成立，求2的最小值.

22.(10分)在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城

镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.

(1)填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？

城镇居民农村居民合计

经常阅读10030

不经常阅读

合计200

(2)从该地区城镇居民中，随机抽取5位居民参加一次阅读交流活动，记这5位居民中经常阅读的人数为X,若用

样本的频率作为概率，求随机变量X的期望.

„„n(ad-bc)'“一,,

附：K-=-------------------------,其中〃=a+A»+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

此题画出正方体模型即可快速判断m的取值.

【详解】

如图（1）恰好有3个点到平面a的距离为如图（2）恰好有4个点到平面a的距离为。；如图（3）恰好有6个

点到平面a的距离为".

所以本题答案为B.

【点睛】

本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力

和知识方法的迁移能力，属于难题.

2.A

【解析】

先利用向量坐标运算求解OB，再利用向量函在向量砺上的投影公式即得解

【详解】

由于向量）=（—3,4）,OA+OB^（-1,5）

故丽=（2,1）

OAOB-3x2+4xl275

向量砺在向量砺上的投影是诲「=—忑一=--

故选：A

【点睛】

本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.

3.D

【解析】

利用/(。)与/(一。)的关系，求得/(一。)的值.

【详解】

依题意/⑷=e"-1=1,ea-e-a=2,

所以/(―a)=e"—e"—]二—(e"—e")—1=—2—1=—3

故选：D

【点睛】

本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.

4.B

【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【详解】

2-3z(2-3z)(l-z)-1-5/15.

z=----=------------=------=------1

1+z(l+z)(l-z)222

故选B.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.

5.A

【解析】

利用特殊点的坐标代入，排除掉C,D；再由/(-y)<1判断A选项正确.

【详解】

=排除掉C,D；

e

/(-；)=2J2|=@n夜,

2e2

,."lnV2<lnV^=-,Je<2,

2

.-./(_l)=V^lnV2<l.

故选：A.

【点睛】

本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法,

属于中档题.

6.D

【解析】

利用等差数列的通项公式可得q=-64,再利用等差数列的前〃项和公式即可求解.

【详解】

由'，'，'构成等差数列可得

%%

J___1__J___1_

%q%%

。3a4a\a4

又4=4+3d=>4=2(4+3</)

解得：«,=-6d

IJMyi

又S“=7[2q+(〃_1)蜀=5(T2d+5_l)d)=-J(n-13)

所以S,,=0时，〃=13.

故选：D

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前“项和公式，需熟记公式，属于基础题.

7.B

【解析】

三视图对应的几何体为如图所示的几何体，利用割补法可求其体积.

【详解】

根据三视图可得原几何体如图所示，它是一个圆柱截去上面一块几何体,

把该几何体补成如下图所示的圆柱，

3

其体积为7x/x3,故原几何体的体积为二万.

2

故选：B.

【点睛】

本题考查三视图以及不规则几何体的体积，复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关

系，另外，不规则几何体的体积可用割补法来求其体积，本题属于基础题.

8.C

【解析】

根据题意，得()〈加<1,7(1)=0,则/(X)为减函数，从而得出函数17(x)1的单调性，可比较。和〃，而

c=1/(0)|=1—加，比较/(0),/(2),即可比较。，"c.

【详解】

因为/(无)=机，一机(相>0,且〃?21)的图象经过第一、二、四象限，

所以0<〃2<1,/(1)=0,

所以函数/(X)为减函数，函数|/(x)|在(F,l)上单调递减，在(1,”)上单调递增，

eE、r133

又因为1<&=25<43=24<2'

所以a<b,

又c=|/(0)|=1-m,|/(2)\=nr-m,

则I"⑵1-"(0)1=*-1<0,

BPI/(2)|<I/(0)|,

所以a<b<c.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想.

9.D

【解析】

由%=24+3%,可得4=3,由a,”y=9a：,可得加+〃=4,再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.

【详解】

设等比数列公比为q(q>0),由已知，=2%夕+3%，即/=2q+3,

解得4=3或q=T(舍)，又%.4=财，所以《3193小=9W,

即3，〃+"-2=32,故6+a=4,所以一+乙二一(一+马(m+〃)=一(10+—+律)

mn4mn4mn

>-(10+279)=4,当且仅当机=1,"=3时，等号成立.

4

故选：D.

【点睛】

本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题，涉及到等比数列的知识，是一道中档题.

10.B

【解析】

先找到与平面4GB平行的平面，利用面面平行的定义即可得到.

【详解】

考虑与平面AGB平行的平面平面/匕《，平面A42A?心，

共有C；+C；+C；=21,

故选：B.

【点睛】

本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题.

11.A

【解析】

2

因为给出的解析式只适用于xe[-2,2),所以利用周期性，将/Qog354)转化为/(log??,再与”—1436)一起代

入解析式，利用对数恒等式和对数的运算性质，即可求得结果.

【详解】

••・定义在R上的函数/(x)的周期为4

2

.-./(log354)=/(log354-4)=/(log3-),

•.•当xe[-2,2)时,/(x)=(1r-x-4,

2

-logs6G[—2,2),log3—G[—2,2),

•'•/(-log36)+/(log354)

，os,6S3

=(I)--(-log36)-4+(1)'-log31-4

1logI61log,-2

35

=(-)+(-)+(log36-log3-)-8

33

=6+-+log3(6x1)-8

_3

-21

故选：A.

【点睛】

本题考查了利用函数的周期性求函数值，对数的运算性质，属于中档题.

12.C

【解析】

作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点。时，2取得最大值.

【详解】

解：作出约束条件表示的可行域是以(-1,0),(1,0),(2,3)为顶点的三角形及其内部，如下图表示：

当目标函数经过点。(2,3)时，z取得最大值，最大值为7.

【点睛】

本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.&

【解析】

由定义可知(。,/(。)),伍,一/(3),(，,0)三点共线，即/(《=智，通过整理可得"X)=/«(/>0),继

a-yjabyjab-b

而可求出正确答案.

【详解】

解：根据题意㈤=c=，而，由定义可知：(aJ(a)),(0,—/S)),(c,0)三点共线.

故可得：，即——"^-7==-X=-,整理得：半1=邛1,

a-cc-ha-ylahyjab-byJa7b

故可以选择/(x)=«,(x>O),/(x)=2«(x>0)等.

故答案为：人.

【点睛】

本题考查了两点的斜率公式，考查了推理能力，考查了运算能力.本题关键是分析出三点共线.

1

14.

2

【解析】

由题可得a+b=(-1,1+机)，因为向量a+b与向量。平行，所以-2x(m+l)—lx(—l)=o,解得机=-_L.

2

15.1

【解析】

x+y-3<0,

由题知x>0,且满足约束条件2x-y+2N0,的图象为

y>m,

由图可知当y=log2%与y=3-x交于点B(2,D，当直线丁二加过B点时，m取得最大值为L

点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出

可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、

一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.

16.±-

3

【解析】

如图，A是切点，8是PE的中点，因为|04|=a|所以忸周=2a,又忻闾=2c,所以忸制=2>，|P周=48,

又归国=恒闾=2c,根据双曲线的定义，有|尸制-|尸周=2a,即48-2c=2以，两边平方并化简得

c5因此2=

3c2—2ac—5cT=0，所以一二彳,

a3a

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（I）y+/=l5（II）[4>/2,16>/2）.

【解析】

（I）利用勾股定理结合条件|P周=3归闾求得归国和归用，利用椭圆的定义求得。的值，进而可得出力，则椭圆

E的标准方程可求；

（D）设点4（x，y）、B（x2,y2）,将直线/的方程与椭圆E的方程联立，利用韦达定理与弦长公式求出|筋|,利用

几何法求得直线/截圆Y+y2=2所得弦长|CD|,可得出关于的函数表达式，利用不等式的性质可求

得同斗|8『的取值范围.

【详解】

（I）•./在椭圆上，.•」尸制+|P闾=2a,「IP周=3|「引，=归用=日，

,.,为/£8，r.lPK「+忻用2=归用2,

又I月闾=2，；./=2，：c=1,b=y]a2-c2=1,

二椭圆E的标准方程为=+y?=1；

2

(II)设点A(X1,y)、或孙％)，

联立，，c2c消去X，得(加2+2)V+2阳一1=0,.•.△=8m2+8>0,

r+2y=2、7

2m1,,I----7|,20(4+1)

则乂+%=--弘％=一-1

7—r>:.\1AB\1=^+m\yi-y2\=——------L

m+2nz+2।刀F2,

1

设圆V+y2=2的圆心。到直线I的距离为d,则"

2&M+1)

：.\AB\-\CDf・，号陕空Mm

nr+2

3313

•/0<——<-,:.-<2——--<2,.•.4V2<|AB|-|CDl2<1672.

m2+222m2+21111

|钻卜|。球的取值范围为［40,160).

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中弦长之积的取值范围的求解，涉及韦达定理与弦长公式的应用，考查

计算能力，属于中等题.

18.(1)30；(2)E(Y)>E(X),比较划算.

【解析】

(1)由频率和为1求出。=0.032,根据“的值求出保费的平均值3.35x,然后解一元一次不等式3.35x2100即可

求出结果，最后取近似值即可；

(2)分别计算参保与不参保时的期望E(X),E(r),比较大小即可.

【详解】

解：(1)由(0.007+0.016+a+0.()25+0.020)xl0=l,

解得a=0.032.

保险公司每年收取的保费为：

10000(0.07%+0.16x2x+0.32x3/+0.25x4x+0.20x5x)=10000x3.35x

要使公司不亏本，贝!110000x3.35x21000000,即3.35x2100

29.85,

3.35

••=30,

(2)①若该老人购买了此项保险，则X的取值为150,2150.

49I

•.•P(X=150)=—,P(X=2150)=—

491

AE(X)=150x—+2150x—=147+43=190(TE).

5050

②若该老人没有购买此项保险，则丫的取值为0.12000.

49I

­,.p(y=0)=^,P(y=12000)=—

491

...E(y)=0x—+12000x—=240(x).

5050

•••E(F)>E(X)

二年龄为66的该老人购买此项保险比较划算.

【点睛】

本题考查学生利用相关统计图表知识处理实际问题的能力，掌握频率分布直方图的基本性质，知道数学期望是平均数

的另一种数学语言，为容易题.

29

19.(1)—;(2)从而J的分布列为

49

4012

20254

P

494949

L/匕、八20,25c433,、1

E(€)=0x---Fix---F2x—=—；(3)一.

494949492

【解析】

(1)运用概率的计算公式求概率分布，再运用数学期望公式进行求解；(2)借助题设条件运用贝努力公式进行分析求

解:

(1)记所选取额两家商家加入团购网站的数量相等为事件A,则

P(A)Q+宝鱼=|2,所以他们加入团购网站的数量不相等的概率为1一2(A)=II

(2)由题，知J的可能取值分别为0,1,2

P(g=0)=01。¥+。加20

49

=0=CG+。入以_竺

,尸/一49‘

4

%=2）=

49

从而&的分布列为

012

20254

P

494949

E@=0x型+lx”+2x±=@.

',49494949

(3)所调查的5()家商家中加入了两个团购网站的商家有25家，将频率视为概率，则从A市中任取一家加入团购网

站的商家，他同时加入了两个团购网站的概率为尸="=工，所以〃〜所以事件22”的概率为

502I2J

加2)+时=3)=《百(1一9嗯”

20.见解析

【解析】

选择①时：3=工，A=，计算5巾C=_—夜,根据正弦定理得到a=3,计算面积得到答案;选择②时，a=,

434

b=^，故B>A,A为钝角，故无解；选择③时，a=3五sin6,根据正弦定理解得sin8=变，sinC=""

24

根据正弦定理得到a=3,计算面积得到答案.

【详解】

选择①时：B=^,A=^7r,故sinC=sin（A+B）=sin4cos8+cosAsin8=^^^

根据正弦定理：，一二上-,故。=3,故S=La〃sinC=9-3G.

sinAsinB24

选择②时，a=6b=瓜,故8>A,A为钝角，故无解.

I3>/2sinB_瓜

选择③时，a=3拒sinB，根据正弦定理：==—^，故―忑一—sinB，

sinAsinB—

2

解得sin8=今，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=.

根据正弦定理：-,故。=3,故5=,H7$皿。=吃之叵.

sinAsinB24

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

j-231

21.(1)—+y2=l(2)—

22

【解析】

(1)由已知条件列出关于〃和。的方程，并计算出“和。的值，j