阆中中学2021届高三上学期开学考试数学（理）试题含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精四川省阆中中学2021届高三上学期开学考试数学（理）试题含答案四川省阆中中学高2018级2020年秋入学考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。设集合，，则A．B． C． D．2．若（其中是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg）分别为x1,x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A.x1,x2，…，xn的平均数 B.x1,x2，…,xn的标准差C.x1，x2,…,xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位数4。某食品的保鲜时间y(单位：小时）与储藏温度x（单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数,k,b为常数)．若该食品在0℃小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时5.椭圆C的长轴长是短轴长的3倍,则C的离心率为A。eq\f(\r(6)，3）B。eq\f(\r(2）,3)C.eq\f（\r（3),3) D。eq\f(2\r（2），3)6.已知向量a＝(x，eq\r（3))，b＝(x，－eq\r（3）），若（2a＋b)⊥b，则|a|＝A．1B.eq\r（2）C.eq\r(3) D．27.在△ABC中,coseq\f(C，2)＝eq\f(\r（5)，5)，BC＝1,AC＝5，则AB＝A．4eq\r（2)B。eq\r(30）C.eq\r(29) D．2eq\r(5）将正方体（如图（1）所示)截去两个三棱锥，得到如图(2）所示的几何体，则该几何体的侧视图为已知coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f（π,6)））＝eq\f（1，3),则cosx＋coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f(π,3)））＝(）A.eq\f（\r(3),2）B。eq\r(3）C。eq\f（1,2） D。eq\f(\r（3),3）10。已知圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0（a＞0，b＞0)对称，则eq\f（1，a）＋eq\f(3,b）的最小值是A．2eq\r(3）B.eq\f(20，3）C．4 D.eq\f(16，3）11.焦点在x轴上的椭圆方程为eq\f(x2,a2）＋eq\f(y2,b2）＝1（a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为eq\f（b,3），则椭圆的离心率为A。eq\f（1,4)B。eq\f(1，3）C.eq\f(1,2) D。eq\f(2,3)12。已知，则A。B。C。 D。二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.13.已知点Q(2，0),点P（x，y)的坐标满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋y－1≤0，,x－y＋1≥0，，y＋1≥0，))则｜PQ｜的最小值是________14。若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________。15.已知圆锥的高为3,底面半径为eq\r（3），若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于__________________16．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程=0有实数解，则称点（，）为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则=__________________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知数列｛an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1。（1）证明:数列{an｝是等比数列；（2）设bn＝(2n－1)an，求数列｛bn}的前n项和Tn.18.某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在[29。94，30。06）的零件为优质品。从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：分组［29.86,29。90)[29。90,29.94）[29.94，29。98)［29.98,30.02)频数126386182分组[30。02，30.06)[30。06，30.10)［30.10，30。14]频数92614乙厂：分组[29。86,29.90）［29.90，29。94)［29。94,29.98)［29。98,30.02）频数297185159分组［30.02，30.06）［30.06,30。10)［30.10，30。14］频数766218（1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；（2)由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。甲厂乙厂总计优质品非优质品总计P(K2≥k0）0。050.0250。0100。0050。001k03.8415.0246.6357.87910.82819。如图所示,在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB（1)求证：当点E在棱AB上移动时，D1E⊥A1D;（2）在棱AB上是否存在点E,使二面角D1.EC.D的平面角为30°？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．已知椭圆C：eq\f(x2,a2）＋eq\f(y2,b2)＝1（a＞b＞0）的离心率为eq\f（1，2），且经过点Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，左、右焦点分别为F1，F2。（1）求椭圆C的方程;（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点,若△AF2B的内切圆半径为eq\f（3\r（2）,7)，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．21。设f（x)＝eq\f(1＋lnx，x）.(1)若函数f（x）在(a，a＋1）上有极值，求实数a的取值范围；（2）若关于x的方程f（x）＝x2－2x＋k有实数解，求实数k的取值范围．(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程］（10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosα，，y＝2＋sinα）)（α为参数），直线C2的方程为y＝eq\r(3）x。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程;（2）若直线C2与曲线C1交于A,B两点，求eq\f（1,｜OA｜)＋eq\f（1,｜OB|）。［选修4—5：不等式选讲](10分）23.设函数f(x)＝5－｜x＋a｜－|x－2|。（1）当a＝1时,求不等式f(x）≥0的解集；（2）若f(x）≤1,求a的取值范围.

四川省阆中中学高2018级2020年秋入学考试试题理科数学答案一。选择题（每题5分，共60分）123456789101112BABCDDABDDCD二。填空题(每题5分，共20分）13。14.15。16.017.解：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，所以a1当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2an－1)－（2an－1－1），所以an＝2an－1，所以数列｛an}是以1为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知，an＝2n－1，所以bn＝（2n－1)×2n－1,所以Tn＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1）×2n－1，①2Tn＝1×2＋3×22＋…＋（2n－3）×2n－1＋（2n－1）×2n,②①－②，得－Tn＝1＋2×(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)×2n＝1＋2×eq\f（2－2n－1×2,1－2）－(2n－1）×2n＝（3－2n)×2n－3，所以Tn＝（2n－3)×2n＋3.［解](1）甲厂抽查的500件产品中有360件优质品，从而估计甲厂生产的零件的优质品率为eq\f（360,500)×100％＝72%；乙厂抽查的500件产品中有320件优质品，从而估计乙厂生产的零件的优质品率为eq\f(320，500)×100%＝64％.（2)完成的2×2列联表如下：甲厂乙厂总计优质品360320680非优质品140180320总计5005001000由表中数据计算得，K2＝eq\f(1000×360×180－320×1402,500×500×680×320）≈7。353＞6。635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.19.解:以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0）,C(0,2，0)，A1（1,0,1)，D1（0,0，1)．设E(1，y0,0）(0≤y0≤2)．（1）证明：因为eq\o(D1E，\s\up7（→））＝（1，y0，－1)，eq\o（A1D，\s\up7(→))＝(－1，0，－1)，则eq\o（D1E，\s\up7（→）)·eq\o（A1D,\s\up7(→））＝(1，y0,－1)·(－1,0，－1）＝0，所以eq\o(D1E，\s\up7(→））⊥eq\o（A1D,\s\up7(→）)，即D1E⊥A1D.(2）假设在棱AB上存在点E，使二面角D1。EC­D的平面角为30°.因为eq\o（EC,\s\up7(→))＝(－1，2－y0，0)，eq\o(D1C,\s\up7（→))＝（0，2，－1)，设平面D1EC的一个法向量为n1＝（x，y,z)，则eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(n1·eq\o(EC,\s\up7(→）)＝0，,n1·eq\o(D1C，\s\up7(→）)＝0，)）即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－x＋y2－y0＝0，，2y－z＝0.）)取y＝1,则n1＝（2－y0,1，2）是平面D1EC的一个法向量．易知平面ECD的一个法向量为n2＝eq\o（DD1,\s\up7（→）)＝（0，0,1),要使二面角D1。EC.D的平面角为30°,则cos30°＝|cosn1，n2|＝eq\f（｜n1·n2|,｜n1｜|n2｜)＝eq\f(2,\r(2－y02＋12＋22））＝eq\f（\r（3），2),解得y0＝2－eq\f(\r(3）,3）或y0＝2＋eq\f(\r(3），3)(不合题意，舍去）．所以当AE＝2－eq\f（\r(3），3)时，二面角D1。EC。D的平面角为30°.20.解：(1)由eq\f(c,a）＝eq\f(1，2），得a＝2c，所以a2＝4c2，b2＝3c2，将点Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))）的坐标代入椭圆方程得c2＝1，故所求椭圆方程为eq\f(x2，4）＋eq\f（y2,3)＝1。（2）由（1)可知F1（－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1，代入椭圆方程，整理得（4＋3t2）y2－6ty－9＝0,显然判别式大于0恒成立，设A(x1，y1）,B(x2，y2),△AF2B的内切圆半径为r0，则有y1＋y2＝eq\f(6t,4＋3t2），y1y2＝eq\f（－9,4＋3t2)，r0＝eq\f（3\r(2）,7)，＝eq\f(1,2)r0(｜AF1｜＋|BF1｜＋|BF2｜＋｜AF2|）＝eq\f（1,2)r0·4a＝eq\f(1，2）×8×eq\f（3\r（2)，7）＝eq\f（12\r(2），7），所以eq\f(12\r（t2＋1），4＋3t2)＝eq\f（12\r(2)，7),解得t2＝1,因为所求圆与直线l相切，所以半径r＝eq\f（2，\r(t2＋1））＝eq\r（2），所以所求圆的方程为（x－1)2＋y2＝2.21.（1）因为f′（x)＝－eq\f（lnx，x2)，当0＜x＜1时,f′（x）＞0;当x＞1时，f′(x）＜0，所以函数f（x）在（0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减,故函数f（x）的极大值点为x＝1，所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜1，，a＋1＞1,)）即0＜a＜1，故所求实数a的取值范围是（0，1)．(2)方程f（x)＝x2－2x＋k有实数解，即f(x)－x2＋2x＝k有实数解．设g（x）＝f（x)－x2＋2x，则g′（x)＝2(1－x）－eq\f（lnx,x2）.接下来，需求函数g（x)的单调区间，所以需解不等式g′(x)≥0及g′（x）≤0,因而需解方程g′（x)＝0。但此方程不易求解,所以我们可以先猜后解．因为g′（1）＝0,且当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时,g′(x)＜0,所以函数g(x)在(0,1）上单调递增，在(1,＋∞)上单调递减．所以g(x)max＝g（1)＝2.当x→0时，g(x）→－∞；当x→＋∞时，g（x)→－∞，所以函数g（x)的值域是（－∞,2],所以所求实数k的取值范围是（－∞，2]．22.解：(1）由曲线C1的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2＋cosα,,y＝2＋sinα）)（α为参数）,得曲线C1的普通方程为（x－2）2＋（y－2)2＝1,则C1的极坐标方程为