2020-2021学年山东青岛胶州高二上学期期中考试数学试题

青岛胶州市2020-2021学年高二上学期期中考试数学本试卷4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置；.作答选择题时：选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；非选择题必须用黑色字迹的专用签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效；.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。D.45O.直线1=D.45OA.90。 B,0O C.180。.已知向量a=(1,2,t),b=(t,1,2)，且a±b，则实数t=()2D.一3「 1 「2D.一3A.1 B.11 C. .若直线ljax+y+1=0与直线12:1+ay+2a—1=0平行，则实数a=()A.1 B.—1 C.0 D.±1.已知三棱柱ABC-A】VC；，点P为线段%的中点，则AP=()11AB+AC+1AA2 2 1AB+1AC+1AA2 2 111AB+1AC—AA2 2 11AB+1AC+AA2 2 1.已知二面角a—l—P的大小为60O,A,B为棱l上不同两点，C,D分别在半平面a,p内，AC,BD均垂直于棱—AC=BD=2AB=2，则异面直线CD与~AB所成角的余弦值为()A.B.C.D.A.B.C.D.6.若过原点的直线l与圆x6.若过原点的直线l与圆x2—4x+y2+3=0有两个交点，贝1"的倾斜角的取值范围为()兀兀A.(-寸？B.（-,7）66八兀、 ，5兀、 八兀、 ，2兀、C.[0,—）（—；-,7）D.[0,—）（^-,兀）6 6 3 3一X2 .7.已知椭圆C:一X2 .7.已知椭圆C:—+y2=1上两点A,B,4若AB的中点为D，直线OD的斜率等于1,则直线AB的斜率等于()—111C.——21D.——48.已知圆O:x2+y2=r2(r>0)8.已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与直线函数f(x)=ln(x—1)的图象交点个数为()个A.2 B.1 C.0 D.3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分..已知直线l:x—my+m—1=0，则下述正确的是()A.直线l的斜率可以等于0B.直线1的斜率有可能不存在C.直线l可能过点(2,1)D.若直线l的横纵截距相等，则m=±1.已知椭圆C：16X2+25y2=400，关于椭圆C下述正确的是()A.椭圆C的长轴长为10B.椭圆C的两个焦点分别为(0,—3)和(0,3)…3C.椭圆C的离心率等于532D.若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P,Q，则IPQI=5PF近.已知点F(—1,0),F(1,0)，动点P到直线x=2的距离为d,—-2二号，则()1 2 d2A.点P的轨迹是椭圆 B.点P的轨迹曲线的离心率等于1C.点P的轨迹方程为x2+y2=1 D.APFF的周长为定值4v-22 1212.已知四面体ABCD的所有棱长均为2，则下列结论正确的是()A.异面直线AC与BD所成角为60。2MB.点A到平面BCD的距离为一厂C.四面体ABCD的外接球体积为、&

D.动点P在平面BCD上，且AP与AC所成角为60°,则点P的轨迹是椭圆三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.TOC\o"1-5"\h\z13.圆C:x2+y2+4X=0与圆C:(x—2)2+(y—1)2=9的位置关系为 .\o"CurrentDocument"1 2X2y2 1.已知椭圆一十一=1的离心率等于彳，则实数m= .m9 3.已知正方体ABCD—A1B1clR的棱长为1,点P为线段AQ上一点，IPA1=1,则点P到平面ABCD的距离为..在平面直角坐标系中，A(1,2),D(2,1)，点B,C分别在x轴、y轴上，一则(1)IABI+IBDI的最小值是 ；(2)IACI+ICBI+IBDI的最小值是 .(第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤..(10分)已知O为坐标原点，直线l:ax+y-a-1=0(agR)，圆O:x2+y2=1.(1)若l的倾斜角为120°,求a；(2)若l与直线l:2x-y=0的倾斜角互补，求直线l上的点到圆O上的点的最小距离；0(3)求点O到l的最大距离及此时a的值..(12分)在平面直角坐标系中，圆C过点E(1,0)和点F(0,1),圆心。到直线x+y=0的距离等于.(1)求圆C的标准方程；(2)若圆心。在第一象限，M为圆C外一点，过点M做圆C的两条切线，切点分别为A,B，四边形MACB的面积为V3，求点M的轨迹方程..(12分)在四棱锥P-ABCD中，底^BCD是边长为4的正方形，PD1平面ABCD,M为PC中点.(1)如果PD=4，求证：PC1平面MAD； P20.(12分)在平面直角坐标系中，C1(0,-J2),圆C20.(12分)在平面直角坐标系中，C1(0,-J2),圆C2(1)求动点P的轨迹C的标准方程；(2)若直缜过点(0,1),且与曲线C交于A,B,:x2+(y-&/2=12,动圆P过2与圆C相切.2已知4B中点在直绿二--上海直缆的方程.求三棱锥D-MBC的体积V.21.（12分）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，ABCF为等边三角形，ZABC=60。,AB=2,EF//CD，平面BCF1平面ABCD.(1)证明：在线段BC上存在点。，使得平面ABCD1平面AOF；(2)求二面角B—AF—C的余弦值；(3)若ED//平面AOF，求线段EF的长度.22,(12分)X2V2已知O为坐标原点，椭圆C:--+b-=13>b>0)的左右焦点分别为F,F2,IF1F2\=2,p为椭圆的上顶点，以P为圆心且过F,F2的圆与直线X=72相切.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知直线l交椭圆C于M,N两点.(i)若直线/的斜率等于1，求AOMN面积的最大值；(ii)若OM-ON=—1,点D在l上，OD11.证明：存在定点W，使得IDWI为定值.2020-2021学年度第一学期期中检测高二数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1--8:ACBDBCDA二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。9.BD;10.ACD;11.AC;12.BC;三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。TOC\o"1-5"\h\z13.相交；14.8或4；15.-T—；16.(1)x110；(2)3<2；8 3四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(10分) _解：(1)由题知：直线l的斜率等于tan120=—%回=—a 2分解得a=%回 3分(2)因为l与直线10：2x-y=0的倾斜角互补，所以两者斜率互为相反数・・・4分所以—a=-2，即a=2，所以l:2x+y—3=0 5分一一一 3J5则圆心O到直线l的距离d=-5->1 6分一 一 3花所以直线l上的点到圆O上的点的最小距离为士-1 7分(3)直线l恒过定点卬(1,1) 8分所以O到l的最大距离小于等于IOW1=\；2 9分此时，OW11,所以kOW-ki=-1，解得a=1 10 分18.(12分)解：(1)因为圆C过点E(1,0)和点F(0,1)所以圆心C在线段EF的垂直平分线y=x上，所以可设圆心为C(a,a) 2分因为圆心C到直线x+y=0的距离等于、无Ia+aI所以 2-=v2，解得a=—1 4分当a=1时，圆心为(1,1)，半径r=IECI=1,圆C的方程为：(x-1)2+(y-1)2=1当a=-1时，圆心为(-1,-1)，半径丫=IECI=<5,圆C的方程为：(x+1)2+(y+1)2=5所以圆C的标准方程为：(x-1)2+(y-1)2=1或(x+1)2+(y+1)2=5 6 分(2)由题知：因为CA1MA 所以四边形(2)由题知：因为CA1MA 所以四边形MACB的面积SCAMB因为ICAI=1,所以|AM|=v3=2SACAMCA|.|AM|=耳 7分8分9分所以|CM|2=|CA|2+1AM|2=4 10 分所以|CM|=2，点m的轨迹是以C为圆心，半径为2的圆所以点M的轨迹方程为：(x-1)2+(y-1)2=4....19.(12分)

证明：(1)在APDC中，PD=DC,M为PC中点，TOC\o"1-5"\h\z所以PC1DM 1分因为PD1平面ABCD,ADu平面ABCD所以PD1AD又因为AD1CD,PDCD=D所以AD1平面PCD八 3分因为PCu平面PCD11所以AD1PC 4分因为ADDM=D所以PC1平面MAD 5分(2)设PD=t，以D为坐标原点，分别以DA,DC,DP所在方向为羽y,工轴正方向，建立O—町z空间直角坐标系，则D(0,0,0),B(4,4,0),M(0,2,1),P(0,0,t) ••6分设平面MBD的法向量为n=(x,y,z)，'n•DM=0 2设平面MBD的法向量为n=(x,y,z)，'n•DM=0 2y+-z=0所以《 ，得〈 2 ，[n.DB=0 I4X+4y=04TOC\o"1-5"\h\z令y=1,可得n=(-1,1,--), 8 分 , ,t -所以BP与平面MBD的法向量n所成角的正弦值为, -4 , 4 1cos<"cT6+r^=»+2(t2+等)气256 ,(当且仅当口二一，即t=4时等号成立) 10分12所以三棱锥D-MBC的体积V—V ——V =—V -—X—X4x4x4二竺 12分D-MBC M-DBC2P-DBC4P-ABCD43 320.(12分) _解：(1)设动圆P的半径为r，由题意知：|PCJ-丫,|PC21-2召-r....1分所以|PCj+|PC2|-2J3>IqCj-272 2分所以P点的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆. 3分其长轴长2a-2J3,焦距为2c-2J2,b-aa2-c2-1, 4分所以曲线C的标准方程为：y2+x2-1 5分(2)若直线斜率不存在，则A,B关于x轴对称，不合题意 6分(3+k2)x2(3+k2)x2+2kx-2-0将y-kx+1代入£+x2-1得:3… . 2k …所以x1+x2—一§+卜2 8分所以k2-4k+3-0，解得k-1或k-3 11分所以，直线l的方程为：y-x+1或y-3x+1 12分

21.(12分)解：(1)取线段BC的中点。，连接OA,OF，因为2CF、AABC均为等边三角形，所以BC1OA,BC1OF,OAOF=O，所以BC1平面AOF 又因为BCu平面ABC。，所以平面ABCD1平面AOF 所以，线段BC的中点O,使得平面ABCD1平面AOF(2)因为平面BCF1平面ABCD,平面BCF平面ABCD=BC,FO1BC所以FO1平面ABCD,所以OA,OB,OF两两垂直以OA、OB、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系O-xyz则A(<3,0,0,),B(0,1,0),F(0,0,<3),C(0,-1,0),D«3,-2,0) 设平面ABF的一个法向量3分4分m=(x/y/zj,因为AB=3分4分AF=(-,/3,0,<3),5分FE,、、D6分C:2 2 2A，所以n二(1,一七‘3,『)•By7分5分FE,、、D6分C:2 2 2A，所以n二(1,一七‘3,『)•By7分所以尸=(1,v;3,1)因为CA=(v'3,1,0),CF=(0,1,右)m-CA=0，得imCF=0Im•nI 1设二面角B-AF-C的平面角为0，所以cos9= =-所以二面角B-AF-C的余弦值为1 5 —»—►⑶因为EF所以二面角B-AF-C的余弦值为1 5 —»—►⑶因为EF//CD//AB，设FE=tBA=(<3t,-1,0),F(0,0,<3)所以E(V3t,-1,<3),则DE=(^3t-；3,2-1,<3) 又因为平面AOF的一个法向量为OB=(0,1,0) 因为DE-OB=(v；31-J3,2-t,，哥(0,1,0)=2-1=0所以t=2，所以IFEI=2TBAI=4 22,(12分)解：(DM意知：F(TO),F2(1,0) 由椭圆定义知，所以2〃=PF+PF2=272 设椭圆的半焦距为。，所以b2+c2=a2，所以a=<2,b=1,c=110分11分12分1分2分X2所以椭圆C的标准方程为：—+y2=1 (2)(i)设直线l的方程为：y=kx+1x2将y=kx+1带入 +y2=1得：(1+2k2)x2+4ktx+21