简单的超静定问题上课

简单的超静定问题上课第1页/共44页2第六章简单的超静定问题§6-1超静定问题及其解法§6-4简单超静定梁§6-2拉压超静定问题§6-3扭转超静定问题超静定问题第2页/共44页31.单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反力、内力）的问题，称为静定问题。F123F123§6-1超静定问题及其解法相应的结构称为静定结构。2.单纯依靠静力平衡方程不能确定全部未知力（支反力、内力）的问题，称为超静定问题。相应的结构称为超静定结构。超静定问题第3页/共44页4(1)静力学关系－－列静力平衡方程4.

超静定问题的解题方法步骤：(2)几何关系（变形几何相容条件）－－列几何方程(3)物理关系－－列物理方程(4)补充方程：由几何方程和物理方程得到(5)解由平衡方程和补充方程组成的方程组。3.

超静定次数n

：n=未知力数－独立的平衡方程数

所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束，相应的有多余未知力。超静定问题第4页/共44页5

静定基：解除超静定结构的多余约束后得到的静定结构，称为原超静定系统的静定基，同一问题静定基可以有不同的选择，主要是便于计算系统的变形和位移。

相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力，这样的系统称为原超静定系统的相当系统。静定基、基本静定系（相当系统）F1F2RF1F2F1F2R超静定问题第5页/共44页6[例6-2-1]

如图三杆用铰链连接，已知：l1=l2=l、l3；横截面积A1=A2=A、A3

；

弹性模量为：E1=E2=E、E3。

外力沿铅垂方向，求各杆的内力。拉压超静定问题ABDC132aFa§6-2拉压超静定问题

对拉压超静定问题，可综合运用静力学关系、物力关系和几何关系（变形几何相容条件）三方面来求解。一、拉压超静定问题解法第6页/共44页7A1(2)几何方程——变形协调方程：(3)物理方程——胡克定律：(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：解:

(1)以铰A为研究对象，列平衡方程:(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:ABDC132aFaAFN1aFaFN2FN3拉压超静定问题第7页/共44页8[例6-2-2]

两端固定直杆受轴向外力F作用，截面尺寸如图所示，求两端反力。解:由（1）、（2）式得FF拉压超静定问题第8页/共44页9[例6-2-3]

刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材料相同，许用应力为[σ]，材料的弹性模量为E，杆长均为l，横截面面积均为A，试求结构的许可载荷[F]。Aa123FDaa拉压超静定问题第9页/共44页10解：取刚性梁为研究对象，列静力平衡方程：变形协调条件：即：AaFDaaFN1FN3FN2AD受力图位移图拉压超静定问题第10页/共44页11联立求解(1)和(2),得：3杆轴力为最大,其强度条件为:拉压超静定问题第11页/共44页12[例6-2-4]木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和[]2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa

和E2=10GPa；求许可载荷P。（2）列变形几何相容方程（3）由物理方程得补充方程：解：（1）以压头为研究对象,设每个角钢受力为FN1，木柱受力为FN2.拉压超静定问题第12页/共44页13（4）解平衡方程和补充方程，得:（5）求结构的许可载荷：角钢面积由型钢表查得:A1=3.086cm2拉压超静定问题第13页/共44页14解：(1)取铰A分析，列平衡方程:[例6-2-5]如图所示3号杆的尺寸误差为，求各杆的装配内力。二、装配应力:杆件尺寸误差引起的应力。1静定问题无装配应力。2超静定问题存在装配应力。FN1、FN2

为压力，FN3为拉力。ABDC132A0d拉压超静定问题第14页/共44页15(3)物理方程及补充方程：(4)解平衡方程和补充方程，得:(2)几何方程dAA0A1ABDC132A0dA1拉压超静定问题第15页/共44页161、静定问题无温度应力三、温度应力[例6-2-6]

如图，1、2号杆的尺寸及材料都相同，当结构温度由T1变到T2时,求各杆的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别为αi；△T=T2-T1)(2)几何方程2、超静定问题存在温度应力A1ABDC132AFN1FN2FN3解:

(1)以铰A为研究对象，列平衡方程:拉压超静定问题第16页/共44页17(3)物理方程：(4)补充方程：杆件变形包括温度引起的变形和外力引起的变形两部分。(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:拉压超静定问题第17页/共44页18(2)几何方程解：(1)解除约束，代之以约束力。列静力平衡方程:[例6-2-7]如图，阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃时被固定,杆的上下两段的面积分别为=cm2、=cm2，当温度升至T2=25℃时,求各杆的温度应力。(线膨胀系数；弹性模量E=200GPa)FR1FR2拉压超静定问题第18页/共44页19(3)物理方程(5)联解（1）、（2）式，得:(4)补充方程(6)温度应力FR1FR2拉压超静定问题第19页/共44页20[例6-2-8]如图刚性梁悬挂于3根平行杆上，l＝2m,F＝40kN，a=1.5m，b=1m，c=0.25m，δ＝0.2mm。1杆由黄铜制成，A1=2cm2，E1=100GPa，

。2杆和3杆由碳钢制成，A2=1cm2，A3=3cm2，E2=E3=200GPa，。设温度升高20℃，试求各杆应力。F123baδlcAB解：分析，各杆中即有由外载荷F引起的应力，也有装配应力，还有温度应力。设三杆最终变形分别为Δl1、Δl2、Δl3

。

取刚性梁为研究对象，受力如图所示。拉压超静定问题第20页/共44页21F123baδlcABFABFN1FN3FN2Δl1Δl2－δΔl3(2)

几何方程:(3)

物理方程:拉压超静定问题(1)

列静力平衡方程:第21页/共44页22联解（1）－（6）式得:（4）三杆应力分别为:拉压超静定问题第22页/共44页23扭转超静定问题§6-3扭转超静定问题[例6-3-1]

两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转力偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭转角。(a)

扭转超静定问题，同样是综合运用静力学关系、物力关系和几何关系三方面来求解。第23页/共44页24

解:1.以AB为研究对象,有二个未知约束力偶矩MA,MB，但只有一个独立的静力平衡方程故为一次超静定问题。(a)MAMB扭转超静定问题2.变形几何方程为：第24页/共44页25另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为3.根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：扭转超静定问题讨论：C截面相对A的扭转角为：(a)MAMB第25页/共44页26[例6-3-2]由半径为a的铜杆和外半径为b的钢管经紧配合而成的组合杆，受扭转力偶矩Me作用，如图a。试求铜杆和钢管横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。(a)扭转超静定问题第26页/共44页27

解:

1.

设铜杆和钢管的横截面上内力矩分别为扭矩Ta和Tb(图b)，为一次超静定问题。2.位移相容条件为扭转超静定问题(b)TbTa静力平衡方程：Ta+Tb=Me，3.利用物理关系得补充方程为第27页/共44页284.联立求解补充方程和平衡方程得：扭转超静定问题5.铜杆横截面上任意点的切应力为钢管横截面上任意点的切应力为第28页/共44页29

上图示出了铜杆和钢管横截面上切应力沿半径的变化情况。需要注意的是，由于铜的切变模量Ga小于钢的切变模量Gb，故铜杆和钢管在r=a处切应力并不相等，两者之比就等于两种材料的切变模量之比。这一结果与铜杆和钢管由于紧配合而在交界处切向的切应变应该相同是一致的。扭转超静定问题第29页/共44页30简单超静定梁一、超静定梁的解法

解超静定梁的基本思路与解拉压、扭转超静定问题相同。§6-4简单超静定梁(1)解除“多余”约束，并代之以“多余”约束力（未知力），得原超静定结构的基本静定系（或相当系统）。(2)利用“基本静定系在多余未知力作用处相应的位移应满足原超静定结构的约束条件”这一点求解未知量。第30页/共44页31简单超静定梁+--+第31页/共44页32

例6-4-1

试求图a所示等截面连续梁的约束力FA,FB,FC，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度EI=5×106N·m2。简单超静定梁解:

1.此梁为一次超静定梁。第32页/共44页33

此时基本静定系为两跨相邻的简支梁，它们除承受原超静定梁上的荷载外，在中间支座B处的梁端还分别作用有等值反向的“多余”未知力矩──弯矩MB，图b中的“多余”未知力矩为一对正弯矩。位移相容条件(参见图b)为2.为便于求解，对于连续梁常取中间支座截面处阻止左、右两侧梁相对转动的内部角约束为“多余”约束，从而以梁的中间支座截面上的弯矩作为“多余”未知力，如图b。简单超静定梁第33页/共44页343.利用附录Ⅳ可得物理关系为简单超静定梁

应该注意，在列出转角

和的算式时每一项的正负号都必须按同一规定(例如顺时针为正，逆时针为负)确定。第34页/共44页354.将物理关系代入位移相容条件得补充方程，5.利用图b可得约束力：简单超静定梁解得：第35页/共44页36(c)(d)绘出剪力图和弯矩图如图c,d。简单超静定梁第36页/共44页37由上3式得：例6-4-2如图所示梁。已知:q=15N/m,l=4m,梁圆截面直径d=100mm,[σ]=100MPa。试校核该梁的强度。解：（1）列静力平衡方程（2）列变形协调方程简单超静定梁（3）得补充方程梁满足强度条件++-第37页/共44页38例6-4-3试求图示梁的支反力。解：在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不