土木工程材料力学章节第9弯曲

第九章

A-弯曲内力

B-弯曲应力

C-弯曲变形第九章A-弯曲内力§9A-1弯曲的概念和实例§9A-2受弯杆件的简化§9A-3剪力和弯矩§9A-4剪力方程和弯矩方程

剪力图和弯矩图§9A-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系§9A-1弯曲的概念和实例起重机大梁车削工件§9A-1弯曲的概念和实例火车轮轴§9A-1弯曲的概念和实例弯曲特点以弯曲变形为主的杆件通常称为梁§9A-1弯曲的概念和实例平面弯曲平面弯曲:弯曲变形后的轴线为平面曲线,且该平面曲线仍与外力共面。§9A-1弯曲的概念和实例对称弯曲常见弯曲构件截面§9A-1弯曲的概念和实例梁的载荷与支座集中载荷分布载荷集中力偶固定铰支座活动铰支座固定端§9A-2受弯杆件的简化火车轮轴简化§9A-2受弯杆件的简化§9A-2受弯杆件的简化吊车大梁简化均匀分布载荷简称均布载荷§9A-2受弯杆件的简化非均匀分布载荷§9A-2受弯杆件的简化简支梁外伸梁悬臂梁FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA静定梁的基本形式§9A-2受弯杆件的简化FNFSMFS剪力，平行于横截面的内力合力M

弯矩，垂直于横截面的内力系的合力偶矩FByFNFSM§9A-3剪力和弯矩FAyFAyFNFSMFByFNFSM截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力为正；反之为负。+_截面上的弯矩使得梁呈凹形为正；反之为负。§9A-3剪力和弯矩左上右下为正；反之为负左顺右逆为正；反之为负+_解：1.确定支反力FAyFBy2.用截面法研究内力FAyFSEME例题FAy§9A-3剪力和弯矩FByFByFAyFSEMEO分析右段得到：FSEMEO§9A-3剪力和弯矩FAyFBy截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。FAyFSE2FFSE§9A-3剪力和弯矩FAyFBy截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代数和。MEFAy2FME§9A-3剪力和弯矩q悬臂梁受均布载荷作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：任选一截面x，写出剪力和弯矩方程x依方程画出剪力图和弯矩图FSxMxl由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为qx§9A-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图BAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力FAy＝Fb/lFBy＝Fa/l2．写出剪力和弯矩方程x2FSxMxx1ACCB3.依方程画出剪力图和弯矩图。CFab§9A-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图BAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力FAy＝M/lFBy＝-M/l2．写出剪力和弯矩方程x2x1ACCB3.依方程画出剪力图和弯矩图。CMab§9A-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图BAlFAYqFBY简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力FAy＝FBy＝ql/22．写出剪力和弯矩方程yxCx3.依方程画出剪力图和弯矩图。FSxMx§9A-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图Bqly

已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l。试：画出刚架的内力图。解：1、确定约束力2、写出各段的内力方程竖杆AB：A点向上为yBqlyFN(y)FS(y)M(y)平面刚架的内力横杆CB：C点向左为xBqlyBFN(x)M(x)xFS(x)x平面刚架的内力竖杆AB：Bqly根据各段的内力方程画内力图横杆CB：MFNFSql＋－＋平面刚架的内力§9A-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：q＝0，Fs=常数，剪力图为水平直线；M(x)为x的一次函数，弯矩图为斜直线。2.q＝常数，Fs(x)为x的一次函数，剪力图为斜直线；M(x)为x的二次函数，弯矩图为抛物线。分布载荷向上（q>0），抛物线呈凹形；分布载荷向上（q<0），抛物线呈凸形。3.剪力Fs=0处，弯矩取极值。4.集中力作用处，剪力图突变；集中力偶作用处，弯矩图突变§9A-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系5、也可通过积分方法确定剪力、弯矩图上各点处的数值。

从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。

从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没有变化。

§9A-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：

根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。

应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。

建立FS一x和M一x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。§9A-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例题

简支梁受力的大小和方向如图示。试画出其剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力求得A、B

二处的约束力

FAy＝0.89kN,FBy＝1.11kN根据力矩平衡方程2．确定控制面

在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。

EDCF§9A-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系(+)(-)BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kNEDCFM(kN.m)xO3．建立坐标系建立FS－x和M－x坐标系

5．根据微分关系连图线4．应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FS－x和M－x坐标系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS

(kN)O0.89kN=＝1.11kN§9A-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系（-）（+）解法2：1．确定约束力FAy＝0.89kNFFy＝1.11kN2．确定控制面为A、C、D、B两侧截面。

FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3．从A截面左测开始画剪力图。

Fs（kN）0.891.11§9A-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系（-）（-）4．从A截面左测开始画弯矩图。

M（kN.m）从A左到A右从C左到C右从D左到D右从A右到C左1.3300.330从C右到D左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（kN）0.891.11§9A-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系从D右到B左从B左到B右qBADa4aFAyFBy例题试画出梁的剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力根据梁的整体平衡，由求得A、B二处的约束力qa2．确定控制面

由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为控制面，约束力FBy右侧的截面，以及集中力qa左侧的截面，也都是控制面。C§9A-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系（+）（-）（+）qBADa4aFAyFByqaC3．建立坐标系建立FS－x和M－x坐标系OFSxOMx4．确定控制面上的剪力值，并将其标在FS－x中。5．确定控制面上的弯矩值，并将其标在M－x中。§9A-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa解法2：1．确定约束力2．确定控制面，即A、B、D两侧截面。

3．从A截面左测开始画剪力图。

Fs

9qa/4

7qa/4qa§9A-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系（+）M

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa

Fs

9qa/4

7qa/4qa4．求出剪力为零的点到A的距离。B点的弯矩为-1/2×7qa/4×7a/4+81qa2/32=qa2AB段为上凸抛物线。且有极大值。该点的弯矩为1/2×9qa/4×9a/4=81qa2/325．从A截面左测开始画弯矩图

81qa2/32qa2§9A-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系（-）（-）（+）（+）（-）

Fs例题试画出图示有中间铰梁的剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力从铰处将梁截开qFDyFDyqaFAyFByMAFAyFByqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDqMA§9A-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系A-弯曲内力小结1、熟练求解各种形式静定梁的支座反力2、明确剪力和弯矩的概念，理解剪力和弯矩的正负号规定3、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值4、熟练建立剪力方程、弯矩方程，正确绘制剪力图和弯矩图第九章B-弯曲应力§9B-2纯弯曲时的正应力§9B-3横力弯曲时的正应力§9B-4弯曲切应力§9B-5提高弯曲强度的措施§9B-1纯弯曲回顾与比较内力应力FSM§9B-1纯弯曲纯弯曲梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲§9B-1纯弯曲§9B-2纯弯曲时的正应力一、变形几何关系aabbmnnmm´a´a´b´b´m´n´n´平面假设：横截面变形后保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。凹入一侧纤维缩短突出一侧纤维伸长中间一层纤维长度不变－－中性层中间层与横截面的交线－－中性轴§9B-2纯弯曲时的正应力设想梁是由无数层纵向纤维组成胡克定理§9B-2纯弯曲时的正应力建立坐标二、物理关系(a)(b)aabbmnnmooy三、静力学关系§9B-2纯弯曲时的正应力(c)FN、My、Mz正应力公式变形几何关系物理关系静力学关系为梁弯曲变形后的曲率为曲率半径，§9B-2纯弯曲时的正应力正应力分布§9B-2纯弯曲时的正应力MM

与中性轴距离相等的点，正应力相等；

正应力大小与其到中性轴距离成正比；

中性轴上,正应力等于零常见截面的IZ和WZ圆截面矩形截面空心圆截面空心矩形截面§9B-2纯弯曲时的正应力§9B-3横力弯曲时的正应力弹性力学精确分析表明，当跨度l

与横截面高度h

之比l/h>5

（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。

横力弯曲横力弯曲正应力公式横力弯曲最大正应力§9B-3横力弯曲时的正应力细长梁的纯弯曲或横力弯曲横截面惯性积IYZ=0弹性变形阶段公式适用范围弯曲正应力强度条件1.等截面梁弯矩最大的截面上2.离中性轴最远处4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑3.变截面梁要综合考虑与§9B-3横力弯曲时的正应力FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1mMx30zy180120K1.C截面上K点正应力2.C截面上最大正应力3.全梁上最大正应力4.已知E=200GPa，C截面的曲率半径ρFSx90kN90kN1.求支反力（压应力）解：例题§9B-3横力弯曲时的正应力BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN2.C截面最大正应力C截面弯矩C截面惯性矩§9B-3横力弯曲时的正应力BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN3.全梁最大正应力最大弯矩截面惯性矩§9B-3横力弯曲时的正应力BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN4.C截面曲率半径ρC截面弯矩C截面惯性矩§9B-3横力弯曲时的正应力分析（1）（2）弯矩最大的截面（3）抗弯截面系数最小的截面图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知材料的许用应力例题§9B-3横力弯曲时的正应力（3）B截面，C截面需校核（4）强度校核B截面：C截面：（5）结论轴满足强度要求（1）计算简图（2）绘弯矩图FaFb解：§9B-3横力弯曲时的正应力分析（1）确定危险截面（3）计算（4）计算，选择工字钢型号某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重材料的许用应力起重量跨度试选择工字钢的型号。（2）例题§9B-3横力弯曲时的正应力（4）选择工字钢型号（5）讨论（3）根据计算（1）计算简图（2）绘弯矩图解：36c工字钢§9B-3横力弯曲时的正应力作弯矩图，寻找需要校核的截面要同时满足分析：非对称截面，要寻找中性轴位置T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。例题§9B-3横力弯曲时的正应力（2）求截面对中性轴z的惯性矩（1）求截面形心z1yz52解：§9B-3横力弯曲时的正应力（4）B截面校核（3）作弯矩图§9B-3横力弯曲时的正应力（5）C截面要不要校核？（4）B截面校核（3）作弯矩图§9B-3横力弯曲时的正应力梁满足强度要求§9B-4弯曲切应力xdxxyPmq(x)ABmnm1n1分几种截面形状讨论弯曲切应力一、矩形截面梁1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力2、切应力沿截面宽度均匀分布关于切应力的分布作两点假设：Fsbhymnm1n1Op1q1pdxxyz§9B-4弯曲切应力dxm1n1nmMM+dMτ’ypp1m1n1mndxpp1q1qyττ’σdAFN1FN2zyy1讨论部分梁的平衡§9B-4弯曲切应力m1n1mndxpp1q1qyττ’σdAFN1FN2zyy1§9B-4弯曲切应力横力弯曲截面发生翘曲切应变PP§9B-4弯曲切应力

若各截面Fs相等，则翘曲程度相同，纵向纤维长度不变，对计算无影响。

若各截面Fs不等（如有q作用），则翘曲程度不同，各纵向纤维长度发生变化，对计算有影响。但这种影响对梁常可忽略。§9B-4弯曲切应力二、圆形截面梁Fs§9B-4弯曲切应力Fs三、工字型截面梁Bb0hh0zyy实心截面梁正应力与切应力比较对于直径为d的圆截面maxmax=6(l/d)§9B-4弯曲切应力（l为梁的跨度）实心截面梁正应力与切应力比较对于宽为b、高为h的矩形截面maxmax=4(l/h)§9B-4弯曲切应力（l为梁的跨度）

梁的跨度较短（l/h<5）；在支座附近作用较大载荷（载荷靠近支座）；铆接或焊接的工字形或箱形等截面梁（腹板、焊缝、胶合面或铆钉等）qBACDElPPa§9B-4弯曲切应力有些情况必须考虑弯曲切应力悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的〔σ〕=10MPa，[τ]=1MPa，求许可载荷。1.画梁的剪力图和弯矩图2.按正应力强度条件计算许可载荷3.按切应力强度条件计算许可载荷解：例题§9B-4弯曲切应力4.按胶合面强度条件计算许可载荷5.梁的许可载荷为§9B-4弯曲切应力§9B-5提高弯曲强度的措施1.降低Mmax

合理安排支座合理布置载荷合理布置支座FFF§9B-5提高弯曲强度的措施合理布置支座§9B-5提高弯曲强度的措施合理布置载荷F§9B-5提高弯曲强度的措施2.增大WZ合理设计截面合理放置截面§9B-5提高弯曲强度的措施合理设计截面§9B-5提高弯曲强度的措施合理设计截面§9B-5提高弯曲强度的措施令合理放置截面§9B-5提高弯曲强度的措施3、等强度梁(变截面梁)

§9B-5提高弯曲强度的措施§9B-5提高弯曲强度的措施B-弯曲应力小结1、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推导方法2、熟练掌握弯曲正应力的计算、弯曲正应力强度条件及其应用3、了解提高梁强度的主要措施第九章C-弯曲变形§9C-1工程中的弯曲变形问题§9C-2挠曲线的微分方程§9C-3用积分法求弯曲变形§9C-4用叠加法求弯曲变形§9C-6提高弯曲刚度的一些措施§9C-5简单超静定梁§9C-1工程中的弯曲变形问题7-1§9C-1工程中的弯曲变形问题§9C-1工程中的弯曲变形问题§9C-2挠曲线的微分方程1.基本概念挠曲线方程：由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计挠度转角关系为：挠曲线挠度转角挠度y：截面形心在y方向的位移向上为正转角θ：截面绕中性轴转过的角度。逆时针为正7-22.挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：忽略剪力对变形的影响§9C-2挠曲线的微分方程由数学知识可知：略去高阶小量，得所以§9C-2挠曲线的微分方程由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。§9C-2挠曲线的微分方程§9C-3用积分法求弯曲变形挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：7-3积分常数C、D由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。位移边界条件光滑连续条件－弹簧变形§9C-3用积分法求弯曲变形例1求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。解1）由梁的整体平衡分析可得：2）写出x截面的弯矩方程3）列挠曲线近似微分方程并积分积分一次再积分一次ABF§9C-3用积分法求弯曲变形4）由位移边界条件确定积分常数代入求解5）确定转角方程和挠度方程6）确定最大转角和最大挠度ABF§9C-3用积分法求弯曲变形例2求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整体平衡分析得：2）弯矩方程AC段：CB段：§9C-3用积分法求弯曲变形3）列挠曲线近似微分方程并积分AC段：CB段：§9C-3用积分法求弯曲变形4）由边界条件确定积分常数代入求解，得位移边界条件光滑连续条件§9C-3用积分法求弯曲变形5）确定转角方程和挠度方程AC段：CB段：§9C-3用积分法求弯曲变形6）确定最大转角和最大挠度令得，令得，§9C-3用积分法求弯曲变形讨论积分法求变形有什么优缺点？§9C-3用积分法求弯曲变形§9C-4用叠加法求弯曲变形设梁上有n个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为y，则有：若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为，转角为，挠度为，则有：由弯矩的叠加原理知：所以，7-4故由于梁的边界条件不变，因此重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。§9C-4用叠加法求弯曲变形例3已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC

；B截面的转角B1）将梁上的载荷分解yC1yC2yC32）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。解§9C-4用叠加法求弯曲变形3）应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和

§9C-4用叠加法求弯曲变形yC1yC2yC3例4已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形为了利用梁