中考数学二轮复习考点精讲专题03 规律探究之数式（教师版）

专题03规律探究之数式专题03规律探究之数式知识导航知识导航题型精讲题型精讲题型一：数列数字问题【例1】（2021·山东济宁市）按规律排列的一组数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，□，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，其中□内应填的数是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方SKIPIF1<0，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方SKIPIF1<0，SKIPIF1<0第SKIPIF1<0个数据为：SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的分子为SKIPIF1<0，分母为SKIPIF1<0SKIPIF1<0这个数为SKIPIF1<0故选：SKIPIF1<0．【例2】（2020·牡丹江）一列数1，5，11，19…按此规律排列，第7个数是（）A．37 B．41 C．55 D．71【分析】根据题意得出已知数组的规律，得到第n个数的表示方法，从而得出结果．【详解】1＝1×2﹣1，5＝2×3﹣1，11＝3×4﹣1，19＝4×5﹣1，…第n个数为n（n+1）﹣1，则第7个数是：55．故选：C．题型训练题型训练1．（2021·贵州铜仁市）观察下列各项：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，则第SKIPIF1<0项是______________．【分析】根据已知可得出规律：第一项：SKIPIF1<0，第二项：SKIPIF1<0，第三项：SKIPIF1<0…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：SKIPIF1<0，第二项：SKIPIF1<0，第三项：SKIPIF1<0，第四项：SKIPIF1<0，…则第SKIPIF1<0项是SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0．2．（2020玉林）观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10，12，…，若最后三个数之和是3000，则n等于（）A．499 B．500 C．501 D．1002【分析】观察得出第n个数为2n，根据最后三个数的和为3000，列出方程，求解即可．【详解】由题意，得第n个数为2n，那么2n+2（n﹣1）+2（n﹣2）＝3000，解得：n＝501，故选：C．3．（2021·湖北）根据图中数字的规律，若第SKIPIF1<0个图中的SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A．100 B．121 C．144 D．169【分析】分别分析n的规律、p的规律、q的规律，再找n、p、q之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵第SKIPIF1<0个图中的SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(不符合题意，舍去)∴SKIPIF1<0，故选：B．题型二：图型数字问题【例3】（2021·江苏扬州市）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为SKIPIF1<0，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：SKIPIF1<0=3，第③个图形中的黑色圆点的个数为：SKIPIF1<0=6，第④个图形中的黑色圆点的个数为：SKIPIF1<0=10，...第n个图形中的黑色圆点的个数为SKIPIF1<0，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=16...1，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即SKIPIF1<0=1275，故答案为：1275．【例4】（2021·四川）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n个图形需要___________根火柴棍．【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．【详解】解：由图可知：拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，...拼成第n个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，故答案为：2n+1．题型训练题型训练1．（2021·四川）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．【答案】20【分析】根据已知图形得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+SKIPIF1<0+n=SKIPIF1<0，列一元二次方程求解可得．【详解】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，……∴第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5+SKIPIF1<0+n=SKIPIF1<0，当共有210个小球时，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(不合题意，舍去)，∴第SKIPIF1<0个图形共有210个小球．故答案为：SKIPIF1<0．2．（2020重庆）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（）A．10 B．15 C．18 D．21【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．【解析】∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，……∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，故选：B．3．（2020山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）．【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n的代数式表示．【解析】第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1…按此规律摆下去，第n个图案有（3n+1）个三角形．故答案为：（3n+1）．题型三：指数型数字问题【例5】（2020铜仁市）观察下列等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；2+22+23+24+25＝26﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240＝（结果用含m的代数式表示）．【分析】由题意可得220+221+222+223+224+…+238+239+240＝220（1+2+22+…+219+220）＝220（1+221﹣2）＝220（220×2﹣1），再将220＝m代入即可求解．【详解】∵220＝m，∴220+221+222+223+224+…+238+239+240＝220（1+2+22+…+219+220）＝220（1+221﹣2）＝m（2m﹣1）．故答案为：m（2m﹣1）．【例6】（2021·湖南怀化市）观察等式：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，已知按一定规律排列的一组数：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，用含SKIPIF1<0的代数式表示这组数的和是___________．【分析】根据规律将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0用含SKIPIF1<0的代数式表示，再计算SKIPIF1<0的和，即可计算SKIPIF1<0的和．【详解】由题意规律可得：SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0．……∴SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0SKIPIF1<0②-①，得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0．题型训练题型训练1．（2021·浙江嘉兴市）观察下列等式：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…按此规律，则第SKIPIF1<0个等式为SKIPIF1<0__________________．【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可．【详解】解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…∴第SKIPIF1<0个等式为：SKIPIF1<0故答案是：SKIPIF1<0．2．（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【解析】∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．故选：A．3．（2020•咸宁）按一定规律排列的一列数：3，32，3﹣1，33，34，37，3﹣11，318，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是．【分析】首项判断出这列数中，3的指数各项依次为1，2，﹣1，3，﹣4，7，﹣11，18…，从第三个数起，每个数的指数都是前两数指数之差；可得这列数中的连续三个数，满足a﹣b＝c，据此解答即可．【解析】∵3，32，3﹣1，33，3﹣4，37，3﹣11，318，…，1﹣2＝﹣1，2﹣（﹣1）＝3，﹣1﹣3＝﹣4，3﹣（﹣4）＝7，﹣4﹣7＝﹣11，7﹣（﹣11）＝18，…，∴a，b，c满足的关系式是a﹣b＝c．故答案为：a﹣b＝c．题型四：排列型数字问题【例7】把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列：12，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，…

…

…

…

按此规律，可知第n行有

个正整数【答案】：SKIPIF1<0【解析】：仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行有4个数字，第四行有8个数字，再用我们前面所用的方法，我们就不容易找到变化的规律了。我们不妨换一种思路。利用幂指数的思想试一试。由于第一个数字是1，联想到任何不是零的数的任何次幂都是1，所以，指数0=序号1-1，又因为第二行有2个数字，第三行有4个数字，第四行有8个数字，这些数字都是偶数，所以底数一定是偶数，是2、或4或6等等，但是，第二个数为2，指数等于2-1=1，所以，底数为2，这样，我们就找到规律，第n行中的数字个数为SKIPIF1<0。【例8】（2021·湖北荆门市）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第____行第______列．【分析】找到第n行第n列的数字，找到规律，代入2021即可求解【详解】通过观察发现：1=13=1+26=1+2+310=1+2+3+4……故第n行第n列数字为：SKIPIF1<0，则第n行第1列数字为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0+1设2021是第n行第m列的数字，则：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0,可以看作两个连续的整数的乘积，SKIPIF1<0为正整数，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0故答案为：64，5SKIPIF1<0题型训练1．将正整数按如图所示的规律排列下去。若用有序实数对（，）表示第排，从左到右第个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是

。题型训练【答案】：23【解析】：仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行有3个数字，第四行有4个数字，……第n行有n个数字，这是第一条变化规律；我们再来观察一下，每一行最后的一个数字的特点，不难发现，第二行的最后一个数字3=第一行中的数字个数1+第二行数字个数2，第三行最后的数字6=第一行数字个数1+第二行数字2+第三行数字个数3；因此，第n行的最后一个数字=1+2+3+4+…………+n=SKIPIF1<0，所以，第六行最后的数字为：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=21，所以，第七行的第一个数字为22，第二个数字位23，因为（7，2）的意义就是第七行第二个数的意思，所以，（7，2）表示的实数是

23。2．（2021·江西）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：SKIPIF1<0；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．题型五：等式探究型数字问题【例9】阅读解答：（1）填空：SKIPIF1<0_____SKIPIF1<0；SKIPIF1<0_____SKIPIF1<0；SKIPIF1<0_____SKIPIF1<0……（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式_________；（3）根据上述规律，计算：SKIPIF1<0．【解析】（1）21-20=1=20，22-21=2=21，23-22=4=22；（2）由题意可得：2n-2n-1=2n-1；（3）设SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．故答案为：（1）1，0；2，1；4，2；（2）2n-2n-1=2n-1；（3）SKIPIF1<0【例10】（2020张家界）观察下面的变化规律：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0…根据上面的规律计算：SKIPIF1<0．【分析】本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．【解析】由题干信息可抽象出一般规律：2a⋅b=1a−1b（a故2＝1−＝1−=2020故答案：20202021题型训练题型训练1．（2020青海）观察下列各式的规律：①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1．请按以上规律写出第4个算式．用含有字母的式子表示第n个算式为．【分析】按照前3个算式的规律写出即可；观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于﹣1，根据此规律写出即可．【解析】④4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1．第n个算式为：n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1．故答案为：4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1；n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1．2．（2021·湖北鄂州市）已知SKIPIF1<0为实数﹐规定运算：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0．按上述方法计算：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【分析】当SKIPIF1<0时，计算出SKIPIF1<0，会发现呈周期性出现，即可得到的值．【详解】解：当时，计算出，会发现是以：，循环出现的规律，，，故选：D．提分作业提分作业1．（2020孝感）有一列数，按一定的规律排列成SKIPIF1<0，﹣1，3，﹣9，27，﹣81，…．若其中某三个相邻数的和是﹣567，则这三个数中第一个数是．【分析】设这三个数中的第一个数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，根据三个数之和为﹣567，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】设这三个数中的第一个数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，依题意，得：x﹣3x+9x＝﹣567，解得：x＝﹣81．故答案为：﹣81．2．（2020滨州）观察下列各式：a1SKIPIF1<0，a2SKIPIF1<0，a3SKIPIF1<0，a4SKIPIF1<0，a5SKIPIF1<0，…，根据其中的规律可得an＝（用含n的式子表示）．【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2﹣1，即第n项的分子是n2+（﹣1）n+1；依此即可求解．【解析】由分析可得anSKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．3．（2020绥化）如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第10个图中黑点的个数是．【分析】根据已知图形得出第n个图形中黑点的个数为2n（n+1）÷2+（n﹣1）＝n2+2n﹣1，据此求解可得．【解析】∵图1中黑点的个数2×1×（1+1）÷2+（1﹣1）＝2，图2中黑点的个数2×2×（1+2）÷2+（2﹣1）＝7，图3中黑点的个数2×3×（1+3）÷2+（3﹣1）＝14，……∴第n个图形中黑点的个数为2n（n+1）÷2+（n﹣1）＝n2+2n﹣1，∴第10个图形中黑点的个数为102+2×10﹣1＝119．故答案为：119．4．（2020黔西南州）如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为．【分析】根据图形的变化规律即可得第⑦个图形中菱形的个数．【解析】第①个图形中一共有3个菱形，即2+1×1＝3；第②个图形中