四种命题李用

1.1.2四种命题

在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题。

问题1.什么是命题？它由条件和结论两部分构成。问题2、命题是由哪几部分构成的？问题3、命题有哪几种？真命题，假命题复习:1.（09江西文）下列命题是真命题的为（）

A.若,则

B.若,则

C.若,则

D.若,则A下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。【问题引入】pqqp互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。原命题：其中一个命题叫做原命题。逆命题：另一个命题叫做原命题的逆命题。即原命题:若p,则q逆命题:若q,则p下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。【问题引入】pq互否命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做互否命题。原命题：其中一个命题叫做原命题。否命题：另一个命题叫做原命题的否命题。即原命题:若p,则q否命题:若┐p,则┐q┐p┐q下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。【问题引入】pq互为逆否命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这两个命题叫做互为逆否命题。原命题：其中一个命题叫做原命题。逆否命题：另一个命题叫做原命题的逆否命题。即原命题:若p,则q逆否命题:若┐q,则┐p┐p┐q原命题,逆命题,否命题,逆否命题四种命题形式:

原命题:

逆命题:

否命题:逆否命题:若p,则q若q,则p若┐p,则┐q若┐q,则┐p1：要写出一个命题的另外三个命题关键是分清命题的题设和结论（即把原命题写成“若P则q”的形式）2：（1）“或”的否定为“且”，（2）“且”的否定为“或”，（3）“都”的否定为“不都”。注意：三种命题中最难写的是否命题。原词语否定词原词语否定词等于任意的是至少有一个都是至多有一个大于至少有n个小于至多有n个一些常见的结论的否定形式

不是不都是不大于大于或等于一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个不等于某个原词语否定词原词语否定词对所有x,成立对任何x，不成立所有的存在某x，不成立存在某x，成立某些一些常见的结论的否定形式

诀窍:全部肯定的否定是部分否定部分肯定的否定是全部否定2）原命题：若a=0,则ab=0。逆命题：若ab=0,则a=0。否命题：若a≠0,则ab≠0。逆否命题：若ab≠0,则a≠0。(真)(假)(假)(真)(真)例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：1）原命题：若x=2或x=3,则x2-5x+6=0。逆命题：若x2-5x+6=0,则x=2或x=3。否命题：若x≠2且x≠3,则x2-5x+6≠0。逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。(真)(真)(真)3)原命题：若a>b,则ac2>bc2。逆命题：若ac2>bc2,则a>b。否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。（假）（真）（真）（假）例2若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出其假。分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且”“或”的否定为“或”“且”。解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。否命题：若m>0且n>0,则m+n>0.逆否命题：若m+n>0,则m>0且n>0.（真）（真）（假）小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价。把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题，否命题与逆否命题（1）由x+3=8,得x=5（2）正偶数不是质数（3）全等三角形相似例1：解（1）原命题：若x+3≠8，则x≠5逆命题：若x=5，则x+3=8否命题：逆否命题：若x≠5，则x+3≠8若x+3=8，则x=5逆否命题：若一个数是质数，则它不是正偶数原命题：若两个三角形全等，则它们相似逆命题：若两个三角形相似，则它们全等否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等(3)全等三角形相似原命题：若一个数是正偶数，则它不是质数逆命题：若一个数不是质数，则它是正偶数否命题：若一个数不是正偶数，则它是质数(2)正偶数不是质数

逆命题:角的平分线上的点,到这个角的两边距离相等.

否命题:到一个角的两边距离不相等的点,

都不在这个角的平分线上.

逆否命题:不在这个角的平分线上的点,到这个角的两边距离不相等.(1)到一个角的两边距离相等的点,都在这个角的平分线上.原命题

(真)

逆命题

(真)

否命题

(真)

逆否命题

(真)（1）逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数是0。这是假命题。否命题：若一个整数的末位数不是0，则这个整数不能能被5整除。这是假命题。逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数不是0。这是真命题。（2）逆命题：若一个三角形的两个角相等，则这个三角形的两条边相等。这是真命题。否命题：若一个三角形的两条边不相等，则这个三角形的两个角也不相等。这是真命题。逆否命题：若一个三角形的两个角不相等，则这个三角形的两条边也不相等。这是真命题。（3）若x2=1,则x=1；（4）若整数a是素数，则a是奇数。（3）若x2=1,则x=1；（4）若整数a是素数，则a是奇数。.逆命题:两个三角形的面积相等,则它们全等.否命题:两个三角形不全等,则它们的面积不相等.逆否命题:两个三角形的面积不相等,则它们不全等.(2)两个三角形全等,则它们的面积相等.原命题(真)

逆命题(假)

否命题(假)

逆否命题(真)

逆命题:

对顶角相等.

否命题:

不相等的角不是对顶角.

逆否命题:

不是对顶角就不相等.(3)相等的角是对顶角原命题

(假)

逆命题

(真)

否命题

(真)

逆否命题

(假)

逆命题:

凡奇数都是质数.

否命题:

不是质数就不是奇数.

逆否命题:

不是奇数就不是质数.(4)凡质数都是奇数.原命题

(假)

逆命题

(假)

否命题

(假)

逆否命题

(假)

原命题与逆命题未必同真假.

原命题与否命题未必同真假.

原命题与逆否命题一定同真假.

原命题的逆命题与原命题的否命题一定同真假.

几条结论:例题应用例3:写出下列命题的否定,并判断它们的真假:(1)p:y=sinx是周期函数;(2)p:3<2;(3)p:空集是集合A的子集.解(1)﹁p:y=sinx不是周期函数命题p是真命题,﹁p

是假命题

(2)﹁p:3≥2命题p是假命题,﹁p

是真命题

(3)﹁p:空集不是集合A的子集命题p是真命题,﹁p

是假命题练习：写出下列命题的否定，然后判断它们的真假：（1）2＋2＝5（2）3是方程x2–9=0的根；（3）5不是15的约数.解(1)﹁p

：2+2≠5，其中

p是假命题,﹁p是真命题

(2)﹁p

：3不是方程x2–9=0的根，其中

p是真命题,﹁p是假命题

(3)﹁p

：5是15的约数，其中

p是假命题,﹁p是真命题四种命题形式:

原命题:

逆命题:

否命题:逆否命题:若p,则q若q,则p若┐p,则┐q若┐q,则┐p【知识小结】例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假：(1)若a＜b,则a2＜b2；(2)已知x∈R,若x＞1,则x＞2；(3)若a2+b2=0，则a、b都为0；(4)正方形的四条边相等．解:(1)逆命题:若a2＜b2,则a＜b;否命题:若a≥b,则a2≥b2;逆否命题:若a2≥b2,则a≥b;原命题为;逆命题为;否命题为;逆否命题为.假假假假“＜”的否定是“≥”【典例演练】点评：要写出一个命题的另外三个命题关键是分清命题的条件和结论例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假：(1)若a＜b,则a2＜b2；(2)已知x∈R,若x＞1,则x＞2；(3)若a2+b2=0，则a、b都为0；(4)正方形的四条边相等．解:(2)逆命题:已知x∈R,若x＞2,则x＞1;否命题:已知x∈R,若x≤1,则x≤2;逆否命题:已知x∈R,若x≤2,则x≤1;原命题为;逆命题为;否命题为;逆否命题为.假真真假【典例演练】分析：“已知x∈R”是大前提，保留不变例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假：(1)若a＜b,则a2＜b2；(2)已知x∈R,若x＞1,则x＞2；(3)若a2+b2=0，则a、b都为0；(4)正方形的四条边相等．解:(3)逆命题:若a、b都为0，则a2+b2=0;否命题:若a2+b2≠0，则a、b不都为0;逆否命题:若a、b不都为0，则a2+b2≠0;原命题为;逆命题为;否命题为;逆否命题为.真真真真【典例演练】析：“a、b都为0”的否定是:a=0、b≠0;a≠0、b=0;a≠0、b≠0.即a、b不都为0例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假：(1)若a＜b,则a2＜b2；(2)已知x∈R,若x＞1,则x＞2；(3)若a2+b2=0，则a、b都为0；(4)正方形的四条边相等．解:(4)逆命题:若一个四边形的四条边相等，

则这个四边形是正方形;否命题:若一个四边形不是正方形，

则它的四条边不相等；;逆否命题:若一个四边形的四条边不相等，则这个四边形不是正方形;原命题为;逆命题为;否命题为;逆否命题为.假真真假【典例演练】析：原命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等四种命题形式:

原命题:

逆命题:

否命题:逆否命题:若p,则q若q,则p若┐p,则┐q若┐q,则┐p【知识小结】例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“”。两直线平行，同位角相等例如，命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是“”。同位角不相等，两直线不平行例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是“”。

两直线不平行，同位角不相等否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结论不否定条件。对于原命题:若p,则q有否命题:若┐p,则┐q。命题的否定:若p，则┐q。例.命题：△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角.命题的否命题是（），命题的否定是（）(A)△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不是锐角(B)△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角(C)△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不一定是锐角(D)△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B不都是锐角否命题与命题的否定例2【答案】

B高考链接1.（2009年重庆卷文）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”.B

2.（2005年江苏）命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为______________________.若a<=b，则2a<=2b-1

解析：因为一个命题的否命题是同时否定原命题的条件和结论，所得的命题，因此答案为若a<=b，则2a<=2b-1.3.（2007重庆理）命题“若x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是（）A.若x2≥1，则x≥1;B.若-1<x<1，则x2<1；C.若x>1或x<-1,则x2>1;D.若x≥1或x≤-1，则x2≥1D解析：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题，因此答案为D.随堂练习（1）命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆命题是________________________________________________逆否命题_______________________________________________否命题____________________________________________．1.填空题若△ABC的任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形若△ABC的任何两个内角相等，则它是等腰三角形若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等（2）命题“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是_____________________________逆命题是_____________________________.它是

命题（“真”或“假”）.若x2+2x+q=0没有实根，则q>1若x2+2x+q=0有实根，则q≤1真（1）命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的（）

A．逆命题．

B．否命题．

C．逆否命题．

D．以上判断都不正确2.选择题A（2）命题“若A∩B=A则A∪B=B”的逆否命题是（）

A．若A∪B=B则A∩B=A；

B．若A∩B≠A则A∪B≠B；

C．若A∪B≠B则A∩B≠A；

D．若A∪B≠B则A∩B=A．C3.解答题

（1）写出命题“两条平行线不相交”的逆命题，否命题、逆否命题.解：逆命题：若两条直线不相交，则这两条直线平行；否命题：若两条直线不平行，则这两条直线相交；逆否命题：若两条直线相交，则这两条直线不平行．

（2）将命题“锐角的余角是钝角”改写成“若p则q”的形式，并写出其否命题，逆命题，逆否命题．解：“若p则q”的形式为：若一个角是锐角，则它的余角是钝角.

逆命题：若一个角的余角是钝角，则这个角是锐角；否命题：若一个角不是锐角，则这个角的余角不是钝角；逆否命题：若一个角的余角不是钝角，则这个角不是锐角

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（3）写出命题“若xy=0，则x、y中至少有一个是0.”的逆命