人教版 八年级下册数学 同步复习 第13讲 一次函数的图形及性质 讲义

学生/课程年级8年级学科数学授课教师日期时段核心内容一次函数的图形及性质（第13讲）课程标准1.理解一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系；2.能正确画出一次函数的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．3.对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．知识点01一次函数的定义一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.注意：（1）当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.（2）一次函数中的“一次”指的是自变量x的指数为1.知识点02一次函数的图象与性质1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线；当＞0时，直线是由直线向上平移b个单位长度得到的；当＜0时，直线是由直线向下平移|b|个单位长度得到的.注意：一次函数的平移规律为：上加下减；函数平移平移后的函数解析式向上平移m个单位（m＞0）向下平移m个单位（m＞0）2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：解析式图像x的取值范围全体实数形状过的一条直线k、b的取值示意图位置经过一、二、三象限经过一、三、三象限经过一、二、四象限经过二、三、四象限趋势从左往右朝上从左往右朝下函数变化规律y随x的增大而增大y随x的增大而减小3.、对一次函数的图象和性质的影响：决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．4.两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：（1）与相交；（2），且与平行；特别的：当直线时，知识点03待定系数法求一次函数解析式一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.注意：（1）一次函数是一个二元一次方程，这个方程有无数组解；（2）待定系数法是求一次函数解析式的方法，本质是求一次函数中k和b的值；（3）先设一次函数的通式，将一次函数图像上的2个点的坐标代入，横坐标代入x，纵坐标代入y，得出关于k和b的二元一次方程组，解出k和b，再将k和b的值代入通式，即可求出一次函数的解析式；知识点04一次函数与坐标轴的交点一次函数与y轴的交点就是（0，b），与x轴的交点为；注意：在y轴上的点横坐标为0，故求与y轴的交点，令x=0，即求出的y值即为纵坐标，得（0，b）；在x轴上的点纵坐标为0，故求与x轴的交点，令y=0，即求出的x值即为横坐标，得；知识点05分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.注意：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.导学一：一次函数的概念重点1一次函数的概念例1.下列函数（1）（2）（3）（4）（5）中，一次函数有（

）A．1 B．2 C．3 D．4变式1-1给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中一定是一次函数的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个重点点拨：判断函数是一次函数的方法：看函数解析式能否转化为重点点拨：判断函数是一次函数的方法：看函数解析式能否转化为（是常数，）的形式，若能，则是一次函数.注意当时，该函数既是一次函数，也是正比例函数.例2.若函数是一次函数，则__________．变式2-1已知是关于的一次函数，则这个函数的解析式是_______．变式2-2已知函数y=（m+1）x2-|m|+n+4．（1）当m，n为何值时，此函数是一次函数？（2）当m，n为何值时，此函数是正比例函数？方法点拨：方法点拨：确定一次函数中字母的值，要从一次函数的比例系数不等于0和自变量的次数等于1两个方面考虑，列出方程或不等式求解.重点3实际问题中的一次函数例3.某校组织合唱汇演，九年级排练队排成10排，第1排20人，后面每排比前一排多1人，写出每排人数m与排数n的关系式：________，自变量n的取值范围是________．变式3-1一出租车油箱内剩余油42L，一般行驶一小时耗油7L，则该车油箱内剩余油量y（L）和行驶时间x（时）之间的函数关系式是_____________（不写自变量取值范围）．变式3-2图书馆现有200本图书供学生借阅，如果每个学生一次借4本，则剩下的书y(本)和借书学生人数x(人)之间的关系式是________________．方法点拨：方法点拨：根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定.重点4几何图形中的一次函数例4.如图，在平面直角坐标系内，其中，．点，的坐标分别为，．将沿轴向右平移，当点落在直线时，线段扫过的面积为（

）A．16 B．20 C．32 D．38变式4-1如图所示，长方形的顶点在轴上，在轴上，点坐标为，若直线恰好将长方形分成面积相等的两部分，则的值为__________．变式4-2如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，P，Q分别是AB和CD上的任意一点，且AP=CQ，线段EF是PQ的垂直平分线，交BC于F，交PQ于E．设AP=x，BF=y，则y与x的函数关系式为______________．（变式4-1图）（变式4-2图）方法点拨：方法点拨：在规则图形中寻找其边、一边上的高、面积等量之间存在的函数关系，常常需要利用规则图形本身的性质、相应公式来解决.导学二：一次函数的图象和性质重点1一次函数的图象下列图象中，不可能是关于x的一次函数y＝mx﹣（m﹣3）的图象的是（）A． B． C．D．变式1-1若代数式在实数范围内有意义，则一次函数y＝（k﹣2）x﹣k+2的图象可能是（）A．B．C．D．变式1-2若，，一次函数的图象大致形状是（

）A． B． C．D．重点点拨：一次函数的图象经过象限是由重点点拨：一次函数的图象经过象限是由和的符号决定的，的符号决定经过第一、第三象限或第二、第四象限；的符号决定图象与轴的交点在轴正半轴或负半轴.将函数y＝2x的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（）A．y＝2x+3 B．y＝2x﹣3 C．y＝2（x+3） D．y＝2（x﹣3）变式2-1把函数向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是(

)A． B． C． D．变式2-2对于一次函数，下列结论错误的是(

)A．函数的图象与轴的交点坐标是B．函数值随自变量的增大而减小C．函数的图象不经过第三象限D．函数的图象向下平移个单位长度得到的图象重点点拨：重点点拨：一次函数图象的平移规律：“上加下减常数项，左加右减自变量”.重点3一次函数的性质在一次函数中，随的增大而增大，那么的值可以是（

）A．1 B．0 C． D．变式3-1对于一次函数y＝（k﹣3）x+2，y随x的增大而增大，k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＞0 C．k＜3 D．k＞3变式3-2若一次函数与图像的交点在第一象限，则一次函数的图像不经过（

）第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限变式3-3当直线经过第二、三、四象限时，则的取值范围是_____．变式3-4一次函数y＝－3x－2的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限变式3-5已知m是整数，且一次函数y=(m+3)x+m+2的图象不过第二象限，则m=______．方法点拨：方法点拨：对于一次函数，“”决定函数的增减性，“”决定图象与y轴的交点的位置.重点4比较大小例4.在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x−1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1_____y2（填“＞”，“＜”或“=”）变式4-1一次函数的图象过点，，，则（

）A． B． C． D．变式4-2已知点、点在一次函数的图像上，且，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．变式4-3点（﹣1，）、（2，）是直线上的两点，则_____（填“＞”或“=”或“＜”）重点5平面直角坐标系中双图象共存问题例5.直线和在同一直角坐标系中的图象可能是（

）A．B．C．D．变式5-1一次函数与正比例函数（m是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（

）A． B．C．D．变式5-2已知一次函数y=mnx与y=mx+n(m，n为常数，且mn≠0)，则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（

）A．B．C． D．重点点拨：重点点拨：判断同一平面直角坐标系中两个图象的问题，可采用排除法，即分别根据每个图象得出相关系数的符号，若符号一致，则选项正确，否则选项不正确.也可以先根据一个函数图象得出字母系数的取值情况，再利用这些字母系数的取值判断另一个函数图象是否正确.重点6一次函数的图象和性质与几何结合例6.如图，直线L：与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．求A、B两点的坐标；求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；当t为何值时≌，并求此时M点的坐标．变式6-1如图，直线交轴于点，直线交轴于点，并且这两条直线相交于轴上一点，平分交轴于点．（1）求的面积．（2）判断的形状，并说明理由．（3）点是直线上一点，是直角三角形，求点的坐标．重点点拨：重点点拨：令x=0,求出的y值即为直线与y轴交点的纵坐标；令y=0，求出的x的值即为直线与x轴交点的横坐标.求直线与坐标轴围成的三角形的面积时，先要根据直线与坐标轴的交点坐标表示出相关线段的长，再运用面积公式求面积即可.导学三：一次函数的解析式重点1利用待定系数法确定一次函数的解析式已知一次函数的图象经过，两点，则该一次函数解析式是______．变式1-1如图，该直线是某个一次函数的图象，则此函数的解析式为_____．变式1-2已知一次函数的图象经过点（﹣，﹣），且图象与x轴的交点到原点的距离为1，则该一次函数的解析式为：_____．重点点拨：重点点拨：确定正比例函数的解析式，只需图象上异于原点的一个点的坐标，而确定一次函数（非正比例函数）的解析式，则需图象上两个点的坐标.重点2利用函数的增减性确定一次函数的解析式已知一次函数的图象经过点（2，3），且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为_________（写出一个即可）．变式2-1已知一次函数y=kx+b，当自变量取值范围是−4<x<4时，相应的函数值的范围是−2<y<6，则这个函数的解析式为_________．变式2-2已知一次函数y＝kx+b（k≠0），当0≤x≤2时，对应的函数y的取值范围是﹣2≤y≤4，则这个函数解析式为_____．重点点拨：重点点拨：利用函数的增减性确定一次函数的解析式时，由于k的值未知，所以容易忽略讨论k<0的情况.重点3利用平移规律求一次函数的解析式已知经过点（1，-2）的直线是由向下平移后得到的，那么这条直线的解析式是_______________．变式3-1将正比例函数y=3x的图象向上平移后得直线AB，若AB经过点(m，n)，且3m-n+6=0，则直线AB对应的函数表达式为__________．变式3-2把直线向上平移后得到直线，若直线经过点，且，则直线的表达式为____．重点点拨：重点点拨：先根据平移的规律设出所求直线的解析式，再根据题意列出方程或方程组求解.重点4利用几何图形求一次函数的解析式如图在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于点，轴，若，，的面积为6，点为，所在直线的解析式为，则所在直线的解析式为________．变式4-1如图所示，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，2），AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是_____．变式4-2如图,平面直角坐标系中,□OABC的顶点A坐标为(6,0),C点坐标为(2,2),若经过点P(1,0)的直线平分□OABC的周长,则该直线的解析式为_______________.（例4图）（变式4-1图）（变式4-2图）重点点拨：重点点拨：利用几何图形求一次函数的解析式时，关键在于根据几何图形的性质求出图象上点的坐标，然后用待定系数法求函数解析式.重点5与坐标轴的交点例5.直线与轴交点坐标为_____________．变式5-1直线y＝2x﹣4与x轴的交点坐标是_____．变式5-2一次函数y=-2x+4的图象与坐标轴所围成的三角形面积是_____.变式5-3如果直线y=-2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为_____．1.下列函数关系式：①y＝－2x；②y＝；③y＝－2；④y＝2；⑤y＝2x－1.其中是一次函数的是（

）A．①⑤ B．①④⑤ C．②⑤ D．②④⑤2．一次函数的图象经过（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限D．第一、三、四象限3．直线y＝kx+2过点（﹣1，4），则k的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．24．一次函数的图象与y轴的交点坐标是(

)A．(4，0) B．(0，4) C．(2，0) D．(0，2)5．一次函数满足，且y随x的增大而减小，则此函数的图像一定不经过(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（

）A．-5 B．5 C．-6 D．67．下列有关一次函数的说法中，正确的是（

）A．的值随着值的增大而增大B．函数图象与轴的交点坐标为C．当时，D．函数图象经过第二、三、四象限8．一次函数y=kx+b，当k＞0，b＜0时，它的图象是（）A． B． C． D．9.一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m，n是常数，且mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（）A．B．C．D．10．将直线y＝x＋b沿y轴向下平移3个单位长度，点A(－1，2)关于y轴的对称点落在平移后