几何概型原创

几何概型原创第1页，共17页，2023年，2月20日，星期日问题:从１，２，……９共９个数字中任取一个数字取出的数字为偶数的概率.古典概型的两个特点:

等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.

有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.计算公式：复习回顾

94第2页，共17页，2023年，2月20日，星期日变式思考：是古典概型问题吗？有什么不同？2、在边长为2的正方形区域内任取一点，求该点落在正方形内切圆内的概率。3、从含有一粒种子的1立方米的土壤中任意取出0.2立方米，求取出的土壤中含有种子的概率？1、若从区间[１,９]任取一个数字，求取出的数字大于4的概率.第3页，共17页，2023年，2月20日，星期日与古典概型的区别与联系一几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度量（长度、角度、面积、体积等）成比例，而与该事件构成的区域的位置和形状无关，把满足这样条件的试验称为几何概型二几何概型的特征

1

无限性---

2

等可能性---三几何概型的概率公式一次试验中可能出现的结果有无限多个每个结果的发生具有等可能性几何概型P(A)=其中区域A的几何度量（长度、面积或体积)区域的几何度量（长度、面积或体积)第4页，共17页，2023年，2月20日，星期日2、在边长为2的正方形区域内任取一点，求该点落在正方形内切圆内的概率。1、若从区间[１,９]任取一个数字，求取出的数字大于4的概率.变式思考：3、从含有一粒种子的1立方米的土壤中任意取出0.2立方米，求取出的土壤中含有种子的概率？该题的几何度量为区间长度该题的几何度量为面积1、若从区间[１,９]任取一个数字，求取出的数字大于4的概率.该题的几何度量为体积小结：以上问题的共同特点是，试验的结果有无穷个（不确定），每个事件发生的概率由构成事件区域的长度，角度，面积，体积等的比值来确定，而与位置和形状无关。都是几何概型问题。第5页，共17页，2023年，2月20日，星期日考向一与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为[例1]点A为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为___思维点拨：在圆周上取出三等分点，注意点B在点A的两侧情况都要考虑．解：如右图，设A、M、N为圆周的三等分点，当B点取在优弧

上时，对劣弧来说，其长度小于1ABMAN试验的全部结果构成的区域是整个圆周设事件A=圆周上的点B是劣弧AB的长度小于1

则构成事件A的区域如图所示，故其概率为

第6页，共17页，2023年，2月20日，星期日变式1：有一段长为3米的细绳，现要截成两段，则每段不小于1米的概率为________．考向一与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为试验的全部结果构成的区域是3米长的细绳设事件A=截得的两断绳子每段的长度不小于1

则构成事件A的区域如图所示故其概率为第7页，共17页，2023年，2月20日，星期日变式2：设关于x的一元二次方程x2+2ax+1=0,若a是在区间[0,2]上任取的一个实数，求上述方程有实数根的概率？解：021又因为设事件A=“方程x2+2ax+1=0有实数根”则构成事件A的区域为a的取值区间[1,2]的长度思考：若把“实数”改为“整数”呢？考向一与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为试验的全部结果构成的区域是区间[0,2]的长度P(A)==故方程有实数根的概率第8页，共17页，2023年，2月20日，星期日变式3：平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率？解：设事件A=“硬币不与任一条平行线相碰”则构成事件A的区域为d的取值区间(r,a]的长度考向一与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为试验的全部结果构成的区域是区间[0,a]的长度P(A)==故硬币不与任一条平行线相碰的概率第9页，共17页，2023年，2月20日，星期日mWmWxy考向二与面积有关的几何概型2.若将问题几何化，经判断是与面积有关的几何概型，便可应用公式P(A)＝ 求其概率．[例2]已知点（x,y）可在x2+y2≤1表示的区域中随机取值，记点（x,y）x≤0满足为事件A，则P（A）等于____.mA思维点拨：实验的全部结果和构成事件A的区域是由点(a，b)构成．解：试验的全部结果构成的区域为方程x2+y2≤1表示的圆内部．事件A=“点（x，y）满足x≤0构成事件A的区域为方程x2+y2≤1表示的圆在y轴左侧的半圆部份．所以P(A)＝0.50.5第10页，共17页，2023年，2月20日，星期日考向二与面积有关的几何概型2.若将问题几何化，经判断是与面积有关的几何概型，便可应用公式P(A)＝ 求其概率．变式4：如图，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、大两个同心圆，半径分别为2cm,4cm，某人站在3m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，问：投中小圆与大圆形成的圆环的概率是多少？第11页，共17页，2023年，2月20日，星期日变式5：设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．考向二与面积有关的几何概型2.若将问题几何化，经判断是与面积有关的几何概型，便可应用公式P(A)＝ 求其概率．变式6：一海豚在水池中自由游弋。水池长为30m,宽为20m。求此海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率．第12页，共17页，2023年，2月20日，星期日考向三与体积有关的几何概型3.若将问题几何化，经判断是与体积有关的几何概型，便可应用公式P(A)＝ 求其概率．[例3]在1000mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率()A．0B．0.002C．0.004 D．1第13页，共17页，2023年，2月20日，星期日考向四生活中的的几何概型[例4]一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是(

)A. B. C. D.解析：以时间的长短进行度量，故答案：B第14页，共17页，2023年，2月20日，星期日考向四生活中的的几何概型[例5]假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30至7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?解:以横坐标x表示报纸送到时间,以纵坐标y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系,y=xx报纸送到的时间7:306:30y父亲离家的时间6:007:008:00试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD的面积ABCD构成事件A的区域为直线y=x的上方阴影部分第15页，共17页，2023年，2月20日，星期日考向四生活中的的几何概型会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概型．难点是把两个时间分别用x、y两个坐标表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题．第16页，共17页，2023年，2月20日，星期日

1无限性（试验可能出现的结果有无