第二章 材料力学

第二章材料力学第1页，共25页，2023年，2月20日，星期三如果梁的轴线弯曲后所在平面与外力所在平面相重合，则称这种弯曲为平面弯曲图2-30梁常见的对称截面形状第2页，共25页，2023年，2月20日，星期三第3页，共25页，2023年，2月20日，星期三2、梁的计算简图梁的简化载荷的简化梁的种类二、平面弯曲时横截面上的内力——剪力和弯矩结论：根据以上分析可知计算剪力和弯矩的规律

梁内任一截面上的剪力，等于截面一侧（左或右）梁上所有外力的代数和。梁内任一截面上的弯矩，等于截面一侧（左或右）梁上所有外力对截面形心之矩的代数和。第4页，共25页，2023年，2月20日，星期三2．剪力和弯矩正负号的规定第5页，共25页，2023年，2月20日，星期三【例2-9】一简支梁受集中力F＝4kN、集中力偶M＝4kN•m和均布载荷q＝2kN∕m的作用，如图2-35(a)所示，试求1-1和2-2截面上的剪力和弯矩。解（1）计算支座反力取梁AB为研究对象，受力分析如图2-35（b），列平衡方程（2）计算截面上的剪力和弯矩第6页，共25页，2023年，2月20日，星期三第7页，共25页，2023年，2月20日，星期三3．弯矩图（1）弯矩方程设横截面沿梁轴线的位置用坐标表示，则各个截面上的弯矩可以表示为坐标的函数:（2）弯矩图利用弯矩方程绘制弯矩图的一般步骤为：①求支座反力（对悬臂梁，若选自由端一侧为研究对象，可不必求支座反力）②分段列出弯矩方程（根据载荷情况分段）；③绘制弯矩图，并标出各特征点的弯矩值；④确定最大弯矩的数值及位置。第8页，共25页，2023年，2月20日，星期三【例2-10】一悬臂梁ABC，如图所示，试作悬臂梁ABC的弯矩图。解：（1）求支座反力，对悬臂梁，可不必求支座反力。（2）分段列弯矩方程。根据梁的受力情况，AB段和BC段的弯矩方程表达式不同。假设梁上任一截面离左端点的距离为x,则AB和BC段的弯矩方程为：

（3）绘制弯矩图。由弯矩方程知，是关于的二次函数，其图形为开口向下的抛物线，此抛物线没有顶点；是关于的一次函数，其图形为直线。（4）确定最大弯矩的数值。第9页，共25页，2023年，2月20日，星期三（3）载荷与弯矩图之间的关系梁上载荷与弯矩图之间有如下规律：①梁上没有载荷作用的区段上，弯矩图为一斜直线。②梁上有均布载荷作用的区段上，弯矩图为一抛物线，抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致，即均布载荷向上，则抛物线开口向上；反之，则抛物线开口向下。③有集中力作用的截面处，弯矩图会发生转折。④有集中力偶作用的截面处，弯矩图将发生突变，突变量的大小等于集中力偶矩的大小；突变的方向与集中力偶矩的转向有关，若外力偶矩为逆时针转向，则从上向下突变；反之，则从下向上突变。【例2-11】一外伸梁受力如图，试绘制其弯矩图。解（1）求反力取梁为研究对象，受力分析如图(b)，列平衡方程解得第10页，共25页，2023年，2月20日，星期三计算控制截面的弯矩确定抛物线顶点所在的截面位置：假设离左端点距离为x处剪力为零，则

1.5m此截面的弯矩3×1.5－2×1.5×0.75＝2.25kN·m（取左段）3×4－2×4×2＝－4kN·m6kN·m

－2×2＝－4kN·m第11页，共25页，2023年，2月20日，星期三三、梁弯曲时横截面上的正应力1．纯弯曲的概念2．梁纯弯曲时横截面上的正应力（1）实验观察到的现象及假设(2)中性层与中性轴（3）纯弯曲时横截面上的正应力分布规律

结论：梁纯弯曲变形时，横截面上只存在正应力；不存在切应力。正应力大小与该点到中性轴的距离成正比，凸边产生拉应力，凹边产生压应力，中性层处正应力为零，上下边缘处的正应力最大，任意一条与中性轴平行的线上正应力都相等。在横截面内正应力沿截面宽度方向均匀分布，沿高度方向线性分布。应力的分布规律如图

第12页，共25页，2023年，2月20日，星期三（3）纯弯曲时横截面上的正应力计算公式该处的正应力最大当时令说明：（1）导出公式时用了矩形截面，但未涉及任何矩形的几何特性，因此，公式具有普遍性。（2）横截面上任一点处的正应力是拉应力还是压应力可由此截面上弯矩的转向直接判定，不需用y坐标的正负来判定。第13页，共25页，2023年，2月20日，星期三3．横力弯曲（剪切弯曲）时的正应力当梁的跨度与截面高度h之比＞5时，切应力对正应力的影＞＞5，因此正应力计算也适用于横力弯曲（剪切弯曲）。响很小（不超过1％），故可以忽略不计。一般工程中的梁【例2-12】如图矩形截面简支梁，横截面b×h＝120mm×180mm

跨度＝3m，均布载荷q＝35kN/m。求：（1）截面竖放如图（b）时，危险截面上a、b两点的正应力。（2）截面横放如图（d）时，危险截面上的最大应力。第14页，共25页，2023年，2月20日，星期三解(1)作弯矩图（2）竖放时，z轴为中性轴（3）横放时，轴为中性轴，则由以上可知:竖放时横截面上的小于横放时横截面上的,从强度方面考虑,此梁竖放比横放合理.第15页，共25页，2023年，2月20日，星期三四、梁弯曲时的强度计算强度条件为：【例2-13】某单梁桥式吊车如图，跨度＝10m，起重量（包括电动葫芦自重）为G＝30kN，梁由No.28a工字钢制成，材料的许用应力＝160MPa。试校核该梁的正应力强度。解（1）画计算简图将吊车横梁简化为简支梁，梁自重为均布载荷q，由型钢表查得：No.28a工字钢得理论重量q＝43.4kg/m＝0.4253kN/m,吊车重G为集中力如图（b）。（2）画弯矩图由梁的自重和吊车重引起的弯矩为图（c），由图知中间截面处的弯矩最大，其值为第16页，共25页，2023年，2月20日，星期三（3）校核弯曲正应力强度由型钢表查得：No.28a工字钢，

故此梁的强度足够。<五、梁的变形及弯曲刚度简介

挠曲线：

挠度

转角

工程上计算梁变形常用查表法或叠加法梁的刚度条件第17页，共25页，2023年，2月20日，星期三§2-6强度理论与组合变形简介一、应力状态1．点的应力状态的概念点的应力状态就是指过一点各个方位截面上的应力情况。2．单元体的概念为了表示一点应力状态,一般可以围绕该点取出一个边长无限小的正六面体，这个微小的正六面体称为该点的单元体。

3．主应力、主平面、主单元体切应力为零的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。三个主应力值分别用、、表示，并按代数值的大小来排列，即≥≥。所以一点的应力状态，通常也可以用三个主应力来表示，这种特殊单元体称为主单元体。4、单向应力状态，二向应力状态，三向应力状态

第18页，共25页，2023年，2月20日，星期三二、强度理论

1．强度理论的概念材料失效的形式主要有两类：一类是流动破坏（又称为屈服破坏或塑性破坏），另一类就是断裂破坏（又称脆性破坏）。2．常用的强度理论（1）最大拉应力理论（第一强度理论）这一理论认为最大拉应力是引起断裂的主要因素。强度条件：≤（2）最大伸长线应变理论（第二强度理论）这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。强度条件：－μ（－）≤（3）最大切应力理论（第三强度理论）这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素。强度条件：－≤（4）形状改变比能理论（第四强度理论）强度条件：≤第19页，共25页，2023年，2月20日，星期三（5）强度条件的统一表达式:≤

三、组合变形1．组合变形的概念同时产生两种或两种以上的基本变形，这种变形称为组合变形。2．叠加原理分别计算每一种基本变形各自引起的应力，然后求出这些应力的总和3．组合变形强度计算的一般步骤（1）外力分析（2）内力分析（3）应力分析（4）强度计算四、拉伸（压缩）与弯曲组合变形的强度计算第20页，共25页，2023年，2月20日，星期三其强度条件为：

≤=第21页，共25页，2023年，2月20日，星期三

五、弯曲与扭转组合变形的强度计算第22页，共25页，2023年，2月20日，星期三对于圆轴，由于按第三和第四强度理论建立的强度条件为=≤=≤§2-7构件的疲劳破坏一、应力集中的概念因构件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。

第23页，共25页，2023年，2月20日，星期三二、交变应力及其循环特性随时间作周期性变化的应力，称为交变应力。

2．交变应力的循