南康中学2022-2023学年度高一年级数学学科素养竞赛试题

高一年级数学学科素养竞赛试题一、单选题1．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（

）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b2．实数，，满足且，则下列关系成立的是（

）A． B． C． D．3．已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（

）A． B． C． D．4．已知x∈R，则“成立”是“成立”的（

）条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要5．若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．6．已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的周期为2 B．函数关于直线对称C．函数关于点中心对称 D．7．已知，设函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．8．咖啡产品的经营和销售如何在中国开拓市场是星巴克、漫咖啡等欧美品牌一直在探索的内容，而2018年至今中国咖啡行业的发展实践证明了以优质的原材料供应以及大量优惠券、买赠活动吸引消费者无疑是开拓中国咖啡市场最有效的方式之一.若某品牌的某种在售咖啡产品价格为30元/杯，其原材料成本为7元/杯，营销成本为5元/杯，且该品牌门店提供如下4种优惠方式：（1）首杯免单，每人限用一次；（2）折优惠券，每人限用一次；（3）买2杯送2杯，每人限用两次；（4）买5杯送5杯，不限使用人数和使用次数.每位消费者都可以在以上4种优惠方式中选择不多于2种使用.现在某个公司有5位后勤工作人员去该品牌门店帮每位技术人员购买1杯咖啡，购买杯数与技术人员人数须保持一致；请问，这个公司的技术人员不少于（

）人时，无论5位后勤人员采用什么样的优惠方式购买咖啡，这笔订单该品牌门店都能保证盈利.A．28 B．29 C．30 D．31二、多选题9．已知是定义在区间，上的奇函数，且（1），若，，，时，有．若对所有，，，恒成立，则实数的取值范围可能是（

）A．(－∞，－6] B．(－6，6) C．(－3，5] D．[6，＋∞)10．给出定义：若，则称为离实数最近的整数，记作．在此基础上给出下列关于函数的四个结论，其中正确的是（

）A．函数的定义域为R，值域为B．函数的图象关于直线对称C．函数是偶函数D．函数在上单调递增11．已知函数，若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是（

）A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1 C．1<x4<2 D．0<x1x2x3x4<112．已知，函数的值域是，则下列结论正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，三、填空题13．函数满足对任意都成立，其值域是，已知对任何满足上述条件的都有，则的取值范围为___________.14．已知实数，则的最小值为_________．15．已知函数，方程有六个不同的实数根、、、、、，则的取值范围为________．16．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______．四、解答题17．设常数，函数．（1）若a=1，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)是奇函数，且关于x的不等式mx2+m>f[f(x)]对所有的x∈[-2，2]恒成立，求实数m的取值范围．18．已知不等式，其中x，k∈R．(1)若x＝4，解上述关于k的不等式；(2)若不等式对任意k∈R恒成立，求x的最大值．19．甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同.（1）求甲获得冠军的概率；（2）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.20．（1）已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值．（2）已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值．（3）已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求＋的最小值；21．定义：对于定义在上的函数和定义在上的函数满足；存在，使得．我们称函数为函数和函数的“均值函数”．(1)若，函数和函数的均值函数是偶函数，求实数a的值；(2)若,，且不存在函数和函数的“均值函数”，求实数k的取值范围．22．对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”．（1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由；（2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．高一年级数学学科素养竞赛试题参考答案1．A【详解】由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.综上所述，.故选：A.2．D【详解】由可得，则，由可得，利用完全平方可得所以，，，综上，故选：D3．D【详解】因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，.因为，所以，即，所以.因为，所以，又因为，联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以.故选：D4．C【详解】充分性：若，则2≤x≤3，，必要性：若，又，，由绝对值的性质：若ab≤0，则，∴，所以“成立”是“成立”的充要条件，故选：C．5．D【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.所以，即实数a的最小值为.故选：D.6．C【详解】∵为偶函数，∴，∴，故即，∴函数的图象关于直线对称.∵为奇函数，∴，∴，所以函数的图象关于点对称，故B错误，C正确；由及知，，∴，∴，即，∴，故∴函数的周期为4，A错误，，故D错误.故选：C.7．D【详解】因关于x的方程恰有两个互异的实数解，则有：有两个不同的实根且无实根，或与各有一个实根，或无实根且有两个不同的实根，当时，，函数为增函数，则函数在上最多一个零点，有两个不同的实根不成立，当函数在上有一个零点时，必有，即，此时，，因此，当时，函数在上确有一个零点，方程必有一个实根，当，时，，函数，而函数对称轴，即在上单调递减，又，即在上必有一个零点，因此，方程必有一个实根，于是得当时，与各有一个实根，若方程无实根，必有，此时方程有两个不同的实根，函数在上有两个零点，当且仅当，解得，于是得当时，有两个不同的实根且无实根，综上得：当或时，方程恰有两个互异的实数解，所以实数a的取值范围是.故选：D8．C【详解】解：由题意知，咖啡产品原价为30元杯，成本为12元杯，优惠方式（1）免单购买，每购买1杯该品牌门店亏损12元；优惠方式（2）每杯售价元，每购买1杯该品牌店亏损元；优惠方式（3）和（4）相当于5折购买，每购买1杯该品牌门店盈利3元；我们只需要考虑最优的购买方式，每位后勤工作人员能选择2种优惠方式，必然包含优惠方式（1），可以免单购买5杯咖啡，该品牌门店因此亏损60元，最优的购买方式是不包含原价购买任何一杯咖啡，说明只要用原价购买1杯咖啡，哪怕最大程度利用折优惠，花费也一定会超过搭配使用（2）（4）优惠购买咖啡），故显然该品牌门店必须按照优惠方式（3）和（4）售出20杯以上的咖啡才能盈利，故技术人员人数一定多于人；技术人员在人时，免单购买5杯咖啡买5送5购买20杯咖啡折购买14杯咖啡，该品牌门店依旧亏损；技术人员为30人时，最优购买方式为免单购买5杯咖啡十买5送5购买20杯咖啡十买2送2购买4杯咖啡折购买1杯咖啡，该品牌门店盈利元；由于4，故技术人员超过30人时，该品牌门店能保证持续盈利．故选：C．9．AD【详解】任取，，由于，结合可知，即，所以在上递增.所以.由可得，即对任意恒成立.构造函数，则，即，解得或.故选：AD10．ABC【详解】根据的定义知函数的定义域为，，即，所以，函数的值域为，A正确；函数的图象如图所示，由图可知的图象关于直线对称，B正确；由图象知函数是偶函数，C正确；由图象知D不正确．故选：ABC．11．BCD【详解】由函数解析式可得图象如右：∴由图知：，，而当时，有，即或2，∴，而知：，∴，.故选：BCD12．CD【详解】当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，为．作出与在上的图象如图所示：对于A，当时，，因为的值域为，结合图象知，故A不正确；对于B，当，时，，此时，此时，因为的值域为，则时，必有解，即，解得，由图知，故B不正确，C正确；对于D，当时，在上单调递增，此时的最小值为，的最大值为，要使的值域为，由图知，故D正确．故选：CD．13．【详解】法一：令，解得（负值舍去），当时，，当时，，且当时，总存在，使得，故，若，易得，所以，即实数的取值范围为；法二：原命题等价于任意，所以恒成立，即恒成立，又，所以，即实数的取值范围为.故答案为：.14．【详解】解：因为，所以因为，所以，所以原式，当且仅当时取等号．故答案为：15．【详解】作出函数与函数的图象如下图所示：设，由图象可知，当时，直线与函数的图象有六个交点，点、关于直线对称，可得，点、关于直线对称，可得，且，由得，所以，，，下面证明函数在区间上为增函数，任取、且，即，，，则，，可得，所以，函数在区间上为增函数.，所以，.因此，的取值范围为.故答案为：.16．【详解】解：设函数的值域为，函数的值域为，因为对任意的，都存在唯一的，满足，则，且中若有元素与中元素对应，则只有一个.当时，，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，当时，①当时，，此时，，解得，②当时，，此时在上是减函数，取值范围是，在上是增函数，取值范围是，，解得，综合得.故答案为：17．（1）调增区间为，单调减区间为(-∞，0)，；（2）.【详解】（1）当a=1时，，当时，，则f(x)在内是增函数，在内是减函数，当x<0时，，则f(x)在(-∞，0)内是减函数；综上可知，f(x)的单调增区间为，单调减区间为(-∞，0)，；（2）因f(x)是奇函数，必有f(-1)=-f(1)，即(a+1)·1＝-(a-1)·1，解得a=0，此时，它是奇函数，因此，a=0，，则，于是有，而时，，并且，令，则在上单调递增，当时，，因此，当时，，则，所以实数m的取值范围是.18．(1)或或}(2)【详解】（1）若x＝4，则不等式变形为即，解得或，所以或或，故不等式的解集为或或}；（2）令，则不等式对任意k∈R恒成立，等价于对任意t≥1恒成立，因为，当且仅当，即t＝时取等号，所以x≤，故x的最大值为．19．（1）；（2）.【详解】（1）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜.所以甲获得冠军的概率为.（2）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：甲：1胜3胜，乙：1负4胜5胜；甲：1负4胜5胜，乙：1胜3胜.所以甲与乙在决赛相遇的概率为.若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种情况：乙：1胜3胜，丙：2胜3负5胜；乙：1胜3负5胜，丙：2胜3胜.同时考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为.丁与丙的情况相同，所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为.20．（1）；（2）-1；（3）.【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最大值为.（2）因为x＜3，所以，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最大值为-1.（3）因为x，y∈R＋，且x＋y＝4，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最小值为.21．(1)(2)【详解】（1）由题意可得为偶函数，∴函数关于y轴对称，∴即.（2）∵，由得，若不存在函数和函数的“均值函数”，则在上恒成立，令，，对称轴为，当时，显然不合题意，当时