2020年数学《冲刺中考》压轴真题（2019年）培优训练：《二次函数》（四川专版）

压轴真题（2019年）培优训练：《二次函数》（四川专版）

1.（2019•雅安）已知二次函数尸ax?（a丰0）的图象过点（2,-1）,点夕（。与。不重

合）是图象上的一点，直线/过点（0,1）且平行于x轴./<1/于点"，点尸（0,-1）.

（1）求二次函数的解析式；

（2）求证：点户在线段游的中垂线上；

（3）设直线"交二次函数的图象于另一点Q,0ML/于点N,线段相的中垂线交/于点

用求髀值;

（4）试判断点/?与以线段尸。为直径的圆的位置关系.

2.两条抛物线G：%=3*2-6x-1与G：力=7-如<"*'〃的顶点相同.

（D求抛物线6的解析式；

（2）点/是抛物线a在第四象限内图象上的一动点，过点力作/户，”轴，户为垂足，求

力分。的最大值；

（3）设抛物线G的顶点为点C,点8的坐标为（-1,-4）,问在G的对称轴上是否存

在点0,使线段⑪绕点。顺时针旋转90。得到线段08',且点"恰好落在抛物线G

±?若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

3.(2019•眉山)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线〃=-£必+。/。经过点》(-5,0)

9

和点8(1,0).

(1)求抛物线的解析式及顶点〃的坐标；

(2)点尸是抛物线上4。之间的一点，过点户作展_Lx轴于点£,"G_Ly轴，交抛物线

于点G,过点G作G尸，x轴于点尸，当矩形WG的周长最大时，求点户的横坐标；

(3)如图2,连接加、劭，点附在线段四上(不与A8重合)，蚱/DMN=/DBA、MN

交线段力。于点乂是否存在这样点M使得△沏为等腰三角形？若存在，求出力〃的长；

若不存在，请说明理由.

4.(2019•广元)如图，直线y=-/4与x轴，y轴分别交于48两点，过48两点的

抛物线y=a^+bx+c与x轴交于点C(-1,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接8C,若点E是线段4C上的一个动点(不与4C重合)，过点£作防〃8C,

交4B于点、F,当△在户的面积是守寸，求点£的坐标；

(3)在(2)的结论下，将△弼绕点打旋转180°得△"E'F,试判断点£'是否在抛

物线上，并说明理由.

Ex

5.(2019♦泸州)如图，在平面直角坐标系x%中，已知二次函数y=a*2+6A+c的图象经过

点4(-2,0),C(0,-6),其对称轴为直线x=2.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)若直线y=-%”将△脑的面积分成相等的两部分，求m的值；

(3)点8是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点。是直线x=2上位于x轴下方的

动点，点£是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线*=2右侧.若以点£为

直角顶点的△阳?与△/0C相似，求点£的坐标.

6.(2019•乐山)如图，已知抛物线y=a(户2)(x-6)与x轴相交于48两点，与y

轴交于C点，且tanN08=看.设抛物线的顶点为必对称轴交x轴于点M

(1)求抛物线的解析式；

(2)户为抛物线的对称轴上一点，。("，0)为x轴上一点，且PQLPC.

①当点尸在线段帆(含端点)上运动时，求"的变化范围；

②在①的条件下，当〃取最大值时，求点。到线段C。的距离；

③在①的条件下，当〃取最大值时，将线段约向上平移t个单位长度，使得线段。。与

抛物线有两个交点，求t的取值范围.

备用图

7.(2019•资阳)如图，抛物线尸-9+6/c过点/(3,2),且与直线尸-卢9交于

(2)点。为抛物线上位于直线8c上方的一点，过点。作如，x轴交直线8c于点£,点

户为对称轴上一动点，当线段班的长度最大时，求小外的最小值；

(3)设点"为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点0,使24而占45°?若存在，求点。

的坐标；若不存在，请说明理由.

8.(2019•绵阳)辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间.按现有定价:

若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业

额为5000元.

(1)求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？

(2)度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房

间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲.如果游客

居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用.当每间房间定价为多少元时,

乙种风格客房每天的利润〃最大，最大利润是多少元？

9.(2019•遂宁)如图，顶点为。(3,3)的二次函数图象与x轴交于点力(6,0),点8

在该图象上，缈交其对称轴/于点必点“、/V关于点尸对称，连接8MON.

(1)求该二次函数的关系式.

(2)若点8在对称轴/右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：

①连接OR当密和时，请判断厉的形状，并求出此时点8的坐标.

②求证：/BNkZ0NM.

10.(2019•绵阳)在平面直角坐标系中，将二次函数(a>0)的图象向右平移1个

单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A8(点

4在点8的左侧)，勿=1,经过点4的一次函数y=火产6(Zr*O)的图象与y轴正半轴

交于点C,且与抛物线的另一个交点为伉△为切的面积为5.

(1)求抛物线和一次函数的解析式；

(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求如面积的最大值，并求出此时点

£的坐标；

11.如图，抛物线V=ax2+-+c的图象过点/(-1,0)、8(3,0)、C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点只使得的周长最小，若存在，请求出点户

的坐标及△2IC的周长；若不存在，请说明理由；

(3)在(2)的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点"(不与C点重合)，使得S

△w=s△*？若存在，请求出点”的坐标；若不存在，请说明理由

-3-2i/-1。.1i\2A4\5x

12.(2019•攀枝花)已知抛物线的对称轴为直线x=1,其图象与X轴相交于

48两点，与V轴相交于点C(0,3).

(1)求6,c的值;

(2)直线1与x轴相交于点尺

①如图1,若/〃y轴，且与线段/IC及抛物线分别相交于点£F,点C关于直线x=1的

对称点为点D,求四边形C斯面积的最大值；

②如图2,若直线1与线段8c相交于点0,当△外。时，求直线1的表达式.

一

图1图2

13.(2019•广安)如图，抛物线y=-f+b/c与x轴交于4、8两点3在8的左侧)，与

V轴交于点〃，过4点的直线/：y=k/n与y轴交于点C,与抛物线y=-V+6/c的另

一个交点为。，已知4(-1,0),。(5,-6),0点为抛物线y=-^bx+c上一动点

(不与4。重合).

(1)求抛物线和直线/的解析式；

(2)当点尸在直线/上方的抛物线上时，过夕点作"勿x轴交直线/于点£,作用〃y

轴交直线/于点尸，求阳"的最大值；

(3)设〃为直线/上的点，探究是否存在点使得以点从C,"、夕为顶点的四边形为

平行四边形？若存在，求出点"的坐标；若不存在，请说明理由.

14.(2019•宜宾)如图，在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=ax?-2肝c与直线y=

都经过4(0,-3)、B(3,0)两点，该抛物线的顶点为C.

(1)求此抛物线和直线AB的解析式；

(2)设直线四与该抛物线的对称轴交于点£在射线£»上是否存在一点〃，过附作x

轴的垂线交抛物线于点“，使点限N、C、£是平行四边形的四个顶点？若存在，求点〃

的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)设点户是直线下方抛物线上的一动点，当△218面积最大时，求点户的坐标，并

求△218面积的最大值.

15.(2019•成都)如图，抛物线y=af+6/c经过点/(-2,5),与x轴相交于8(-1,

0),C(3,0)两点.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点。在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将沿直线放翻折得到△&7D,

若点C-恰好落在抛物线的对称轴上，求点C和点。的坐标；

(3)设户是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点。在抛物线的对称轴上，当△CW为等

边三角形时，求直线射的函数表达式.

16.(2019•巴中)如图，抛物线y=ax2+6x-5(a*0)经过x轴上的点，(1,0)和点8

及y轴上的点C,经过8、C两点的直线为P=A+".

①求抛物线的解析式.

②点户从4出发，在线段四上以每秒1个单位的速度向8运动，同时点F从8出发，在

线段8c上以每秒2个单位的速度向C运动.当其中一个点到达终点时，另一点也停止运

动.设运动时间为十秒，求t为何值时，△在纪的面积最大并求出最大值.

③过点为作4ase于点K过抛物线上一动点〃(不与点员C重合)作直线的平行

线交直线8c于点0.若点4M、N、。为顶点的四边形是平行四边形，求点〃的横坐标.

备用图

17.(2019•自贡)如图，已知直线48与抛物线C：y=a/+2/c相交于点4(-1,0)和点

B(2,3)两点.

(1)求抛物线C函数表达式；

(2)若点"是位于直线48上方抛物线上的一动点，以俯、物为相邻的两边作平行四边

形MANB,当平行四边形例他的面积最大时，求此时平行四边形例伤的面积S及点"的

坐标；

(3)在抛物线C的对称轴上是否存在定点尸，使抛物线。上任意一点户到点尸的距离等

于到直线"的距离？若存在，求出定点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

18.(2019•达州)如图1,已知抛物线y=-必+6/c过点4(1,0),-3,0).

(1)求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；

(2)设点。是x轴上一点，当tan(ZCAOZCDff)=4时，求点。的坐标；

(3)如图2.抛物线与y轴交于点£点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段外交

维于点附，交y轴于点小△的和的面积分别为办n,求〃-〃的最大值.

19.(2019•南充)如图，抛物线y=aW+6hc与x轴交于点4(-1,0)，点8(-3,0),

且OB=OC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P在抛物线上，且ZPOB=4ACB,求点户的坐标；

(3)抛物线上两点M小点〃的横坐标为m,点〃的横坐标为m4.点。是抛物线上

人之间的动点，过点。作y轴的平行线交椒于点E.

①求"的最大值；

②点。关于点£的对称点为尸，当m为何值时，四边形砌田为矩形.

参考答案

1.解：(1)-：y=ax(a*0)的图象过点(2,-1),

-1—aX22,即a--—,y=——x2；

44

(2)设二次函数的图象上的点夕(天,不)，则"(毛,1),

又PF=d(X]-0)2+(y[+1)2=J-4y]+y；+2y[+1=-11=%

即PF=PM,

•••点户在线段施的中垂线上；

(3)连接仔；

---R在线段施的中垂线上，

：.MR^FR,

又,:PM=PF、PR=PR,

:.△PMR^XPFR〈SS9,

：.APFR=^PMR=9QQ,

:.RFLPF、

连接RQ,又在和RtA/?W中，

在的图象上，由(2)结论知二。尸=0小

4

,:RQ=RQ,

:小△RFgNIXRNQ(HD,

即RN=FR,

即MR=FR=RN,

.・・岖=1;

RN

(4)在△尸中，由(3)知PR平分NMRF,QR平分乙FRN、

：.4PRQ=L(乙MRF+/FR心=90°,

2

点R在以线段夕。为直径的圆上.

2.解：(1)y]=3x-6x-1的顶点为(1,-4),

.・•抛物线G：乂=3/-6*-1与G：%=寸-加户。的顶点相同

:.m=2,n--3,

j^=x2-2x-3；

(2)作在，x轴，

设4(a,a-2a-3),

.・Y在第四象限，

A0<a<3,

•.AP=-3+2>3,PO=ay

C.AP^OP^-a2+3^-3=-Q肯)2^31

12/4

■：Q<a<3,

.■J丹8的最大值为乌；

(3)假设q的对称轴上存在点a

过点8,作8'OJ./于点。，

ZB'D0=90°,

①当点。在顶点C的下方时，

■.,B(-1,-4),67(1,-4),抛物线的对称轴为x=1,

.-.BC±/,BC^2,ZBCgqy,

：.4BCgAQDB'(A4S)

：.B'D^CO,QD=BC,

设点0(1,b),

:.B'XCQ=-4-b,OD^BC^l,

可知8'(-3-b,2+6),

・•・(-3-6)2-2(-3-6)-3=2+6,

，6+7加10=0,

:.b=-2或6=-5,

Vh<-4,

：.O（1,-5）,

②当点。在顶点C的上方时，同理可得。（1,-2）；

综上所述：。（1,-5）或。（1,-2）；

3.解：(1)抛物线的表达式为：y=-4(X4-5)(x-1)=-加-毕/日，

9999

则点。(-2,4)；

(2)设点P(OT,-,

999

则PE=——PG=2(-2-ot)==-4-2m,

矩形用W的周长=2(PHPG)=2{~—m--rr^---4-2m)=-—(研」工)型

9999418

-1-<0,故当m=-苧寸，矩形际G周长最大，

此时，点。的横坐标为

4

(3),:/DMgNDBA,

ZBM屏NBDM=W-NADB,

NMM+N。的=180°-NDMN,

:./NMA=2MDB'

BMBD

而48=6,AD=BD=5、

①当MN=DM时,

:.XBD但XAMN,

即：AM=BD=5,贝l]/W=他=1；

②当时，

则NNOM=NNMD,

：./\AMD^/\ADB,

OR

；.扪=4BXAM,即：25=6X4”,贝I]仝,

AN25

而幽也,即浮咚,

BMBD

解得：加仁||;

③当DN=DM时,

•：^DNM>^DAB,而NDAB=NDMN,

：./DNM>/DMN、

JDN丰DM，、

故Ag1或理■.

36

4.解：(1)1-x+4…①，

令x=0,y=4,令y=0,则x=4,

故点A8的坐标分别为(4,0)、(0,4),

抛物线的表达式为：y=a(卢1)(x-4)=a(x2-3x-4),

即-4a=4,解得：a=-1,

故抛物线的表达式为：尸-》+3A+4…②；

(2)设点E(m,0),

直线8c表达式中的〃值为4,EF//BC,

则直线)的表达式为：y=4/〃，

将点£坐标代入上式并解得：

直线中的表达式为：y=4x-4””③，

联立①③并解得：(卅)，

5

则占尸(细鱼一―)一

SgEF=SAMB-SAOSE-S“£F=Wx4X4-《X4m-4(4-m)X"。」=J

解得：m=-1-,

故点£(~|,0),

(3)由(2)知，EJ,0),点尸(2,2)；

•••△8标绕点打旋转180°得E'F,

•••点£'与点E关于点尸对称,

则点P(-1,4),

(y)2+3X%丰4,

当-3A+4=-

故点£'不在抛物线上.

4a_2b+c=01

a=2~

5.解：(1)由已知得：＜A6,解得：.

—^-=2b=-2'

2ac=-6

故抛物线的表达式为：y^^-2x-6,

同理可得直线AC的表达式为：y=-3x-6；

y=-3x-6

(2)联立41,解得：x=-—(m+Q),

y=­x+m8

o

直线v=-｝加与y轴的交点为(0,加)，

S△胸=，-X2X6=6,

由题意得：春*号(1[1+6)(m+6)=3,

No

解得：m=-2或-10(舍去TO),

:・m=-2；

nr

(3)V0A=2、0C=6,.,.—=3,

0A

①当△。如时，则”•钙=&

DE0A

如图1,过点F作曰」直线x=2,垂足为£过点8作8G_LM垂足为G,

贝I]Rt/\BEGsRt£EDF,

贝lj||喘=3,贝IJ8G=3£F,

设点£(，，外，则85=-〃，FE=h-2,

则-"=3(〃-2),即k=6-3h,

.•,点£在二次函数上，故：/斤-27?-6=6-3〃,

解得：力=4或-6(舍去-6),

则点E(4,-6)；

②当△臣Ps/UOC时，巫

ED0C3

过点£作的〃直线x=2,垂足为他过点、8作BNLME,垂足为〃,

设点E(p,q),则BN=-q,EM=p-2,

贝卜广义(p-2),解得：p=四适或生工透(舍去)；

333

故点E坐标为(4,-6)或(刍乜适，上口近).

39

6.解：(1)根据题意得：4(-2,0),B(6,0),

rn?

在RtZUOC中，•・・tan/CAO=W，且〃=2,得60=3,二C(0,3),将C点坐标

A02

代入y=a(A+2)(x-6)得：a=」S

4

抛物线解析式为：y=—^-(x+2)(x-6)；

整理得：y=--；-X2+X+3

故抛物线解析式为：得：y——x*+x+3;

4

(2)①由(1)知，抛物线的对称轴为：x=2,顶点"(2,4),设户点坐标为(2,ni)

(其中0W危4),

则协=2?+(〃-3)2,9=序+(〃-2)2,C^=32+n,

•：PO±PC,

.•.在RtZk%。中，由勾股定理得：pe+p『=c@、

即22+(ot-3)2+m+(n-2)2=32+/72,整理得：n=^(m2-3m+4)=y2-^(°

W加$4),

・••当m=A■时，"取得最小值为看；当m=4时，"取得最大值为4,

所以《〈nd4；

O

②由①知：当〃取最大值4时，777=4,

:.P(2,4),0(4,0),

则PQ=2，§,co^5,

设点户到线段C。距离为h,

11pr»pn

由SzkPCQ/Q'h=qPC・PQ得：h=-^-=2，

故点户到线段约距离为2；

③由②可知：当〃取最大值4时，0(4,0),..・线段C。的解析式为：y=Vx+3,

设线段C。向上平移t个单位长度后的解析式为：y=-^x+3+t.

当线段8向上平移，使点。恰好在抛物线上时，线段约与抛物线有两个交点，此时对

应的点。'的纵坐标为：令(4+2)(4-6)=3,

将。’(4,3)代入y=—■^■x+3+t得：2=3,

当线段。。继续向上平移，线段C。与抛物线只有一个交点时,

y=-r(x+2)(x-6)

联解J得:f(x+2)(x-6)=-1'x+3+t，化简得:-7A+42=0,

3

y=^-x+3+t

由△=49-16t=0,得t用,

16

当线段C。与抛物线有两个交点时，

7.解：(1)将点8的坐标为(4,加代入/=-/1■,

皿一4+7—1

m——-4+-------一,

22

・・.8的坐标为(4,,

将4(3,2),B(4,--^)代入卜=-

(12

-X3+3b+c=2

<

X42+4b+c=-^

7

解得6=1,c=—,

抛物线的解析式y—x乙+x与

(2)设。(勿，-»则E(m，-研友■),

DE=-(-m^-}=-ym2+2ir=_2)2+2,

乙乙乙乙乙

...当m=2时，有最大值为2,

此时。(2,y),

作点4关于对称轴的对称点4,连接4。，与对称轴交于点尺

PgPA=PbPK=A'D,此时PD^PA最小，

■：A(3,2),

：.A,(-1,2),

4^=^(-l-2)2+(2-y)2=yV5-

即P史PA的最小值为•!•代；

(3)作4/JL对称轴于点〃，连接力队AQ.HA、HO,

2

.••抛物线的解析式y=-yX+X-ty,

：.M(1,4),

,：A(3,2),

：.AH=MH=2,H(1,2)

・・・N幽琳=45°,

N4W=90°,

NAQM=W/AHM,

可知44阳外接圆的圆心为H,

X

.\0H=HA=HM=2

设Q(0,t),

则7(0-1)2+(t-2)2=2,

t=2+yf^,2-

...符合题意的点。的坐标：q(o,2-«)、4(o,2+Vs)-

8.解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是X元、y元,

(15x+20y=8500

根据题意，得:jl0x+10y=5000'

r=3oo

解得x

ly=200

答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元;

(2)设每天的定价增加了a个20元，则有2a个房间空闲，

根据题意有："=(20-2a)(200+20a-80)=-40a+160^-2400=-40(a-2)2+2560,

-40<0,

.•.当a=2时，m取得最大值，最大值为2560,此时房间的定价为200+2X20=240元.

答：当每间房间定价为240元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是2560元.

9.解：(1)9二次函数顶点为P(3,3)

二设顶点式V=a(x-3)2+3

•・•二次函数图象过点4(6,0)

「・(6-3)2#3=0,解得：a——

3

•••二次函数的关系式为y=-9J-3)?+3=-9+2*

OO

(2)设8(6,-56+26)(6>3)

二直线必解析式为：y=(-*2)x

・・・必交对称轴/于点"

・•・当为=3时，yM=(-±-加2)X3=-Z^6

o

：.M(3,-加6)

:点%/V关于点尸对称

：.NP=MP=3-(-ZH-6)=b-3,

.,.yN=3+b-3=b,即〃(3,。)

①•：OP=±MN

：.OP=MP

•'-V32+32=Z,-3

解得：6=3+3J]

1,1

--/>+2d=--X(3+3&)42X(3+3&)=-3

33

■-B(3+372.-3),N(3,3+3&)

：.0^=(3+372)。(-3)2=36+18&,麻=3?+(3+3&)?=36+18&,Bf}=(3+3&

-3)2+(-3-3-3,\y2)2=72+36,\^2

08=ON,0宫+Oft=B!t

..•△/V08是等腰直角三角形，此时点8坐标为（3+3&,-3）.

②证明：如图，设直线歌与x轴交于点〃

•：B(b,-—62+2h)、N(3,6)

3

设直线8"解析式为y=k/d

'12(1

.kb+d=-^-b+2b葩汨k=fb

•­<O瞥得：o

3k+d=bld=2b

直线BN：y=--bx^lb

3

当y=0时，-1~6A+26=0,解得：x=6

3

：.D(6,0)

•：C(3,0),“C_Lx轴

垂直平分OD

:.NgNO

：.NBNM=40NM

10.解：(1)将二次函数y=a/(a>0)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位,

得到的抛物线解析式为y=a(x-1)2-2,

■：OA=\,

••・点/的坐标为(-1,0),代入抛物线的解析式得，4a-2=0,

.1

"a^2'

抛物线的解析式为y=-^-(x-l)2-2，即y=~x2

令y=0,解得毛=-1,*2=3,

：.B(3,0),

：.AB=OA>rOB=A,

..•△力劭的面积为5,

S/UBD4'皿羽=5'

2

“产方代入抛物线解析式得，-1=|x-x-1-,

解得X=-2,X2=4,

:.D(4,-1-),

设直线力。的解析式为y=k/b,

’5k」

.♦.<曲+七二，解得一2,

.-k+b=0b—

...直线力〃的解析式为y=yx+1.

⑵过点作日％y轴交朋于〃，如图，设£(a,ya2-a-1-),则“(a,

£2a+2)

£儿亲得强2+2+奈2多+2，

，5△放=S△止-£«f="^"XEMT=/(~^-a2+^a+2)X1=—^-(a2-3a-4)>

4(2)16

.•.当a=条寸，△/<斑的面积有最大值，最大值是冬，此时£点坐标为(盘，卷).

21628

(3)作£关于x轴的对称点F,连接EF交x轴于点G,过点打作FHLAE于点、H,交x

轴于点P,

•••£(日，T),0A=\,

2o

>1(7=1+—=—,EG=—,

228

5_

.AG=万二4

"EG

8

NAGE=NAHP=q0°

PHEG.3

•'•sinZEAG=AP"AET'

2

・•・PH*AP,

b

,:E、尸关于x轴对称，

：,PE=PF,

o

PB-—AP=FP^HP=FH,此时6/最小，

5

'.'£F=-y-X2=^-»4AEG=4HEF,

「•sin/AEG=sin/HEF=^-=罂4，

AISErb

•••FH=4X^-=3.

54

Q

・•・比哈21的最小值是3.

5

11.解：(1).・.抛物线与X轴交于点彳(-1,0)xB(3,0)

二.可设交点式卜=石(A+1)(X-3)

把点C(0,3)代入得：-3a=3

a=-1

.*.y=-(A+1)(x-3)=-X2+2A+3

..・抛物线解析式为y=-V+2/3

(2)在抛物线的对称轴上存在一点户，使得△2IC的周长最小.

如图1,连接阳、BC

;点户在抛物线对称轴直线x=1上，点A8关于对称轴对称

：.PA=PB

：.CgM=AC+PC+PA=AC+POPB

••.当C、P、8在同一直线上时，P侪PB=CB最小

,■■A(-1,0)、8(3,0)、C(0,3)

:.AC^yjI2+32=V10,56^732+32=3>/2

=

C^PACAC+CB=弋10小

设直线8c解析式为y=k/3

把点8代入得：3什3=0,解得：k=-\

..•直线8C："=-/3

・••匕>=-1+3=2

，点尸（1,2）使△以C的周长最小，最小值为西+小历.

（3）存在满足条件的点K使得

・••当以外为底时，两三角形等高

.•.点C和点"到直线外距离相等

①若点M在点户上方，如图2,

C.GM//PA

■：A（-1,0）,P（1,2）,设直线4户解析式为

f-p+d=0

解得:P=1

lp+d=2d=l

直线〃：y=＞+1

，直线CM解析式为：/=A+3

y=x+3fxi=0fx2=^

9解得：（即点C）,

.y=-x'+2x+3|ji=3[Y2=4

，点〃坐标为（1,4）

②若点"在点P下方，如图3,

则点〃所在的直线/〃〃，且直线/到PA的距离等于直线y=x+3到PA的距离

直线＞4P：y=A+1向下平移2个单位得y=x-1即为直线/的解析式

'_i+VT7r_i-g

y=x-1X1=~2-x2=~2—

解得：＜《

y=-x2+2x+3

0「一

点"在X轴上方

y>0

点"坐标为（独立，石工）

综上所述，点附坐标为（1,4）或（是五，①1二）时，S-=S”心

■U=Y+4

图3

12.解：(1)由题意得：5=1,

,c=3

:,b=2,c=3,

(2)①如图1，;点C关于直线x=1的对称点为点D,

：.CD//0A,

.,.3=-»+2A+3,

解得：%=0,X2=2,

：.D(2,3),

•.・抛物线的解析式为y=-7+2/3,

.•.令y=0,解得％=-1,X2=3,

：.B(-1,0),»(3,0),

直线AC的解析式为y=-於3,

设尸(a,-a2+2^3),E(,a,->3),

EF--a?+2/3+a-3=-a+3a,

四边形CEDF的面积=$△£%+$△W,=/EF・CD=/X(-a2+3a)X2=-a?+3a=

Ya-5)？

.•.当a=^时，四边形阳圻的面积有最大值，最大值为卷.

②当"时，

：.4PCA=/CPQ、ZPAC=ZPCO,

：.PQ//AC,

'：G(0,3),A(3,0),

OA=OC,

图2

ZBCgNPCA,

如图2,过点。作现L4?交4C于点队

■1■tanZPCA=tanZBC0=^-4-,

设以/=6,则0=36,AM^b,

AC=doc240A2=啦

*0-b+3b=3V2»

b=^/2>

PA=^V2又如卷

，0P=0A-PA=3号号，

，PC1",o),

设直线/的解析式为y=-/〃,

-y+n=O，

.••直线/的解析式为尸-吟

13.解：(1)将点儿。的坐标代入直线表达式得：卜kn=O,解得：(k=-l

l5k+n=-6ln=-l

故直线/的表达式为：y=-x-1,

将点/、。的坐标代入抛物线表达式，

同理可得抛物线的表达式为：y=-»+3/4；

（2）直线/的表达式为：y=-x-1,则直线/与x轴的夹角为45°,

BP：则PE=PF,

设点户坐标为（x,-Y+3A+4）、则点尸（x,-x-1）,

PaPF=2PF=2（-X+3A+4+A+1）=-2（x-2）2+18,

-2<0,故阳所有最大值，

当x=2时，其最大值为18；

（3）NX5,

①当仞是平行四边形的一条边时，

设点"坐标为（x,-丁+3/4）、则点M（x,-x-1）,

由题意得：1%-%1=5,即：|-F+3A+4+A+1|=5,

解得：x=2土J五或0或4（舍去0）,

则点〃坐标为（2+JiN，-3-或（2-V14，-3+JiN）或（4,-5）；

②当M?是平行四边形的对角线时，

则也的中点坐标为（0,-1）,

设点户坐标为（〃，-序+3»4）、则点M（〃，-〃-1）,

N、C,M、。为顶点的四边形为平行四边形，则的的中点即为掰中点，

m+n=0（m=4

BP：9,解得：，

「m+3m+4-n_l=3[n=-4

故点M（-4,3）；

故点”的坐标为：（2+J五，-3-.14）或（2-J五，-3+0N）或（4,-5）或（-

4,3）.

14.解：(1)...抛物线y=a/-2/。经过/(0,-3)、B(3,0)两点,

,(9a-6+c=0

'lc=-3'

./a=l

Ic=-3，

,・抛物线的解析式为y=x2-2x-3,

.,直线经过4(0,-3)、B(3,0)两点,

..[3k+b=0,解得：[k=l,

lb=_3[b=-3

,•直线的解析式为y=x-3,

(2)；y=？-2x-3=(x-1)2-4,

,・抛物线的顶点C的坐标为(1,-4),

-CE//y^,

：.E(1,-2),

：.CE=2,

①如图，若点M在x轴下方，四边形谢/为平行四边形，则CE=MN,

设“(a,a-3),511]N(a,a-2a-3),

：.MN^a-3-(a2-2a-3)=-)+3a,

_a?+3a=2,

解得：a—2,a=1(舍去)，

.--M(2,-1),

②如图，若点"在x轴上方，四边形废制为平行四边形，则CE=MN,

设a-3）,则〃（a,才一2a-3）,

MN=a2-2a-3-（a-3）=#一32

a-3a=2,

解得：片史运，afR（舍去），

_22

,M（世叵-3W17）,

22__

综合可得"点的坐标为（2,-1）或（剪乂立，上叵）.

22

（3）如图，作外〃y轴交直线布于点G,

设P（m、/-2加-3）,则G（加，m-3）,

.'.PG=m-3-（nf-2m-3）=-nf+3m,

Iio329_

S△PG广S△PGB=yPG*OB=yX（-m+3m）X3=7m?=

I"（nr尚"）2

当小郛,△府面积的最大值是学此时P点坐标为（1,*

4a-2b+c=5,

15.解：（1）由题意得：，a-b+c=O

9a+3b+c=0,

a=l

解得，b=-2,

c=-3

••.抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3.

(2)♦.,抛物线与x轴交于8(-1,0),C(3,0),

二a=4,抛物线的对称轴为直线x=1,

如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H,则〃点的坐标为(1,0),BH=2,

由翻折得CQC8=4,

在RtABHC中，由勾股定理，得C'B2-BH2=V42-22=2V3.

:•点C的坐标为（1,2\/与），tan/c‘=2'^=V^,

Dn/

・・・NC，8^=60°,

由翻折得仍=30°,

在Rt△巡中，DH=tanZDBH=2•tan30°

•••点。的坐标为(1,马应).

3

(3)解：取(2)中的点夕，D,连接”,

•：BC=BC,NC'BX6Q°,

:Z缈为等边三角形.分类讨论如下：

①当点"在x轴的上方时，点。在x轴上方，连接8。，CP.

•：/\PCO,/XC第为等边三角形，

：.CO^CP,BC^CC,/PCgCA6Q°,

：.ABCO=Z.CCP,

.•.△8C侬△，'CP(S45),

：.BQ^CP.

.・•点。在抛物线的对称轴上,

:.BgCQ'

：.CP=CQ=CP,

又•：BC'=BC,

r.8户垂直平分CC,

由翻折可知劭垂直平分”，

，点。在直线加上，

设直线船的函数表达式为y=k/b,

[O=-k+b

则2^3，解得，

l『k+b

•••直线的的函数表达式为尸返

3

②当点P在X轴的下方时，点。在X轴下方.

•：/\PCO,必为等边三角形,

CP=CO,BC=CC,Z.CCB=ZOCP=ZCCB=60°.

:.乙BC